11학년 수학 문제와 풀이

1단계: 제한 조건 확인. 분모가 0이 될 수 없으므로 \( x \ne 2 \) 및 \( x \ne -4 \)입니다.

2단계: 대각선 곱하기. 분수를 없애기 위해 각 변의 분자에 다른 변의 분모를 곱합니다:
\[ (x+2)(x+4) = (3x - 4)(x - 2) \]

3단계: 양변 전개. FOIL 방법을 사용합니다:
\[ x^2 + 4x + 2x + 8 = 3x^2 - 6x - 4x + 8 \]
\[ x^2 + 6x + 8 = 3x^2 - 10x + 8 \]

4단계: 항을 정리하여 표준 이차 방정식 형태 만들기. 양변에서 \( x^2 + 6x + 8 \)을 뺍니다:
\[ 0 = 2x^2 - 16x \]

5단계: 인수분해 후 풀기. 공통인수 \( 2x \)를 묶어냅니다:
\[ 2x(x - 8) = 0 \]

각 인수를 0으로 놓으면 \( x = 0 \) 및 \( x = 8 \)이 됩니다. 둘 다 제한된 값과 다르므로 유효합니다.

최종 해: { 0 , 8 }.

1단계: 유리근 정리 사용. 가능한 유리근은 상수항(10)의 인수를 최고차항 계수(1)의 인수로 나눈 값입니다.

상수항의 인수 (\(p\)): \(\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10\)
최고차항 계수의 인수 (\(q\)): \(\pm 1\)

가능한 근 목록 (\(\dfrac{p}{q}\)): \(\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10\).

가능한 인수 목록: \( \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10 \).

\( x = 1 \)을 대입해 봅니다:
\( P(1) = (1)^3 - 4(1)^2 - 7(1) + 10 = 1 - 4 - 7 + 10 = 0 \).
\( P(1) = 0 \)이므로 \( (x - 1) \)은 다항식의 인수입니다.

2단계: 다항식 나눗셈 수행. 조립제법이나 긴 나눗셈을 사용하여 \( P(x) \)를 \( (x - 1) \)로 나눕니다:
\[ \dfrac{x^3 - 4x^2 - 7x + 10}{x-1} = x^2 - 3x - 10 \]

3단계: 결과 이차식 인수분해. 곱해서 -10이 되고 더해서 -3이 되는 두 수를 찾습니다. 그 수는 -5와 2입니다:
\[ x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2) \]

4단계: 모든 인수 결합.
인수분해 결과: \( (x - 1)(x - 5)(x + 2) \).

1단계: 지수 항 고립시키기. 양변을 6으로 나눕니다:
\[ 3^x = \dfrac{162}{6} \]
\[ 3^x = 27 \]

2단계: 양변을 같은 밑으로 표현하기. 27이 3의 거듭제곱임을 인지합니다:
\[ 3^x = 3^3 \]

3단계: 지수를 서로 같게 놓기. 밑이 같으므로 지수도 같아야 합니다.
x = 3.

1단계: 등차수열 공식 상기하기.
\[ a_n = a + (n-1)d \]

2단계: 공차(\( d \)) 찾기. 15번째 항의 알려진 값을 대입합니다:
\[ -35 = 7 + (15 - 1)d \]
\[ -35 = 7 + 14d \]
\[ -42 = 14d \Rightarrow d = -3 \]

3단계: 30번째 항 계산하기. \( n = 30 \)과 \( d = -3 \)을 사용하여 공식을 다시 적용합니다:
\[ a_{30} = 7 + (30 - 1)(-3) \]
\[ a_{30} = 7 + 29(-3) = 7 - 87 = \mathbf{-80} \].

1단계: 문장 문제를 방정식으로 바꾸기.
\[ N + \dfrac{1}{N} = \dfrac{78}{15} \]

2단계: 분수 없애기. 전체 방정식에 공통분모인 \( 15N \)을 곱합니다:
\[ 15N(N) + 15N\left(\dfrac{1}{N}\right) = 15N\left(\dfrac{78}{15}\right) \]
\[ 15N^2 + 15 = 78N \]

3단계: 간단히 하고 0으로 정리하기. 모든 항을 한쪽으로 이동합니다:
\[ 15N^2 - 78N + 15 = 0 \]
3으로 나누어 간단히 합니다:
\[ 5N^2 - 26N + 5 = 0 \]

4단계: 이차식 인수분해하기.
\[ (5N - 1)(N - 5) = 0 \]

5단계: 풀기. 이것은 \( N = 1/5 \) 및 \( N = 5 \)를 산출합니다. 문제가 정수를 요구하므로 분수는 버립니다.
해: N = 5.

1단계: 분수를 제거하기 위해 대각선 곱하기 하기.
\[ 128 \cdot 4^m = 125 \cdot 5^n \]

2단계: 모든 숫자를 소인수 밑으로 표현하기. \( 128 = 2^7 \), \( 4 = 2^2 \), \( 125 = 5^3 \)임을 압니다.
\[ 2^7 \cdot (2^2)^m = 5^3 \cdot 5^n \]

3단계: 지수 법칙 적용하기. 밑이 2인 항과 밑이 5인 항을 결합합니다:
\[ 2^{7 + 2m} = 5^{3 + n} \]

4단계: \( m \)과 \( n \) 풀기. 2와 5는 서로 다른 소수이므로, 2의 거듭제곱이 5의 거듭제곱과 같아지는 유일한 경우는 둘 다 1이 될 때(즉, \( 2^0 = 5^0 \))입니다. 따라서 두 지수 모두 0이어야 합니다:
\[ 7 + 2m = 0 \Rightarrow 2m = -7 \Rightarrow \mathbf{m = -3.5} \]
\[ 3 + n = 0 \Rightarrow \mathbf{n = -3} \]

1단계: 정의역 제한 결정하기. 로그는 양수인 진수에서만 정의되므로 \( x > 0 \) 및 \( x - 2 > 0 \)이어야 합니다. 이를 결합하면 해는 \( x > 2 \)를 만족해야 합니다.

2단계: 로그 하나로 합치기. 로그의 곱셈 법칙(\( \log(a) + \log(b) = \log(ab) \))을 사용합니다:
\[ \log_2[x(x - 2)] = 3 \]

3단계: 지수 형태로 변환하기. 로그의 정의에 따라:
\[ x(x - 2) = 2^3 \]
\[ x^2 - 2x = 8 \]

4단계: 이차 방정식 풀기.
\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]
\[ (x - 4)(x + 2) = 0 \]

이는 잠재적 해 \( x = 4 \) 및 \( x = -2 \)를 제공합니다. 정의역 제한(\( x > 2 \))을 확인해보면 \( -2 \)는 무연근입니다.
최종 해: x = 4.

1단계: 반복되는 덧셈 인식하기. 세 개의 동일한 항을 더하는 것은 그 항에 3을 곱하는 것과 같습니다:
\[ 3 \cdot \left(3^{n + 4001}\right) \]

2단계: 지수 법칙 적용하기. 숫자 3은 \( 3^1 \)로 쓸 수 있습니다. 밑이 같은 항을 곱할 때는 지수를 더합니다:
\[ 3^1 \cdot 3^{n + 4001} = 3^{1 + n + 4001} \]

간소화된 형태: \( 3^{n + 4002} \)

1단계: \( f(x) \)를 \( y \)로 바꾸기.
\[ y = \dfrac{2x - 1}{x + 3} \]

2단계: \( x \)와 \( y \) 서로 바꾸기. 이것이 역함수를 찾는 핵심 단계입니다:
\[ x = \dfrac{2y - 1}{y + 3} \]

3단계: 새로운 \( y \) 고립시키기. 양변에 \( y + 3 \)을 곱합니다:
\[ x(y + 3) = 2y - 1 \]
\[ xy + 3x = 2y - 1 \]

\( y \)를 포함하는 모든 항을 한쪽으로, 나머지 모든 항을 다른쪽으로 옮깁니다:
\[ xy - 2y = -3x - 1 \]

\( y \) 묶어내기:
\[ y(x - 2) = -3x - 1 \]

\( x - 2 \)로 나누기:
\[ y = \dfrac{-3x - 1}{x - 2} \]

역함수: \( f^{-1}(x) = \dfrac{-3x - 1}{x - 2} \).

1단계: 두 방정식을 서로 같다고 놓기. 두 방정식 모두 \( y \)와 같으므로:
\[ x^2 - 4x + 3 = 2x - 1 \]

2단계: 표준 이차 형태로 정리하기. 모든 항을 왼쪽으로 이동합니다:
\[ x^2 - 6x + 4 = 0 \]

3단계: 근의 공식을 사용하여 풀기. (\( a=1, b=-6, c=4 \))
\[ x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} \]
\[ x = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \dfrac{6 \pm \sqrt{20}}{2} \]

근호 간소화하기(\( \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)):
\[ x = \dfrac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5} \]

4단계: 대응하는 y값 찾기. x값을 더 단순한 일차 방정식 \( y = 2x - 1 \)에 대입합니다:
\( x = 3 + \sqrt{5} \)일 때: \( y = 2(3 + \sqrt{5}) - 1 = 6 + 2\sqrt{5} - 1 = 5 + 2\sqrt{5} \).
\( x = 3 - \sqrt{5} \)일 때: \( y = 2(3 - \sqrt{5}) - 1 = 6 - 2\sqrt{5} - 1 = 5 - 2\sqrt{5} \).

해: \( (3 + \sqrt{5}, 5 + 2\sqrt{5}) \) 및 \( (3 - \sqrt{5}, 5 - 2\sqrt{5}) \).

1단계: 포물선의 꼭짓점 형태 쓰기.
\[ y = a(x - h)^2 + k \]
꼭짓점 \( (h, k) = (2, -1) \)을 대입합니다:
\[ y = a(x - 2)^2 - 1 \]

2단계: 수직 신축 계수(\( a \)) 찾기. 알려진 점 \( (x, y) = (4, 7) \)을 방정식에 대입합니다:
\[ 7 = a(4 - 2)^2 - 1 \]
\[ 7 = a(2)^2 - 1 \]
\[ 7 = 4a - 1 \]
\[ 8 = 4a \Rightarrow a = 2 \]

3단계: 최종 방정식 작성하기.
\( y = 2(x - 2)^2 - 1 \).

1단계: 둘레와 넓이 방정식 세우기. \( x \)를 너비(벽에 수직인 두 변), \( y \)를 길이(벽에 평행한 변)라고 합시다.
총 울타리: \( 2x + y = 100 \Rightarrow y = 100 - 2x \).
넓이: \( A = x \cdot y \).

2단계: 넓이를 \( x \)에 대한 함수로 표현하기. \( y \)를 넓이 방정식에 대입합니다:
\[ A(x) = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2 \]

3단계: 최댓값 찾기. 이것은 위로 볼록한 포물선(\( a = -2 \))입니다. 최댓값은 꼭짓점에서 발생하며, \( x = \dfrac{-b}{2a} \)입니다:
\[ x = \dfrac{-100}{2(-2)} = \dfrac{-100}{-4} = 25 \]

4단계: 나머지 치수와 넓이 찾기.
\( x = 25 \)이면 \( y = 100 - 2(25) = 50 \)입니다.
치수: 25m 곱하기 50m.
최대 넓이: \( 25 \cdot 50 = \) 1250m².

1단계: 분자와 분모 인수분해하기.
분자: \( x^2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1) \)
분모(합차 공식): \( x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \)
\[ f(x) = \dfrac{(x - 3)(x - 1)}{(x - 3)(x + 3)} \]

2단계: 구멍(Hole) 식별하기. 인수 \( (x - 3) \)이 소거되므로 \( x = 3 \)에서 구멍이 있습니다.
구멍의 y 좌표를 찾으려면 \( x = 3 \)을 간소화된 함수 \( \dfrac{x - 1}{x + 3} \)에 대입합니다:
\( y = \dfrac{3 - 1}{3 + 3} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \).
구멍 위치는 (3, 1/3)입니다.

3단계: 수직 점근선(VA) 식별하기. 남은 분모를 0으로 놓습니다:
\( x + 3 = 0 \Rightarrow \) x = -3에 VA.

4단계: 수평 점근선(HA) 식별하기. 분자의 차수(2)가 분모의 차수(2)와 같으므로, HA는 최고차항 계수의 비율입니다:
\( y = \dfrac{1x^2}{1x^2} \Rightarrow \) y = 1에 HA.

1단계: 두 번째 직선의 기울기(\( m_2 \)) 구하기.
\[ m_2 = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{-6 - 3}{4 - (-2)} = \dfrac{-9}{6} = -1.5 \]

2단계: 첫 번째 직선에 필요한 기울기(\( m_1 \)) 결정하기. 수직인 직선은 역수이자 부호가 반대인 기울기를 가집니다(\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)).
\[ m_1 = \dfrac{-1}{-1.5} = \dfrac{2}{3} \]

3단계: 첫 번째 직선의 기울기 방정식을 세워 \( k \) 구하기.
\[ \dfrac{7 - 2}{-5 - k} = \dfrac{2}{3} \]
\[ \dfrac{5}{-5 - k} = \dfrac{2}{3} \]

4단계: 대각선 곱하기를 하여 풀기.
\( 15 = 2(-5 - k) \)
\( 15 = -10 - 2k \)
\( 25 = -2k \Rightarrow \) k = -12.5.

1단계: 포물선 방정식을 원 방정식에 대입하기. 포물선에서 \( x^2 \)를 고립시킬 수 있습니다:
\( x^2 = y + 4 \).

원 방정식에 \( x^2 \) 대신 \( (y+4) \)를 대입합니다:
\[ (y + 4) + y^2 = 25 \]

2단계: 결과 이차 방정식 풀기.
\[ y^2 + y - 21 = 0 \]

근의 공식을 사용합니다:
\[ y = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-21)}}{2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{85}}{2} \]

3단계: 대응하는 x값 찾기. 이 y값을 \( x^2 = y + 4 \)에 다시 대입합니다:
\[ x^2 = \dfrac{-1 \pm \sqrt{85}}{2} + \dfrac{8}{2} = \dfrac{7 \pm \sqrt{85}}{2} \]
\[ x = \pm \sqrt{\dfrac{7 \pm \sqrt{85}}{2}} \]

참고: \( 7 - \sqrt{85} \)는 음수를 산출하며, \( x^2 \)은 양수여야 하므로 루트 내부의 마이너스 경우는 기각합니다.
교점:
\( \left( \sqrt{\dfrac{7 + \sqrt{85}}{2}}, \dfrac{-1 + \sqrt{85}}{2} \right) \) 및 \( \left( -\sqrt{\dfrac{7 + \sqrt{85}}{2}}, \dfrac{-1 + \sqrt{85}}{2} \right) \).

1단계: 완전제곱식을 이용하여 첫 번째 원의 반지름 구하기.
\( (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = -1 + 1 + 4 \)
\( (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4 \).
반지름의 제곱은 \( r_1^2 = 4 \)이므로 \( r_1 = 2 \)입니다.

2단계: 두 번째 원의 반지름 구하기.
\( (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = 11 + 1 + 4 \)
\( (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16 \).
반지름의 제곱은 \( r_2^2 = 16 \)이므로 \( r_2 = 4 \)입니다.

3단계: 큰 넓이에서 작은 넓이 빼기.
넓이 = \( \pi(r_2)^2 - \pi(r_1)^2 \)
넓이 = \( 16\pi - 4\pi = \mathbf{12\pi} \).

1단계: 직선 방정식에서 y를 고립시키고 대입하기.
\( y = r - x \).
원에 대입:
\[ x^2 + (r - x)^2 = 4 \]
\[ x^2 + r^2 - 2rx + x^2 = 4 \]
\[ 2x^2 - 2rx + (r^2 - 4) = 0 \]

2단계: 접선 조건인 판별식 사용하기. 직선이 원에 접하려면 정확히 한 점에서 만나야 하므로, 이 이차 방정식의 판별식(\( \Delta = b^2 - 4ac \))이 0이어야 합니다.
여기서 \( a = 2 \), \( b = -2r \), \( c = r^2 - 4 \)입니다.
\[ (-2r)^2 - 4(2)(r^2 - 4) = 0 \]
\[ 4r^2 - 8r^2 + 32 = 0 \]
\[ -4r^2 = -32 \Rightarrow r^2 = 8 \]

결과: \( r = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} \).

1단계: 두 개의 직각삼각형 설정하기. \( h = 80\text{m} \)을 절벽의 높이라고 합시다. 내려다본 각(각도)은 배에서 절벽 꼭대기를 올려다본 각과 같습니다.

2단계: 더 가까운 배까지의 거리(\( d_1 \)) 구하기.
탄젠트(대변/인접변) 이용:
\( \tan(28^\circ) = \dfrac{80}{d_1} \Rightarrow d_1 = \dfrac{80}{\tan(28^\circ)} \approx 150.44\text{m} \)

3단계: 더 먼 배까지의 거리(\( d_2 \)) 구하기.
\( \tan(18^\circ) = \dfrac{80}{d_2} \Rightarrow d_2 = \dfrac{80}{\tan(18^\circ)} \approx 246.30\text{m} \)

4단계: 차이 구하기.
\[ \text{거리} = d_2 - d_1 \approx 246.30 - 150.44 = \mathbf{95.86 \text{ m}} \]

1단계: 피타고라스 항등식 사용하기. \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \)를 대입하여 방정식을 완전히 사인으로만 표현합니다:
\[ 2(1 - \sin^2 x) + 3\sin x = 3 \]
\[ 2 - 2\sin^2 x + 3\sin x = 3 \]

2단계: 표준 이차 방정식 형태로 재배치하기. 제곱항을 양수로 유지하기 위해 모든 항을 우측으로 이동합니다:
\[ 0 = 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 \]

3단계: 이차식 인수분해하기. \( \sin x \)를 변수 \( u \)처럼 취급합니다(\( 2u^2 - 3u + 1 = 0 \)):
\[ (2\sin x - 1)(\sin x - 1) = 0 \]

4단계: \( x \) 풀기.
경우 1: \( 2\sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \dfrac{1}{2} \). 기준각은 30°입니다. 사인은 제1사분면과 제2사분면에서 양수이므로, \( x = 30^\circ \) 및 \( x = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \)입니다.
경우 2: \( \sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = 1 \). 이는 \( x = 90^\circ \)에서 발생합니다.

해: 30°, 90°, 150°.