단위원과 항등식을 이용한 단계별 예제
삼각방정식을 풀려면 삼각함수를 고립시키고, 기준각을 찾은 후, 단위원를 사용하여 올바른 사분면의 각도를 결정해야 합니다. 방정식이 더 복잡할 때는 먼저 삼각항등식을 사용하여 간소화합니다. 기본 선형 형태부터 도전적인 이차 방정식까지 다양한 예제를 살펴보겠습니다.
다음 삼각방정식의 모든 해를 구하세요: \[ \sqrt{3} \sec(\theta) + 2 = 0 \]
역수 항등식 \( \sec(\theta) = \dfrac{1}{\cos(\theta)} \)을 사용하여 코사인을 고립시키도록 방정식을 다시 쓸 수 있습니다:
\[ \cos(\theta) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]
절댓값을 취하여 기준각 \( \theta_r \)을 구합니다 (\( \cos(\theta_r) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)):
\[ \theta_r = \dfrac{\pi}{6} \]
\( \cos(\theta) \)가 음수이므로 실제 각도는 제2사분면 또는 제3사분면에 있어야 합니다.
\[ \text{제2사분면: } \theta_1 = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} \]
\[ \text{제3사분면: } \theta_2 = \pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6} \]
일반해: 코사인의 주기적 특성을 고려하여 \( 2n\pi \)를 더합니다 (여기서 \(n\)은 정수입니다).
\[ \theta = \mathbf{\dfrac{5\pi}{6} + 2n\pi} \quad \text{and} \quad \theta = \mathbf{\dfrac{7\pi}{6} + 2n\pi} \]
삼각방정식을 푸세요: \[ 2 \sin(\theta) = -1 \]
양변을 2로 나누어 사인 함수를 고립시킵니다:
\[ \sin(\theta) = -\dfrac{1}{2} \]
사인이 \( 1/2 \)인 기준각은 \( \theta_r = \dfrac{\pi}{6} \)입니다. 사인 값이 음수이므로 각도는 제3사분면과 제4사분면에 있어야 합니다.
\[ \text{제3사분면: } \theta_1 = \pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6} \]
\[ \text{제4사분면: } \theta_2 = 2\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{11\pi}{6} \]
일반해:
\[ \theta = \mathbf{\dfrac{7\pi}{6} + 2n\pi} \quad \text{and} \quad \theta = \mathbf{\dfrac{11\pi}{6} + 2n\pi} \]
위상 이동과 다중각이 포함된 다음 방정식을 푸세요: \[ \sqrt{2} \cos\left(3x + \dfrac{\pi}{4}\right) = -1 \]
먼저 내부 인수를 임시 변수로 치환합니다. \( \theta = 3x + \dfrac{\pi}{4} \)라고 합시다. 코사인을 고립시킵니다:
\[ \cos(\theta) = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \]
기준각은 \( \theta_r = \dfrac{\pi}{4} \)입니다. 코사인은 제2사분면과 제3사분면에서 음수입니다. \(\theta\)에 대한 해를 찾습니다:
\[ \theta_1 = \pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} + 2n\pi \]
\[ \theta_2 = \pi + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4} + 2n\pi \]
이제 \(\theta\) 자리에 \( 3x + \dfrac{\pi}{4} \)를 다시 대입하고 \(x\)에 대해 풉니다.
첫 번째 방정식:
\[ 3x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} + 2n\pi \]
\[ 3x = \dfrac{2\pi}{4} + 2n\pi = \dfrac{\pi}{2} + 2n\pi \]
\[ x_1 = \mathbf{\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2n\pi}{3}} \]
두 번째 방정식:
\[ 3x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4} + 2n\pi \]
\[ 3x = \dfrac{4\pi}{4} + 2n\pi = \pi + 2n\pi \]
\[ x_2 = \mathbf{\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2n\pi}{3}} \]
이차 삼각방정식을 푸세요: \[ - 2 \sin^2 x - \cos x = - 1 \]
방정식에 사인 제곱과 코사인이 모두 포함된 경우, 피타고라스 항등식 \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \)를 사용하여 모든 것을 코사인으로 변환합니다.
\[ -2(1 - \cos^2 x) - \cos x = -1 \]
\[ -2 + 2\cos^2 x - \cos x = -1 \]
표준 이차 방정식(\(ax^2+bx+c=0\))을 형성하기 위해 모든 항을 한쪽으로 옮깁니다:
\[ 2 \cos^{2} x - \cos x - 1 = 0 \]
이차식을 인수분해합니다 (\(\cos x\)를 변수 \(u\)처럼 취급):
\[ (2 \cos x + 1)(\cos x - 1) = 0 \]
각 인수를 독립적으로 풉니다:
경우 1: \( 2 \cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\dfrac{1}{2} \)
\[ x = \mathbf{\dfrac{2\pi}{3} + 2n\pi} \quad \text{and} \quad x = \mathbf{\dfrac{4\pi}{3} + 2n\pi} \]
경우 2: \( \cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1 \)
코사인은 0 라디안에서 1입니다.
\[ x = 0 + 2n\pi \Rightarrow \mathbf{x = 2n\pi} \]
도전 1 (배각 항등식): \(x\)에 대해 푸세요: \[ \sin(2x) + \cos(x) = 0 \]
1단계: 사인의 배각 항등식 \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \)을 적용합니다.
\[ 2\sin(x)\cos(x) + \cos(x) = 0 \]
2단계: 공통 인수 \( \cos(x) \)로 묶어냅니다.
\[ \cos(x)(2\sin(x) + 1) = 0 \]
3단계: 각 인수를 0으로 놓고 풉니다.
인수 1: \( \cos(x) = 0 \Rightarrow \mathbf{x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi} \)
인수 2: \( 2\sin(x) + 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = -\dfrac{1}{2} \)
\[ \Rightarrow \mathbf{x = \dfrac{7\pi}{6} + 2n\pi} \quad \text{and} \quad \mathbf{x = \dfrac{11\pi}{6} + 2n\pi} \]
도전 2 (피타고라스 항등식): \(x\)에 대해 푸세요: \[ \tan^2(x) - \sec(x) = 1 \]
1단계: 항등식 \( \tan^2(x) = \sec^2(x) - 1 \)을 사용하여 모든 것을 시컨트로 표현합니다.
\[ (\sec^2(x) - 1) - \sec(x) = 1 \]
2단계: 0으로 설정된 이차 방정식으로 정리합니다.
\[ \sec^2(x) - \sec(x) - 2 = 0 \]
3단계: 이차 방정식을 인수분해합니다.
\[ (\sec(x) - 2)(\sec(x) + 1) = 0 \]
4단계: 역수 항등식을 사용하여 코사인을 구합니다.
인수 1: \( \sec(x) = 2 \Rightarrow \cos(x) = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \mathbf{x = \dfrac{\pi}{3} + 2n\pi, \dfrac{5\pi}{3} + 2n\pi} \)
인수 2: \( \sec(x) = -1 \Rightarrow \cos(x) = -1 \Rightarrow \mathbf{x = \pi + 2n\pi} \)
도전 3 (무연근): 구간 \( [0, 2\pi) \)에서 \(x\)에 대해 푸세요: \[ \sin(x) - \cos(x) = 1 \]
1단계: 방정식의 양변을 제곱합니다. 주의: 제곱하면 무연근이 생길 수 있으므로 최종 답을 반드시 확인해야 합니다.
\[ (\sin(x) - \cos(x))^2 = 1^2 \]
\[ \sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) = 1 \]
2단계: 항등식 \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \)과 \( 2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x) \)를 사용합니다.
\[ 1 - \sin(2x) = 1 \]
\[ \sin(2x) = 0 \]
3단계: \( 2x \)에 대해 풉니다. 사인은 \( \pi \)의 정수 배에서 0입니다.
\[ 2x = n\pi \Rightarrow x = \dfrac{n\pi}{2} \]
구간 \( [0, 2\pi) \)에서 가능한 각도는 \( 0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2} \)입니다.
4단계: 원래 방정식 \( \sin(x) - \cos(x) = 1 \)에서 무연근이 있는지 확인합니다.
정답: \( \mathbf{x = \dfrac{\pi}{2}} \) 및 \( \mathbf{x = \pi} \)