유리식을 어떻게 간소화합니까? 복잡한 대수 분수를 간소화하기 위해 유리식의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 규칙이 사용됩니다. 상세한 단계별 풀이가 포함된 11학년 예제들이 아래에 제시되어 있습니다.
팁: 최종 결과를 확인하기 위해 온라인 유리식 간소화 계산기를 사용할 수 있습니다.
어려움이 있다면 시작하기 전에 덧셈 및 뺄셈과 곱셈 및 나눗셈 튜토리얼을 검토하세요.
| 덧셈 및 뺄셈 (공통분모 필요) |
\[ \dfrac{A}{B} \pm \dfrac{C}{B} = \dfrac{A \pm C}{B} \] |
| 곱셈 | \[ \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} = \dfrac{A \cdot C}{B \cdot D} \] |
| 나눗셈 (역수 곱하기) |
\[ \dfrac{A}{B} \div \dfrac{C}{D} = \dfrac{\dfrac{A}{B}}{\dfrac{C}{D}} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C} = \dfrac{A \cdot D}{B \cdot C} \] |
간소화하세요: \[ \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5}{4} +\dfrac{1}{2} \]
먼저 분자인 \( \dfrac{2}{3} + 5 \)를 간소화합니다. 공통분모로 변환합니다.
\[ \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5}{4} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5 \cdot \dfrac{3}{3}}{4} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{\dfrac{17}{3}}{4} +\dfrac{1}{2} \]
4를 분수인 \( \dfrac{4}{1} \)로 바꾸고 분수 나눗셈(역수 곱하기)을 통해 간소화합니다.
\[ = \dfrac{\dfrac{17}{3}}{\dfrac{4}{1}} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{3} \cdot \dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{2} \]
분수끼리 곱합니다.
\[ = \dfrac{17 \cdot 1}{3 \cdot 4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{12} +\dfrac{1}{2} \]
공통분모로 변환하여 더합니다.
\[ = \dfrac{17}{12} +\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{6}{6} = \dfrac{17+6}{12} = \mathbf{\dfrac{23}{12}} \]
간소화하세요: \[ \dfrac{\dfrac{x+1}{x-2}+\dfrac{x}{x+1}}{\dfrac{1}{x+1}} \]
최소공배분모인 \( (x - 2)(x + 1) \)로 통분하여 분자를 먼저 간소화합니다.
\[ = \dfrac{\dfrac{x+1}{x-2} \cdot \dfrac{x+1}{x+1} +\dfrac{x}{x+1} \cdot \dfrac{x-2}{x-2} }{\dfrac{1}{x+1}} \]
\[ = \dfrac{ \dfrac{(x+1)^2+x(x-2)}{(x+1)(x-2)} }{\dfrac{1}{x+1}}\]
분모의 역수를 곱하는 나눗셈 법칙을 적용합니다.
\[ = \dfrac{((x+1)^2+x(x-2))}{(x+1)(x-2)} \cdot \dfrac{x+1}{1} \]
공통인수를 소거하여 간소화합니다.
\[ = \dfrac{((x+1)^2+x(x-2))}{{\cancel{(x+1)}}(x-2)} \cdot \dfrac{\cancel{(x+1)}}{1} = \dfrac{(x+1)^2+x(x-2)}{x-2}\]
분자를 전개하고 간소화합니다.
\[ = \dfrac{(x^2+2x+1) + (x^2-2x)}{x-2} = \mathbf{\dfrac{2x^2+1}{x-2}} \;\; \text{단,} \;\; x \ne -1\]
간소화하세요: \[ \dfrac{\dfrac{x-1}{3x+2}+3}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \]
분자의 항들을 같은 분모로 변환합니다.
\[ \dfrac{\dfrac{x-1}{3x+2}+3 \cdot \dfrac{3x+2}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 = \dfrac{\dfrac{x - 1 +3(3x+2)}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \]
분자를 전개하고 간소화합니다.
\[ = \dfrac{\dfrac{10x + 5}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \]
역수를 곱합니다.
\[ = \dfrac{10x + 5}{3x+2} \cdot \dfrac{6x+4}{x+1} - 2 \]
상수를 인수분해하여 공통 소거 항목을 찾습니다.
\[ = \dfrac{5(2x + 1)}{3x+2} \cdot \dfrac {2(3x+2)}{x+1} - 2 \]
\( (3x+2) \)를 소거하고 곱합니다.
\[ = \dfrac{5(2x + 1)}{{\cancel{3x+2}}} \cdot \dfrac {2{\cancel{(3x+2)}}}{x+1} - 2 = \dfrac{10 (2x+1)}{x+1}-2 \]
같은 분모로 변환하여 결합합니다.
\[ = \dfrac{10(2x+1)}{x+1} - 2 \cdot \dfrac{x+1}{x+1} = \dfrac{20x + 10 - 2x - 2}{x+1} = \dfrac{18x+8}{x+1} = \mathbf{\dfrac{2(9x+4)}{x+1}} \]
간소화하세요: \[ \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{x+1}}} \]
가장 안쪽의 분수부터 시작하여 위쪽으로 올라갑니다. \( x + \dfrac{1}{x+1} \)의 항들을 같은 분모로 통분합니다.
\[ \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x \cdot \dfrac{x+1}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}}} = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\dfrac{x^2+x+1}{x+1}}} \]
\( \dfrac{1}{\dfrac{A}{B}} \)는 역수인 \( \dfrac{B}{A} \)임에 유의하세요.
\[ = \dfrac{1}{1+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1}} \]
나머지 분모 항들을 공통분모로 통분합니다.
\[ = \dfrac{1}{1 \cdot \dfrac{x^2+x+1}{x^2+x+1}+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1}} \]
간소화하고 더합니다.
\[ = \dfrac{1}{ \dfrac{x^2+x+1+x+1}{x^2+x+1}} = \dfrac{1}{ \dfrac{x^2+2x+2}{x^2+x+1}}\]
최종 역수를 취합니다.
\[ = \mathbf{\dfrac{x^2+x+1}{x^2+2x+2}} \]
다음 식을 간소화하세요. 답을 확인하려면 "풀이 보기"를 클릭하세요.
문제: \( \dfrac{\dfrac{2}{5} + 7}{\dfrac{4}{3}} +\dfrac{1}{3} \)
정답: \( \dfrac{353}{60} \)
문제: \( \dfrac{\dfrac{x-2}{x+3}+\dfrac{x}{x+3}}{\dfrac{1}{2x+6}} \)
정답: \( 4(x-1) \)
문제: \( \dfrac{\dfrac{x-1}{3x-12}+3}{\dfrac{x+1}{x-4}} - \dfrac{2}{3} \)
정답: \( \dfrac{8x-39}{3(x+1)} \)
문제: \( \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+1}-\dfrac{4}{x+1}}{\dfrac{1}{x-5}-\dfrac{4}{x-5}} \)
정답: \( \dfrac{ (x+2)(x-5)}{3(x+1)} \)
문제: \( \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+2} - \dfrac{4}{x+3}}{\dfrac{1}{x+3} \cdot \dfrac{4}{x+3}} \)
정답: \( \dfrac{(-x^2-5x-2)(x+3)}{4(x+2)} \)
문제: \( \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{x-1}-2}} \)
정답: \( \dfrac{-2x+3}{2(-x+2)} \)
도전 1: 다항식 인수분해가 필요한 복잡 분수를 간소화하세요.
\[ \dfrac{ \dfrac{x^2-9}{x^2-4x+4} }{ \dfrac{x+3}{x-2} } \]
1단계: 나눗셈 법칙(역수 곱하기)을 적용합니다.
\[ = \dfrac{x^2-9}{x^2-4x+4} \cdot \dfrac{x-2}{x+3} \]
2단계: 분자와 분모를 인수분해합니다. 합차 공식과 완전제곱 삼항식에 유의하세요.
\[ = \dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x-2)} \cdot \dfrac{x-2}{x+3} \]
3단계: 공통인수 \( (x+3) \)과 \( (x-2) \)를 소거합니다.
\[ = \dfrac{(x-3){\cancel{(x+3)}}}{(x-2){\cancel{(x-2)}}} \cdot \dfrac{\cancel{x-2}}{\cancel{x+3}} \]
정답: \( \mathbf{\dfrac{x-3}{x-2}} \)
도전 2: 이차 분모가 있는 유리식의 덧셈과 뺄셈을 수행하세요.
\[ \dfrac{2x}{x^2-1} - \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{3}{x+1} \]
1단계: 모든 분모를 인수분해하여 최소공배분모(LCD)를 찾습니다. 여기서는 \( x^2-1 = (x-1)(x+1) \)입니다.
LCD는 \( (x-1)(x+1) \)입니다.
2단계: 각 분수를 LCD로 다시 씁니다.
\[ \dfrac{2x}{(x-1)(x+1)} - \dfrac{1 \cdot (x+1)}{(x-1)(x+1)} + \dfrac{3 \cdot (x-1)}{(x-1)(x+1)} \]
3단계: 하나의 분모로 결합합니다. 마이너스 부호를 분배하는 것에 주의하세요!
\[ = \dfrac{2x - (x+1) + 3(x-1)}{(x-1)(x+1)} \]
4단계: 분자의 동류항을 전개하고 결합합니다.
\[ = \dfrac{2x - x - 1 + 3x - 3}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{4x - 4}{(x-1)(x+1)} \]
5단계: 추가로 소거되는 항목이 있는지 확인하기 위해 분자를 인수분해합니다.
\[ = \dfrac{4(x-1)}{(x-1)(x+1)} \]
정답: \( \mathbf{\dfrac{4}{x+1}} \)
도전 3: 다중 레벨 연분수를 간소화하세요.
\[ 2 - \dfrac{1}{2 - \dfrac{1}{2 - x}} \]
1단계: 가장 안쪽의 분모인 \( 2 - \dfrac{1}{2 - x} \)를 간소화합니다.
\[ 2 \cdot \dfrac{2-x}{2-x} - \dfrac{1}{2-x} = \dfrac{4 - 2x - 1}{2-x} = \dfrac{3 - 2x}{2-x} \]
2단계: 이를 메인 방정식에 다시 대입합니다. \( \dfrac{1}{\dfrac{A}{B}} = \dfrac{B}{A} \)임을 기억하세요.
\[ 2 - \dfrac{1}{\dfrac{3 - 2x}{2-x}} = 2 - \dfrac{2-x}{3-2x} \]
3단계: 최종 항들을 결합하기 위해 공통분모를 찾습니다.
\[ = \dfrac{2(3-2x)}{3-2x} - \dfrac{2-x}{3-2x} = \dfrac{6 - 4x - (2 - x)}{3-2x} \]
4단계: 동류항을 결합합니다.
\[ = \dfrac{6 - 4x - 2 + x}{3-2x} \]
정답: \( \mathbf{\dfrac{4 - 3x}{3 - 2x}} \)