단계별 풀이 예제
예제 1: 순서쌍 집합
\( f = \{( -2 , 0) , (0 , 1) , (2 , 3) , (3 , 4)\} \)의 역함수를 구하세요.
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점 집합의 역함수를 구하려면 x 좌표와 y 좌표를 서로 바꾸면 됩니다:
\[ f^{-1} = \{(0 , -2) , (1 , 0) , (3 , 2) , (4 , 3)\} \]\( f^{-1} \)의 정의역: \(\{0, 1, 3, 4\}\)
\( f^{-1} \)의 치역: \(\{-2, 0, 2, 3\}\)
예제 2: 일차함수
\( f(x) = 2x + 2 \)의 역함수를 구하세요.
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- \( f(x) \)를 \( y \)로 바꿉니다: \( y = 2x + 2 \)
- \( x \)와 \( y \)를 서로 바꿉니다: \( x = 2y + 2 \)
- \( y \)에 대해 풉니다:
\( x - 2 = 2y \)
\( y = \dfrac{1}{2}x - 1 \)
결과: \( f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2}x - 1 \)
예제 3: 세제곱근 함수
\( g(x) = \sqrt[3]{x - 1} \)의 역함수를 구하세요.
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- 변수를 바꿉니다: \( x = \sqrt[3]{y - 1} \)
- 양변을 세제곱합니다: \( x^3 = y - 1 \)
- \( y \)에 대해 풉니다: \( y = x^3 + 1 \)
결과: \( g^{-1}(x) = x^3 + 1 \)
예제 4: 로그함수
\( h(x) = \ln(x - 1) \)의 역함수를 구하세요.
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- 변수를 바꿉니다: \( x = \ln(y - 1) \)
- 지수 형태로 변환합니다: \( e^x = y - 1 \)
- \( y \)에 대해 풉니다: \( y = e^x + 1 \)
결과: \( h^{-1}(x) = e^x + 1 \)
예제 5: 제곱근 함수
\( m(x) = \sqrt{x + 2} \)의 역함수를 구하세요.
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- 변수를 바꿉니다: \( x = \sqrt{y + 2} \)
- 양변을 제곱합니다: \( x^2 = y + 2 \)
- \( y \)에 대해 풉니다: \( y = x^2 - 2 \)
중요 참고: 원래 함수의 치역이 \( y \ge 0 \)이므로, 역함수의 정의역을 제한해야 합니다.
결과: \( m^{-1}(x) = x^2 - 2 \text{ (단, } x \ge 0\text{)} \)
예제 6: 유리함수
\( t(x) = \dfrac{1}{x-1} \)의 역함수를 구하세요.
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- 변수를 바꿉니다: \( x = \dfrac{1}{y-1} \)
- 양변에 \((y-1)\)을 곱합니다: \( x(y-1) = 1 \)
- 전개하고 \( y \)를 분리합니다:
\( xy - x = 1 \)
\( xy = 1 + x \)
\( y = \dfrac{x+1}{x} \)
결과: \( t^{-1}(x) = \dfrac{x+1}{x} \)
