상세한 풀이가 포함된 포물선 질문 및 문제

x 절편은 포물선과 x축의 교점이며, x축 위의 점이므로 y 좌표가 0입니다. 따라서 다음 방정식을 풀어야 합니다:

\[ 0 = - x^2 + 2x + 3 \]

방정식의 우변을 인수분해합니다: \[ -(x - 3)(x + 1) = 0\]

x에 대해 풀어 다음을 얻습니다: \[ x = 3 \quad \text{및} \quad x = -1\]

y 절편은 포물선과 y축의 교점이며, y축 위의 점이므로 x 좌표가 0입니다.

y 절편은 다음과 같습니다: \( y = - (0)^2 + 2 (0) + 3 = 3 \)

꼭짓점은 완전제곱식을 이용하여 포물선의 방정식을 꼭짓점형 \(y = a(x - h)^2 + k \)로 쓰고 꼭짓점의 좌표 \( h \)와 \( k \)를 파악하여 구합니다.

완전제곱식 만들기: \[ y = - x^2 + 2 x + 3 = -( x^2 - 2 x - 3) = -( (x - 1)^2 - 1 - 3) = -(x - 1 )^2 + 4 \]

꼭짓점 좌표: \[ (1 , 4) \]

아래에 표시된 \[ y = - x^2 + 2 x + 3 \]의 그래프를 사용하여 위에서 찾은 모든 점을 확인할 수 있습니다.

교점은 연립방정식 \[ 2x + 3y = 7 \quad \text{및} \quad y = - 2 x^2 + 2 x + 5 \]의 해입니다.

방정식 \( 2x + 3y = 7 \)에서 \( y \)에 \( - 2 x^2 + 2 x + 5 \)를 대입하여 다음을 얻습니다:

\[ 2x + 3(- 2x^2 + 2x + 5) = 7 \]

위에서 얻은 이차 방정식을 표준형으로 작성합니다:

\[ -6x^2 + 8x + 8 = 0 \]

방정식의 모든 항을 2로 나눕니다.

\[ -3x^2 + 4x + 4 = 0 \]

x에 대한 해:

\[ x = 2 \quad , \quad x = -2/3 \]

y를 구하기 위해 \( 2x + 3y = 7 \)에 앞서 구한 x 해를 대입합니다.

\[ x = 2 , y = 1 \quad \text{및} \quad x = -\frac{2}{3}, \quad y = \frac{25}{9} \]

교점은 다음과 같습니다:

\[ (2 , 1) \quad \text{및} \quad (-\frac{2}{3} , \frac{25}{9} ) \].

아래 그래프에서 정답을 확인하세요.

두 포물선의 교점은 다음 연립방정식의 해입니다:

\[ y = -(x - 3)^2 + 2 \quad \text{및} \quad y = x^2 - 4x + 1 \].

두 번째 방정식에서 \( y \)에 \( -(x - 3)^2 + 2 \)를 대입합니다:

\[ -(x - 3)^2 + 2 = x^2 - 4x + 1 \]

전개하고 동류항을 모아 표준형으로 작성합니다:

\[ -2x^2 + 10x - 8 = 0 \]

모든 항을 \( -2 \)로 나눕니다:

\[ x^2 - 5x + 4 = 0 \]

위 이차 방정식의 해는 다음과 같습니다:

\[ x = 1 \quad \text{및} \quad x = 4 \]

y를 구하기 위해 방정식 중 하나를 사용합니다:

\( x = 1 \)을 방정식 \(y = -(x - 3)^2 + 2 \)에 대입하여 \( y = -(1 - 3)^2 + 2 = -2 \)를 얻습니다.

\( x = 4 \)를 방정식 \( y = -(x - 3)^2 + 2 \)에 대입하여 \( y = -(4 - 3)^2 + 2 = 1 \)을 얻습니다.

교점은 다음과 같습니다: \[ (1 , -2) \quad \text{및} \quad (4 , 1) \]

아래 그래프에서 정답을 확인하세요.

점 \((-1,-5)\)와 \((2,10) \)은 포물선 \( y = 2 x^2 + b x + c\)의 그래프 위에 있으므로 포물선 방정식의 해가 됩니다. 두 점의 좌표를 대입하여 다음 방정식을 얻습니다:

\[ -5 = 2 (-1)^2 + b (-1) + c\] 및 \[10 = 2 (2)^2 + b (2) + c\]

미지수 \( b \)와 \( c \)에 대한 위 연립방정식을 표준형으로 다시 작성합니다.

\[ - b + c = - 7\]

\[ 2b + c = 2\]

위 연립방정식을 풀어 다음을 얻습니다: \( c = - 4 \) 및 \( b = 3\)

점 \( (-1,-5)\)와 \( (2,10)\)을 지나는 포물선의 방정식은 다음과 같습니다: \[ y = 2 x^2 + b x + c = 2 x^2 + 3 x - 4\]

그래프 플로터를 사용하여 \( y = 2 x^2 + 3 x - 4 \)를 그리고 그래프가 점 \( (-1,-5) \)와 \((2,10)\)을 지나는지 확인하여 정답을 검산하세요.

x 절편이 \( x = 2 \)이고 \( x = -3 \)인 포물선의 방정식은 x 절편이 영점이 되는 두 인수의 곱으로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

\[ y = a(x - 2)(x + 3) \]

이제 포물선이 지나는 점인 y 절편 (0, 5)을 사용하여 다음과 같이 씁니다:

\[ 5 = a(0 - 2)(0 + 3) \]

\( a \)에 대해 풉니다:

\[ a = - \dfrac{5}{6} \]

방정식: \[ y = - \dfrac{5}{6} (x - 2)(x + 3)\]

\( y = - \dfrac{5}{6} (x - 2)(x + 3)\)를 그리고 그래프의 x 절편이 \( x = 2 , x = -3 \)이고 y 절편이 \( y = 5 \)인지 확인하세요.

점 \( (0,3), (1,-4) \), \( (-1,4) \)은 포물선 \( y = a x^2 + b x + c \)의 그래프 위에 있으므로 포물선 방정식의 해가 됩니다. 따라서 다음과 같이 3개의 방정식으로 이루어진 연립방정식을 작성합니다:

\[ (0,3) \Rightarrow c = 3 \quad (I) \]

\[ (1,-4) \Rightarrow a + b + c = -4 \quad (II) \]

\[ (-1,4) \Rightarrow a - b + c = 4 \quad (III) \]

방정식 (I)에서 다음을 얻습니다:

\[ c = 3 \]

방정식 (II)와 (III)에 c 대신 3을 대입합니다:

\[ a + b = -7 \]

\[ a - b = 1 \]

\( a \)와 \( b \)에 대한 연립방정식을 풀어 다음을 얻습니다:

\[a = - 3 \; , \; b = - 4 \]

포물선의 방정식은 다음과 같습니다: \[ y = a x^2 + b x + c = -3 x^2 - 4x + 3 \]

\( y = -3 x^2 - 4x + 3 \)의 그래프를 그려 점 \( (0,3), (1,-4) \), \( (-1 ,4) \)를 지나는지 확인하세요.

대칭축이 수직인 포물선의 방정식은 \( y = a x^2 + b x + c \) 형태이거나, 꼭짓점이 \( (h , k) \)인 꼭짓점형 \( y = a(x - h)^2 + k \) 형태입니다.

이 경우 \( x = -2 \)에서 수평선 \( y = 3 \)에 접하므로 꼭짓점이 \( (h , k) = (-2 , 3) \)에 있음을 의미합니다. 따라서 이 포물선의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

\[ y = a(x - h)^2 + k = a(x - (-2))^2 + 3 = a(x + 2)^2 + 3 \]

이 그래프는 점 \( (0 , 5) \)를 지나므로 방정식을 만족해야 합니다:

\[ 5 = a(0 + 2)^2 + 3 = 4 a+ 3 \]

위 식을 \( a \)에 대해 풉니다:

\[ a = \dfrac{1}{2} \]

포물선의 방정식은 다음과 같습니다: \[ y = \dfrac{1}{2}(x + 2)^2 + 3 \]

\( y = \dfrac{1}{2} (x + 2)^2 + 3 \)의 그래프를 스케치하고 \( x = -2 \)에서 수평선 \( y = 3 \)에 접하며 점 \( (0 , 5) \)를 지나는지 확인하세요.

직선과 포물선은 접점인 단 하나의 교점만 가질 때 접합니다. 교점은 다음 연립방정식을 풀어 구합니다:

\( y = m x - 3 \quad \text{및} \quad y = 3 x^2 - x \)

두 번째 방정식에서 \( y \)에 \( m x - 3 \)을 대입합니다:

\[ mx - 3 = 3 x^2 - x \]

표준 이차 방정식으로 작성합니다:

\[ 3 x^2 - x(1 + m) + 3 = 0 \]

위 이차 방정식의 판별식은 다음과 같습니다:

\[ \Delta = (1 + m)^2 - 4(3)(3) \]

직선과 포물선이 단 하나의 교점만을 가질 때 접하므로, 다음 조건을 만족합니다:

\[\Delta = 0 \]

따라서 다음 방정식이 성립합니다:

\[(1 + m)^2 - 4(3)(3) = 0 \]

\( m \)에 대해 풉니다:

\[(1 + m)^2 = 36 \]

해는 다음과 같습니다: \[ m = 5 \quad \text{및} \quad m = -7 \]

그래프 플로터를 사용하여 직선 \( y = 5 x - 3 \) (\( m = 5 \) 해), \( y = -7 x - 3 \) (\( m = -7 \) 해)와 포물선 \( y = 3 x^2 - x \)의 그래프를 그려서 두 직선이 포물선 \( y = 3 x^2 - x \)의 그래프에 접하는지 확인하여 정답을 검산하세요.

교점은 다음 연립방정식을 풀어 구합니다:

\[ y = 2 x + b \quad \text{및} \quad y = - x^2 - 2x + 1 \]

두 번째 방정식에서 \( y \)에 \( 2 x + b \)를 대입합니다:

\[ 2x + b = - x^2 - 2x + 1 \]

표준 이차 방정식으로 작성합니다:

\[ - x^2 - 4x + 1 - b = 0 \]

위 방정식의 판별식은 다음과 같습니다:

\[ \Delta = (-4)^2 - 4(-1)(1 - b) = 20 - 4b \]

\( y = 2 x + b \)와 \( y = - x^2 - 2 x + 1 \)의 그래프가 두 개의 교점을 가지려면 \( \Delta \gt 0 \)이어야 하므로(이차 방정식이 서로 다른 두 실근을 가지는 경우), 다음 부등식이 성립합니다:

\[ 20 - 4 b \gt 0 \]

\( b \)에 대해 풉니다:

\[ b \lt 5 \]

그래프 플로터를 사용하여 \( y = - x^2 - 2 x + 1 \)의 그래프와 \( b \gt 5 \), \( b \lt 5 \), \( b = 5 \)일 때의 직선 \( y = 2 x + b \)를 그려 각 \( b \) 값에 따라 포물선과 직선의 교점이 몇 개인지 확인하세요.

교점은 다음 연립방정식을 풀어 구합니다:

\[ y = a x^2 + x \quad \text{및} \quad y = 3 x + 1 \]

방정식 \( y = a x^2 + x \)에서 \( y \)에 \( 3 x + 1 \)을 대입합니다:

\[ 3 x + 1 = a x^2 + x \]

표준 이차 방정식으로 작성합니다:

\[ a x^2 - 2 x - 1 = 0 \]

이차 방정식의 판별식: \[ \Delta = (-2)^2 - 4(a)(-1) = 4 + 4 a \]

두 그래프가 접하려면 하나의 교점만 가져야 하므로(\( \Delta = 0 \)), 다음이 성립합니다:

\[ 4 + 4 a = 0 \]

\( a \)에 대해 풉니다:

\[ a = -1 \]

포물선 방정식: \[ y = -x^2 + x \]

\( y = - x^2 + x \)와 \( y = 3 x + 1 \)의 그래프를 그려 위 정답을 확인하세요.

시작 식: \[ y = x^2 \]

왼쪽으로 3만큼 평행이동: \[ y = (x + 3)^2 \]

x축에 대해 대칭: \[ y = -(x + 3)^2 \]

위로 4만큼 평행이동: \[ y = -(x + 3)^2 + 4 \]

주어진 식: \[ y = - x^2 + 4 x + 6 \]

완전제곱식을 이용하여 꼭짓점형으로 다시 씁니다: \[ y = - x^2 + 4 x + 6 = - (x - 2)^2 + 10\]

시작: \[ y = x^2\]

오른쪽으로 2만큼 평행이동: \[ y = (x - 2)^2\]

x축에 대해 대칭: \[ y = -(x - 2)^2 \]

위로 10만큼 평행이동: \[ y = -(x - 2)^2 + 10 \]

주어진 그래프에서 식별된 모든 점을 사용하여 포물선의 방정식을 구할 수 있습니다. 하지만 x 및 y 절편과 꼭짓점을 사용하는 것이 아래에 그래프가 표시된 포물선의 방정식을 구하는 더 좋은 방법입니다.

문제를 해결하는 두 가지 방법이 제시됩니다:

방법 1:

그래프에는 두 개의 x 절편 (-5, 0)과 (-1, 0)이 있습니다.

(-5, 0)과 (-1, 0)의 두 x 절편을 사용하여 포물선의 방정식을 두 일차 인수의 곱으로 씁니다:

\[ y = a(x + 1)(x + 5)\]

y 절편 (0, -5)를 사용하여 다음과 같이 씁니다:

\[ - 5 = a(0 + 1)(0 + 5) = 5 a\]

\( a \)에 대해 풉니다:

\[ a = -1 \]

포물선의 방정식을 작성합니다:

\[ y = -(x + 1)(x + 5) = - x^2 - 6 x - 5 \]

방법 2:

꼭짓점 \( ( h , k) = (-3 , 4) \)을 사용하여 포물선의 방정식을 다음과 같이 꼭짓점형으로 씁니다:

\[ y = a(x - h)^2 + k = a(x + 3)^2 + 4 \]

y 절편 (0, -5)를 사용하여 \( a \)를 구합니다.

\[ - 5 = a(0 + 3)^2 + 4 \]

위 식을 \( a \)에 대해 풉니다: \[ a = -1 \]

포물선의 방정식은 다음과 같습니다:

\[ y = -(x + 3)^2 + 4 = - x^2 -6 x - 5 \]