삼각항등식 및 단위원

대칭성을 이용한 성질 및 증명 유도

단위원을 사용하여 사인과 코사인 함수의 성질과 삼각항등식을 어떻게 찾을 수 있습니까?

원은 무수히 많은 대칭성을 가지고 있습니다. 여기서는 특히 x축, y축, 원점, 그리고 직선 \( y = x \)에 대한 대칭성에 주목합니다. 이러한 기하학적 대칭성을 이용하면 삼각법의 여러 기초 항등식을 시각적으로 유도하고 작성할 수 있습니다.

원점, x축 및 y축 대칭으로 인한 항등식

네 개의 각 \( \theta \), \( \pi - \theta \), \( \pi + \theta \), \( 2\pi - \theta \)가 아래 단위원에 표시되어 있습니다. 각 각도는 원 위의 한 점(\( A, B, C \) 또는 \( D \))에 해당합니다.

4개의 점으로 형성된 직사각형을 보여주는 단위원의 대칭성

네 각은 모두 \( \theta \)와 같은 기준각을 가집니다. 단위원의 대칭성에 의해 네 점은 직사각형 \( ABCD \)를 형성합니다. 점 \( A \)의 좌표가 \( (a, b) \)일 때, 반사를 통해 다른 점들의 좌표를 구할 수 있습니다:

유도된 항등식

점 A와 B로부터 (y축 대칭):

\[ \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \]

\[ \sin(\pi - \theta) = \sin\theta \]

점 A와 C로부터 (원점 대칭):

\[ \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \]

\[ \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta \]

점 A와 D로부터 (x축 대칭):

\[ \cos(2\pi - \theta) = \cos\theta \]

\[ \sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta \]

음의 각 (x축 대칭)

두 각 \( \theta \)와 \( -\theta \)가 아래에 표시되어 있으며, 각각 점 \( A \)와 \( D \)에 해당합니다.

양의 각과 음의 각을 보여주는 단위원의 대칭성

점 \( A \)와 \( D \)는 x축을 기준으로 서로 대칭입니다. 앞서 보았듯이 그 좌표는 \( A(a,b) \) 및 \( D(a,-b) \)입니다. 이를 통해 "우함수/기함수" 삼각항등식을 얻습니다:

\[ \cos(-\theta) = \cos\theta \]

\[ \sin(-\theta) = -\sin\theta \]

직선 \( y = x \)에 대한 대칭으로 인한 항등식

아래에 표시된 점 \( A \)와 \( B \)는 대각선 \( y = x \)를 기준으로 서로 대칭입니다. 이 대칭성으로 인해 해당 각도는 \( \theta \)와 \( \dfrac{\pi}{2} - \theta \)가 됩니다.

직선 y = x에 대한 단위원의 대칭성

\( y = x \)에 대한 대칭 이동은 x 좌표와 y 좌표를 서로 바꿉니다. \( A \)가 \( (a, b) \)이면 \( B \)는 \( (b, a) \)입니다.

여각 공식 (Cofunction Identities)

\[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin\theta \]

\[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos\theta \]

항등식의 대수적 검증

표준 각의 덧셈 및 뺄셈 공식을 사용하여 방금 발견한 모든 시각적 대칭성을 대수적으로 증명할 수 있습니다:

1. 검증: \( \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \)

\[ \cos(\pi - \theta) = \cos\pi \cos\theta + \sin\pi \sin\theta \]

\( \cos\pi = -1 \) 및 \( \sin\pi = 0 \)을 사용하여:

\[ = (-1)\cos\theta + (0)\sin\theta = \mathbf{-\cos\theta} \]

2. 검증: \( \sin(\pi - \theta) = \sin\theta \)

\[ \sin(\pi - \theta) = \sin\pi \cos\theta - \cos\pi \sin\theta \]

\( \sin\pi = 0 \) 및 \( \cos\pi = -1 \)을 사용하여:

\[ = (0)\cos\theta - (-1)\sin\theta = \mathbf{\sin\theta} \]

3. 검증: \( \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \)

\[ \cos(\pi + \theta) = \cos\pi \cos\theta - \sin\pi \sin\theta \]

\[ = (-1)\cos\theta - (0)\sin\theta = \mathbf{-\cos\theta} \]

4. 검증: \( \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta \)

\[ \sin(\pi + \theta) = \sin\pi \cos\theta + \cos\pi \sin\theta \]

\[ = (0)\cos\theta + (-1)\sin\theta = \mathbf{-\sin\theta} \]

5. 검증: \( \cos(2\pi - \theta) = \cos\theta \)

\[ \cos(2\pi - \theta) = \cos 2\pi \cos\theta + \sin 2\pi \sin\theta \]

\( \cos 2\pi = 1 \) 및 \( \sin 2\pi = 0 \)을 사용하여:

\[ = (1)\cos\theta + (0)\sin\theta = \mathbf{\cos\theta} \]

6. 검증: \( \sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta \)

\[ \sin(2\pi - \theta) = \sin 2\pi \cos\theta - \cos 2\pi \sin\theta \]

\[ = (0)\cos\theta - (1)\sin\theta = \mathbf{-\sin\theta} \]

7. 검증: \( \cos(-\theta) = \cos\theta \)

\( \cos(0 - \theta) \)로 다시 씁니다:

\[ \cos(0 - \theta) = \cos 0 \cos\theta + \sin 0 \sin\theta \]

\( \cos 0 = 1 \) 및 \( \sin 0 = 0 \)을 사용하여:

\[ = (1)\cos\theta + (0)\sin\theta = \mathbf{\cos\theta} \]

8. 검증: \( \sin(-\theta) = -\sin\theta \)

\( \sin(0 - \theta) \)로 다시 씁니다:

\[ \sin(0 - \theta) = \sin 0 \cos\theta - \cos 0 \sin\theta \]

\[ = (0)\cos\theta - (1)\sin\theta = \mathbf{-\sin\theta} \]

9. 검증: \( \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \)

\[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\dfrac{\pi}{2} \cos\theta + \sin\dfrac{\pi}{2} \sin\theta \]

\( \cos\dfrac{\pi}{2} = 0 \) 및 \( \sin\dfrac{\pi}{2} = 1 \)을 사용하여:

\[ = (0)\cos\theta + (1)\sin\theta = \mathbf{\sin\theta} \]

10. 검증: \( \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta \)

\[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\dfrac{\pi}{2} \cos\theta - \cos\dfrac{\pi}{2} \sin\theta \]

\[ = (1)\cos\theta - (0)\sin\theta = \mathbf{\cos\theta} \]

도전 문제

대칭성, 항등식, 각의 덧셈 공식에 대한 이해를 바탕으로 다음 도전 문제를 푸세요.

도전 1 (탄젠트 대칭성): 위에서 유도한 사인과 코사인 대칭성을 이용하여 탄젠트 함수의 주기가 \( \pi \)임을 증명하세요. 즉, \( \tan(\pi + \theta) = \tan\theta \)임을 증명하세요.

증명 보기

1단계: 몫 항등식을 사용하여 탄젠트를 사인과 코사 표현으로 다시 씁니다.

\[ \tan(\pi + \theta) = \dfrac{\sin(\pi + \theta)}{\cos(\pi + \theta)} \]

2단계: 원점 대칭(제3사분면)에 대한 대칭성을 대입합니다.

\[ \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta \]

\[ \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \]

3단계: 분수를 간소화합니다.

\[ \dfrac{-\sin\theta}{-\cos\theta} = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \mathbf{\tan\theta} \]

도전 2 (대칭성 적용): 계산기 없이 다음 식의 정확한 값을 구하세요: \[ \sin\left(\dfrac{13\pi}{4}\right) \cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right) \]

풀이 보기

1단계: 사인 항 간소화.
\( 2\pi \) (\( \dfrac{8\pi}{4} \))를 빼서 \( \dfrac{13\pi}{4} \)의 동경각을 찾습니다.
\( \sin\left(\dfrac{13\pi}{4}\right) = \sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) \).
이는 제3사분면에 있으며 \( \dfrac{\pi}{4} \)와 관련이 있습니다. 따라서 \( \sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)입니다.

2단계: 코사인 항 간소화.
우함수 성질을 사용합니다: \( \cos(-\theta) = \cos(\theta) \).
\( \cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) \).
이는 제2사분면에 있으며 \( \dfrac{\pi}{6} \)와 관련이 있습니다. 따라서 \( \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)입니다.

3단계: 값들을 곱합니다.

\[ \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{6}}{4}} \]

도전 3 (고급 여각 공식): 각의 덧셈 공식을 사용하여 음의 y축(제3/제4사분면 경계)에 대한 대칭 항등식을 검증하세요: \[ \cos\left(\dfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin\theta \]

증명 보기

1단계: 코사인 뺄셈 공식 \( \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \)를 사용하여 전개합니다.

\[ \cos\left(\dfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = \cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) \cos\theta + \sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) \sin\theta \]

2단계: \( \dfrac{3\pi}{2} \) (270도)에서의 삼각함수 값을 구합니다.

단위원의 맨 아래에서 좌표는 \( (0, -1) \)입니다. 따라서 \( \cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = 0 \)이고 \( \sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = -1 \)입니다.

3단계: 대입하고 간소화합니다.

\[ = (0)\cos\theta + (-1)\sin\theta = \mathbf{-\sin\theta} \]

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