이 연습 테스트는 고등학교 2학년 수학 커리큘럼의 핵심 주제를 다루도록 설계되었습니다. 아래에는 대수학, 함수, 삼각법, 금융 수학을 포함한 24개 문항이 있습니다. 이해도를 평가하기 위해 이 문제들을 활용하세요. 각 문항에 대한 상세한 단계별 풀이와 동영상 해설이 포함되어 있습니다.
다음 식을 간단히 하세요:
a) \[ \sqrt{125} + 3\sqrt{2} - \frac{16}{\sqrt{32}} - \sqrt{20} \]
b) \[ 5\sqrt{12} \left( -6\sqrt{3} - 2\sqrt{27} \right) \]
a) 각 항을 개별적으로 간단히 합니다:
$\sqrt{125} = 5\sqrt{5}$
$\frac{16}{\sqrt{32}} = \frac{16}{4\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$
$\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
결합: $(5\sqrt{5} - 2\sqrt{5}) + (3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) = \mathbf{3\sqrt{5} + \sqrt{2}}$.
b) $5\sqrt{12} = 10\sqrt{3}$ 및 $2\sqrt{27} = 6\sqrt{3}$.
$10\sqrt{3}(-6\sqrt{3} - 6\sqrt{3}) = 10\sqrt{3}(-12\sqrt{3}) = -120(3) = \mathbf{-360}$.
다음 식을 간단히 하세요: \[ \frac{1 + \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}} + 4\sqrt{20} \]
분모의 켤레식 $(2 + \sqrt{5})$을 곱하여 분모를 유리화합니다:
\[ \frac{(1+\sqrt{5})(2+\sqrt{5})}{4-5} = \frac{2 + \sqrt{5} + 2\sqrt{5} + 5}{-1} = \frac{7+3\sqrt{5}}{-1} = -7-3\sqrt{5} \]
$4\sqrt{20} = 8\sqrt{5}$를 간단히 합니다.
최종 결과: $-7 - 3\sqrt{5} + 8\sqrt{5} = \mathbf{-7 + 5\sqrt{5}}$.
전개하고 간단히 하세요: \[ (x - 3)(x^2 - 2x + 2) - (x + 3)^2 \]
첫 번째 부분을 전개합니다: $x^3 - 2x^2 + 2x - 3x^2 + 6x - 6 = x^3 - 5x^2 + 8x - 6$.
두 번째 부분을 전개합니다: $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$.
뺍니다: $(x^3 - 5x^2 + 8x - 6) - (x^2 + 6x + 9) = \mathbf{x^3 - 6x^2 + 2x - 15}$.
양의 실수 $b$와 $x$에 대해 다음이 성립할 때 $x$를 구하세요: \[ \sqrt{9b^2} = 6b\sqrt{x} \]
$b > 0$이므로 $\sqrt{9b^2} = 3b$입니다.
방정식: $3b = 6b\sqrt{x}$.
$6b$로 나눕니다: $\frac{3b}{6b} = \sqrt{x} \implies \frac{1}{2} = \sqrt{x}$.
양변을 제곱합니다: $\mathbf{x = 1/4}$.
간단히 하고 하나의 유리식으로 나타내세요:
a) \( \displaystyle \dfrac{2x}{x-1}\:-\:\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{6}{2x^2+2x-4} \)
b) \( \displaystyle \dfrac{2x^2+2x-4}{x^2+8x+15} \div \dfrac{2x^2+6x+4}{x^2+10x+21} \)
a) 공통분모는 $2(x-1)(x+2)$입니다.
분자: $2x(2)(x+2) - 1(2)(x-1) - 6 = 4x^2 + 8x - 2x + 2 - 6 = 4x^2 + 6x - 4 = 2(2x-1)(x+2)$.
간단히 하기: $\mathbf{\frac{2x-1}{x-1}}$.
b) 모든 항을 인수분해하고 역수를 곱합니다:
\[ \frac{2(x+2)(x-1)}{(x+3)(x+5)} \cdot \frac{(x+7)(x+3)}{2(x+1)(x+2)} = \mathbf{\frac{(x-1)(x+7)}{(x+5)(x+1)}} \]
양의 지수만 사용하여 결과를 간단히 하세요:
\[ \dfrac{(3 \: x^2 y^2)^2}{(- 2 \: x y^2)^4} \:\div \:\dfrac{(3 \: x y)^3}{(6 \: x^{-1} y^2)^2} \]
첫 번째 부분 간단히 하기: $\frac{9x^4y^4}{16x^4y^8} = \frac{9}{16y^4}$.
두 번째 부분 간단히 하기: $\frac{27x^3y^3}{36x^{-2}y^4} = \frac{3x^5}{4y}$.
나누기: $\frac{9}{16y^4} \cdot \frac{4y}{3x^5} = \mathbf{\frac{3}{4x^5y^3}}$.
이차부등식을 푸세요: \[ -x^2-2x \gt - 2 \]
$x^2 + 2x - 2 < 0$으로 다시 씁니다.
근의 공식을 사용하여 등식 $x^2 + 2x - 2 = 0$을 풀어 임계점을 구합니다: $x = -1 \pm \sqrt{3}$.
포물선이 위로 볼록하므로($a > 0$), 식은 두 근 사이에서 음수입니다: $\mathbf{(-1-\sqrt{3}, -1+\sqrt{3})}$.
$f(x) = - x^2 + 2 x + 2$일 때, 꼭짓점, 절편, 정의역, 치역을 구하세요.
a) 꼭짓점: $x = -b/2a = -2/-2 = 1$. $f(1) = 3$. 꼭짓점은 $\mathbf{(1, 3)}$입니다.
b) 절편: y절편은 $f(0) = 2$. x절편은 $\mathbf{1 \pm \sqrt{3}}$.
c) 대칭축: $x = 1$.
d) 정의역: 모든 실수. 치역: $(-\infty, 3]$.
꼭짓점이 $(2, 2)$이고 y절편이 $(0, -2)$인 이차함수 $f$의 방정식을 $f(x) = a x^2 + b x + c$ 형태로 구하세요. 정확한 x절편을 구하세요.
꼭짓점 형태 사용: $y = a(x-2)^2 + 2$.
y절편 $(0, -2)$ 대입: $-2 = a(0-2)^2 + 2 \implies -4 = 4a \implies a = -1$.
전개: $f(x) = -(x^2 - 4x + 4) + 2 = \mathbf{-x^2 + 4x - 2}$.
정확한 x절편 ($y=0$): $\mathbf{x = 2 \pm \sqrt{2}}$.
점 $(1, 1)$과 $(2, 3)$을 지나는 지수함수 $g(x) = a^{x-b}$를 구하세요.
$(1, 1)$ 대입: $1 = a^{1-b}$. 모든 $a > 0$에 대해 이는 $1-b = 0$을 의미하므로 $\mathbf{b = 1}$입니다.
$(2, 3)$ 대입: $3 = a^{2-1} \implies a^1 = 3$이므로 $\mathbf{a = 3}$입니다.
방정식: $\mathbf{g(x) = 3^{x-1}}$.
방정식을 푸세요: \[ \displaystyle \dfrac{2x+1}{x-2}\:=-1\:-\:\dfrac{1}{x+1} \]
최소공배수 $(x-2)(x+1)$을 곱합니다:
$(2x+1)(x+1) = -1(x-2)(x+1) - 1(x-2)$
$2x^2 + 3x + 1 = -(x^2 - x - 2) - x + 2$
$2x^2 + 3x + 1 = -x^2 + 4 \implies 3x^2 + 3x - 3 = 0$.
3으로 나눕니다: $x^2 + x - 1 = 0$. 해: $\mathbf{x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}}$.
특수각을 사용하여 정확한 값을 구하세요: a) $\cos(75^{\circ})$ | b) $\sec(15^{\circ})$
a) $\cos(45+30) = \cos(45)\cos(30) - \sin(45)\sin(30) = \mathbf{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$.
b) $\sec(15) = 1/\cos(45-30) = 1/(\cos45\cos30 + \sin45\sin30) = \mathbf{\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}$.
정확한 값을 구하세요: a) $\tan(-330^{\circ})$ | b) $\csc(480^{\circ})$
a) $\tan(-330^{\circ}) = \tan(30^{\circ}) = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{3}}$.
b) $\csc(480^{\circ}) = \csc(120^{\circ}) = 1/\sin(60^{\circ}) = \mathbf{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$.
항등식을 증명하세요: $\tan x \cot x + \sec x \sin x = 1+\tan x$
좌변(LHS): $\tan x \cdot \frac{1}{\tan x} + \frac{1}{\cos x} \cdot \sin x$
$= 1 + \frac{\sin x}{\cos x}$
$= 1 + \tan x$. 우변(RHS) 도달.
$\theta \in [0, 360^{\circ})$를 구하세요: a) $\tan(\theta) = 0.2$ | b) $\cos(\theta + 30^{\circ}) = 0.5$
a) $\theta = \arctan(0.2) \approx 11.3^{\circ}$. 또한 제3사분면에서의 해: $11.3 + 180 = \mathbf{191.3^{\circ}}$.
b) $\theta + 30 = 60^{\circ}$ 또는 $300^{\circ} \implies \theta = \mathbf{30^{\circ}, 270^{\circ}}$.
수심 $d(t) = 7.2 \cos(30^{\circ}(t - 6.5)) + 5.8$. 최대/최소 수심과 시각을 구하세요.
a) 최대 수심: $7.2 + 5.8 = \mathbf{13.0 \text{ m}}$. $\cos = 1$일 때 발생: $t - 6.5 = 0 \implies \mathbf{t=6.5}$.
b) 최소 수심: $-7.2 + 5.8 = \mathbf{-1.4 \text{ m}}$. $\cos = -1$일 때 발생: $30(t-6.5) = 180 \implies t = 12.5 $.
$y = - 2^{x-2} - 3$의 그래프를 스케치하세요.
기본 함수 $2^x$. x축에 대해 대칭 이동($-2^x$), 오른쪽으로 2만큼 평행이동, 아래로 3만큼 평행이동. 점근선은 $y = -3$.
$y = -3 \cos (x - 30^{\circ}) + 3$의 그래프를 스케치하세요.
진폭: 3. 중심선: $y=3$. 중심선에 대해 대칭 이동. 위상 이동: 오른쪽으로 $30^{\circ}$.
간단히 하세요: \( \left( 2^{\frac{1}{5}} x^{\frac{1}{2}} \right) \left( 16^{\frac{1}{5}} x^{\frac{1}{2}} \right) \)
계수 곱하기: $2^{1/5} \cdot (16)^{1/5} = 2^{1/5} \cdot (2^4)^{1/5} = 2^{1/5} \cdot 2^{4/5} = 2^1 = 2$.
변수 곱하기: $x^{1/2} \cdot x^{1/2} = x^1 = x$.
최종 결과: $\mathbf{2x}$.
푸세요: \[ \displaystyle \dfrac{1}{8 ^x \; 4^x}\:= 2^{-7x+\dfrac{1}{2}} \]
$8 ^x \; 4^x$를 밑이 2인 지수로 표현: $8 ^x \; 4^x = 2^{3x} \cdot 2^{2x} = 2^{5x} \implies \dfrac{1}{8 ^x \; 4^x} = 2^{-5x} $.
지수 비교: $-5x = -7x + 0.5 \implies 2x = 0.5 \implies \mathbf{x = 0.25}$.
$2x^2 - x + m = 1$이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 $m$의 값을 구하세요.
표준형: $2x^2 - x + (m-1) = 0$.
두 실근을 가지려면 $D = b^2 - 4ac > 0$이어야 합니다.
$(-1)^2 - 4(2)(m-1) > 0 \implies 1 - 8m + 8 > 0 \implies 9 > 8m \implies \mathbf{m < 9/8}$.
$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 5$와 $4x - 2y = 4$의 교점을 구하세요.
직선 식을 $y$에 대해 정리: $2y = 4x - 4 \implies y = 2x - 2$.
대입: $(x-2)^2 + (2x-2+1)^2 = 5 \implies (x-2)^2 + (2x-1)^2 = 5$.
전개: $5x^2 - 8x + 5 = 5 \implies 5x^2 - 8x = 0$.
$x(5x-8)=0 \implies x=0, x=1.6$. 점: $\mathbf{(0, -2)}$ 및 $\mathbf{(1.6, 1.2)}$.
$a_3 = -18$이고 $a_4 = 54$입니다. 제7항과 처음 10개 항의 합을 구하세요.
공비 $r = 54/-18 = -3$. 첫째항 $a = -18/(-3)^2 = -2$.
$a_7 = -2(-3)^6 = \mathbf{-1458}$.
$S_{10} = \frac{-2(1 - (-3)^{10})}{1 - (-3)} = \frac{-2(-59048)}{4} = \mathbf{29524}$.
연 6%의 이율로 반년마다 복리 계산될 때, 10년 후에 20,000달러가 되려면 얼마를 투자해야 합니까?
공식 $PV = A(1 + r/n)^{-nt}$ 사용.
$PV = 20000(1 + 0.03)^{-20} = \mathbf{\$11,073.52}$.
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