지수 및 근호 간소화

도전 문제를 포함한 상세한 단계별 풀이가 있는 연습 문제

지수와 근호를 간소화하려면 지수의 법칙과 근호의 성질을 적용해야 합니다. 시작하기 전에 근호와 지수의 법칙 가이드를 검토하세요. 계산기 없이 이 수치 식들을 풀어보세요.

수치 지수 식 간소화

질문 1: 다음 식을 계산하세요:

  1. \( 3^2 \)
  2. \( -3^4 \)
  3. \( (-3)^4 \)
  4. \( \left( -\dfrac{2}{3} \right)^{-2} \)
  5. \( -3^{-3} + (-2)^{-2} \)
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  1. \( 3^2 = 9 \)
  2. \( -3^4 = -(3 \times 3 \times 3 \times 3) = -81 \)
  3. \( (-3)^4 = -3 \times -3 \times -3 \times -3 = 81 \)
  4. \( \left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(-\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4} \)
  5. \( -3^{-3} + (-2)^{-2} = -\dfrac{1}{27} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{-4 + 27}{108} = \dfrac{23}{108} \)

근호와 유리수 지수가 있는 수치 식

질문 2: 다음을 계산하세요:

  1. \( \sqrt[3]{-8} \)
  2. \( 8^{2/3} \)
  3. \( 16^{-3/4} \)
  4. \( \dfrac{\sqrt[3]{-16}}{\sqrt[3]{2}} \)
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  1. \( \sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{(-2)^3} = -2 \)
  2. \( 8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4 \)
  3. \( 16^{-3/4} = \dfrac{1}{(\sqrt[4]{16})^3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8} \)
  4. \( \dfrac{\sqrt[3]{-16}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\dfrac{-16}{2}} = \sqrt[3]{-8} = -2 \)

지수가 있는 대수 식 간소화

질문 3: 다음 식을 간소화하세요:

  1. \( (x^2)^{-2} \)
  2. \( \dfrac{(3x)^2(-2x)^3}{(2x)^2} \)
  3. \( (-2x^2 y^{-3})^3 \)
  4. \( \left (\dfrac{-8x^3}{y^{-6}} \right)^{2/3} \)
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  1. \( (x^2)^{-2} = x^{-4} = \dfrac{1}{x^4} \)
  2. \( \dfrac{9x^2 \cdot (-8x^3)}{4x^2} = \dfrac{-72x^5}{4x^2} = -18x^3 \)
  3. \( (-2)^3 (x^2)^3 (y^{-3})^3 = -8x^6 y^{-9} = \dfrac{-8x^6}{y^9} \)
  4. \( \dfrac{(-8)^{2/3} (x^3)^{2/3}}{(y^{-6})^{2/3}} = \dfrac{4x^2}{y^{-4}} = 4x^2 y^4 \)

근호가 있는 대수 식 간소화

질문 4: 다음을 간소화하세요:

  1. \( \sqrt[4]{16x^4} \)
  2. \( \sqrt[3]{8 x^6 y^3} \)
  3. \( \dfrac{ \sqrt[5]{64x^9 y^7}}{ \sqrt[5]{2 x^4 y^2}} \)
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  1. \( \sqrt[4]{16} \sqrt[4]{x^4} = 2|x| \)
  2. \( 2x^{6/3}y^{3/3} = 2x^2y \)
  3. \( \sqrt[5]{\dfrac{64x^9 y^7}{2x^4 y^2}} = \sqrt[5]{32x^5 y^5} = 2xy \)

도전 문제

질문 5: 다음 고급 식을 간소화하세요. 모든 변수는 양의 실수라고 가정합니다.

  1. \( \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x}}} \)
  2. \( \left( \dfrac{81 x^{-4} y^8}{16 x^8 y^{-4}} \right)^{-3/4} \)
  3. \( \dfrac{ \sqrt[3]{a^2b} \cdot \sqrt{ab^3} }{ \sqrt[6]{a^5b^7} } \)
풀이 보기

  1. 1단계: 가장 안쪽의 근호를 분수 지수로 변환합니다.
    \( \sqrt{x \sqrt{x \cdot x^{1/2}}} = \sqrt{x \sqrt{x^{3/2}}} \)

    2단계: 거듭제곱을 곱하여 바깥쪽으로 계속 변환합니다.
    \( \sqrt{x \cdot (x^{3/2})^{1/2}} = \sqrt{x \cdot x^{3/4}} = \sqrt{x^{7/4}} \)

    3단계: 최종 변환.
    \( (x^{7/4})^{1/2} = \mathbf{x^{7/8}} \)

  2. 1단계: 먼저 괄호 안의 분수를 간소화합니다. 분모의 지수를 분자의 지수에서 뺍니다.
    \( \dfrac{81}{16} x^{-4-8} y^{8-(-4)} = \dfrac{81}{16} x^{-12} y^{12} \)

    2단계: 분수 지수에서 음수 부호를 적용하여 분수를 뒤집습니다.
    \( \left( \dfrac{16 x^{12}}{81 y^{12}} \right)^{3/4} \)

    3단계: 각 항에 \(3/4\) 거듭제곱을 적용합니다(\(16 = 2^4\)이고 \(81 = 3^4\)임에 유의).
    \( \dfrac{(2^4)^{3/4} (x^{12})^{3/4}}{(3^4)^{3/4} (y^{12})^{3/4}} = \mathbf{\dfrac{8 x^9}{27 y^9}} \)

  3. 1단계: 모든 근호를 유리수 지수로 변환합니다.
    분자: \( (a^2b)^{1/3} \cdot (ab^3)^{1/2} = a^{2/3}b^{1/3} \cdot a^{1/2}b^{3/2} \)
    분모: \( (a^5b^7)^{1/6} = a^{5/6}b^{7/6} \)

    2단계: 지수를 더하여 분자의 항들을 결합합니다.
    \( a^{2/3 + 1/2} b^{1/3 + 3/2} = a^{7/6} b^{11/6} \)

    3단계: 분모의 지수를 빼서 나눕니다.
    \( a^{7/6 - 5/6} b^{11/6 - 7/6} = a^{2/6} b^{4/6} \)

    4단계: 분수를 간소화하고 근호 형태로 다시 씁니다.
    \( a^{1/3} b^{2/3} = \mathbf{\sqrt[3]{ab^2}} \)

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