0으로 나누기
함수 $y = \frac{1}{x}$는 $x \neq 0$일 때만 정의됩니다. 구간 표기법으로 정의역은 $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$입니다. 아래 그래프에서 볼 수 있듯이, 이 함수는 수직선 $x = 0$에서 정의되지 않습니다.
단계별 문제, 풀이 및 그래프 해석
유리함수는 두 다항식의 비로 정의됩니다. 정의역은 분모를 0으로 만드는 값을 제외한 모든 실수로 구성됩니다.
함수 $y = \frac{1}{x}$는 $x \neq 0$일 때만 정의됩니다. 구간 표기법으로 정의역은 $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$입니다. 아래 그래프에서 볼 수 있듯이, 이 함수는 수직선 $x = 0$에서 정의되지 않습니다.
다음 함수의 정의역을 구하세요: \[ f(x) = \dfrac{1}{x - 2} \]
함수는 분모가 0이 되는 곳에서 정의되지 않습니다:
\[ x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \]정의역: $x = 2$를 제외한 모든 실수.
\[ (-\infty, 2) \cup (2, \infty) \]
다음 함수의 정의역을 구하세요: \[ f(x) = \dfrac{x + 3}{(x - 1)(x + 2)} \]
어느 한 인수라도 0이면 분모가 0이 됩니다:
\[ (x - 1) = 0 \quad \text{또는} \quad (x + 2) = 0 \] \[ x = 1, \quad x = -2 \]정의역: $(-\infty, -2) \cup (-2, 1) \cup (1, \infty)$.
다음 함수의 정의역을 구하세요: \[ f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 4} \]
분모를 0으로 놓고 인수분해합니다:
\[ x^2 - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x - 2)(x + 2) = 0 \] \[ x = 2, \quad x = -2 \]정의역: $(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty)$.
다음의 정의역을 구하세요: \[ f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 + x - 2} \]
삼항식 분모를 인수분해합니다:
\[ x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) \]분모는 $x = -2$와 $x = 1$일 때 0이 됩니다.
정의역: $(-\infty, -2) \cup (-2, 1) \cup (1, \infty)$.
다음의 정의역을 구하세요: \[ f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + x + 5} \]
판별식($\Delta$)을 사용하여 $x^2 + x + 5 = 0$이 실근을 갖는지 확인합니다:
\[ \Delta = b^2 - 4ac = (1)^2 - 4(1)(5) = -19 \]$\Delta < 0$이므로 분모를 0으로 만드는 실수는 존재하지 않습니다.
정의역: 모든 실수, $(-\infty, \infty)$.
