대칭성을 이용한 정확한 삼각함수 값 찾기
원의 중심을 지나는 모든 직선은 대칭축입니다. 원점이 중심인 단위원 \( (0,0) \)을 고려합니다. 우리는 세 가지 특정 대칭성에 관심이 있습니다:
아래 단위원은 라디안과 도 단위의 특수각인 \( 0, \dfrac{\pi}{6} (30^\circ), \dfrac{\pi}{4} (45^\circ), \dfrac{\pi}{3} (60^\circ), \text{및 } \dfrac{\pi}{2} (90^\circ) \)에 대한 코사인(x좌표)과 사인(y좌표)을 보여줍니다.
다음 각도를 고려하십시오: \( \dfrac{2\pi}{3} \), \( \dfrac{4\pi}{3} \), 및 \( \dfrac{5\pi}{3} \). 이들은 모두 기준각이 \( \dfrac{\pi}{3} \)입니다.
기본 값: \( \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
\[ \dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3} \]
제2사분면에서 x는 음수이고 y는 양수입니다.
\[ \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]
\[ \sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]
\[ \dfrac{4\pi}{3} = \pi + \dfrac{\pi}{3} \]
제3사분면에서 x와 y 모두 음수입니다.
\[ \cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]
\[ \sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]
\[ \dfrac{5\pi}{3} = 2\pi - \dfrac{\pi}{3} \]
제4사분면에서 x는 양수이고 y는 음수입니다.
\[ \cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{\dfrac{1}{2}} \]
\[ \sin\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]
다음 각도를 고려하십시오: \( \dfrac{5\pi}{6} \), \( \dfrac{7\pi}{6} \), 및 \( \dfrac{11\pi}{6} \). 이들은 모두 기준각이 \( \dfrac{\pi}{6} \)입니다.
기본 값: \( \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2} \)
\[ \dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6} \]
\[ \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]
\[ \sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{\dfrac{1}{2}} \]
\[ \dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6} \]
\[ \cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]
\[ \sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]
\[ \dfrac{11\pi}{6} = 2\pi - \dfrac{\pi}{6} \]
\[ \cos\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]
\[ \sin\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]
다음 각도를 고려하십시오: \( \dfrac{3\pi}{4} \), \( \dfrac{5\pi}{4} \), 및 \( \dfrac{7\pi}{4} \). 이들은 모두 기준각이 \( \dfrac{\pi}{4} \)입니다.
기본 값: \( \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
\[ \dfrac{3\pi}{4} = \pi - \dfrac{\pi}{4} \]
\[ \cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]
\[ \sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]
\[ \dfrac{5\pi}{4} = \pi + \dfrac{\pi}{4} \]
\[ \cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]
\[ \sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]
\[ \dfrac{7\pi}{4} = 2\pi - \dfrac{\pi}{4} \]
\[ \cos\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]
\[ \sin\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]
계산기 없이 다음 문제를 풀기 위해 단위원, 기준각, 동경에 대한 지식을 적용하세요.
질문 1 (음의 각): \( \cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) \)와 \( \sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) \)의 정확한 값을 구하세요.
1단계: 음의 각은 시계 방향 회전을 의미합니다. 양의 동경각을 찾으려면 \( 2\pi \)를 더합니다.
\[ -\dfrac{3\pi}{4} + \dfrac{8\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4} \]
2단계: 각 \( \dfrac{5\pi}{4} \)는 제3사분면에 있습니다. 사인과 코사인 모두 음수입니다.
정답: \( \cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \) 및 \( \sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \)
질문 2 (\(2\pi\)보다 큰 각): \( \dfrac{16\pi}{3} \)의 정확한 사인과 코사인을 구하세요.
1단계: 온 바퀴(\( 2\pi \) 또는 \( \dfrac{6\pi}{3} \))를 반복해서 빼어 \( 0 \)과 \( 2\pi \) 사이의 동경각을 찾습니다.
\[ \dfrac{16\pi}{3} - \dfrac{6\pi}{3} = \dfrac{10\pi}{3} \]
\[ \dfrac{10\pi}{3} - \dfrac{6\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} \]
2단계: 각 \( \dfrac{4\pi}{3} \)는 기준각이 \( \dfrac{\pi}{3} \)인 제3사분면에 있습니다.
정답: \( \cos\left(\dfrac{16\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \) 및 \( \sin\left(\dfrac{16\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \)
질문 3 (역삼각함수): \( \sec\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) \)와 \( \csc\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) \)의 정확한 값을 구하세요.
1단계: 기본 사인 및 코사인 값을 식별합니다. 각 \( \dfrac{11\pi}{6} \)는 제4사분면에 있습니다.
\[ \cos\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{and} \quad \sin\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} \]
2단계: 역수 항등식을 사용합니다: \( \sec(\theta) = \dfrac{1}{\cos(\theta)} \) 및 \( \csc(\theta) = \dfrac{1}{\sin(\theta)} \).
\[ \sec\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \mathbf{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}} \]
\[ \csc\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{-1/2} = \mathbf{-2} \]