11학년 삼각법 문제 및 풀이

a) \( P \)를 승객의 위치라고 합시다 (아래 그림 참조).

승객의 높이 \( h \)는 다음과 같이 주어집니다:

\[ h = 1 + 25 + y = y + 26 \]

여기서 \( y \)는 회전각 \( A \)에 따라 달라집니다. 삼각법을 사용하여 다음과 같이 씁니다:

\[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - A\right) = \dfrac{y}{\text{radius}} = \dfrac{y}{25} \quad \Rightarrow \quad y = 25 \cos(A) \]

각 \( A \)는 다음과 같이 각속도 \( \omega \)에 따라 달라집니다: \( A = \omega t \).

각속도 \( \omega \)는 다음과 같이 주어집니다:

\[ \omega = \dfrac{2\pi}{36} = \dfrac{\pi}{18} \text{ 라디안/초} \]

높이 식에 대입하면 다음을 얻습니다:

\[ h(t) = 25 \cos\left(\dfrac{\pi}{18} t\right) + 26 \]

여기서 \( t \)는 초 단위이고 높이는 미터 단위입니다.

b) \( t = 45 \)초일 때의 높이를 구하려면:

\[ h(45) = 25 \cos\left(\dfrac{\pi}{18} \cdot 45\right) + 26 = 25 \cos\left(\dfrac{45\pi}{18}\right) + 26 \]

\[ = 25 \cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right) + 26 = 25 \cdot 0 + 26 = \mathbf{26 \text{ meters}} \]

아래 그림을 이용하여,

형성된 직각삼각형을 바탕으로 다음 방정식을 작성합니다:

\[ \tan(35^\circ) = \dfrac{h}{x} \quad \text{and} \quad \tan(45^\circ) = \dfrac{h}{x - 20} \]

여기서 \( h \)는 나무의 높이입니다. 두 방정식을 \( x \)에 대해 풀면 다음과 같습니다:

\[ x = \dfrac{h}{\tan(35^\circ)} \quad \text{and} \quad x = \dfrac{h}{\tan(45^\circ)} + 20 \]

\( x \)에 대한 두 식을 서로 같다고 놓으면:

\[ \dfrac{h}{\tan(35^\circ)} = \dfrac{h}{\tan(45^\circ)} + 20 \]

\( h \)에 대해 풀면:

\[ h = \dfrac{20 \cdot \tan(35^\circ) \cdot \tan(45^\circ)}{\tan(45^\circ) - \tan(35^\circ)} = \mathbf{46.7 \text{ meters}} \]

아래 그림을 사용하여 삼각법 관계에 기반한 다음 방정식을 작성합니다:

\[ \tan (90^\circ - 15^\circ) = \tan(75^\circ) = \dfrac{y}{200} \quad \text{and} \quad \tan(90^\circ - 13^\circ) = \tan(77^\circ) = \dfrac{y + x}{200} \]

두 방정식에서 \( y \)를 소거하고 \( x \)에 대해 풉니다:

\[ x = 200 \left[ \tan(77^\circ) - \tan(75^\circ) \right] = \mathbf{119.9 \text{ meters}} \]

\( R_1 \)과 \( R_2 \)를 각각 기어 1과 기어 2의 반지름이라 하고, \( S_1 \)과 \( S_2 \)를 각각 기어 1과 기어 2의 회전 호의 길이라고 합니다. 맞물린 기어들은 접선 속도(초당 인치 단위)가 서로 같으므로, 호 \( S_1 \)과 \( S_2 \)의 길이는 같습니다.

\[ R_1 \times t_1 = R_2 \times t_2 \]

여기서 \( t_1 \)과 \( t_2 \)는 각각 큰 기어와 작은 기어의 회전각입니다.

\[ 10 \times t_1 = 4 \times 890^\circ \]

\[ t_1 = 356^\circ \]

각속도는 다음과 같이 계산됩니다:

\[ \text{Angular speed} = \dfrac{356^\circ}{4 \text{ seconds}} = 89^\circ \text{ per second} \]

\[ = 89^\circ \times \dfrac{60}{1} = \mathbf{5340^\circ \text{ per minute}} \]

사다리, 벽, 그리고 지면은 직각삼각형을 형성합니다. 따라서,

a) \( \sin(t) = \dfrac{x}{20} \) 또는 \( \mathbf{x = 20 \sin(t)} \)

b) \( x = \dfrac{1}{4} \times 20 = 5 \)

방정식에 대입합니다: \( 5 = 20 \sin(t) \Rightarrow \sin(t) = \dfrac{1}{4} \)

\( t \)에 대해 풉니다: \[ t = \arcsin\left(\dfrac{1}{4}\right) \approx \mathbf{14.48^\circ} \]

우변에서 시작합니다:

\[ \cos(x) - \sin(3x) = \cos(x) - \sin(x + 2x) \]

\( \sin(x + 2x) \)를 전개합니다:

\[ = \cos(x) - \sin(x)\cos(2x) - \cos(x)\sin(2x) \]

---

이제 좌변의 곱을 전개합니다:

\[ [\cos(x) - \sin(x)][\cos(2x) - \sin(2x)] \]

\[ = \cos(x)\cos(2x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) + \sin(x)\sin(2x) \]

첫 번째 항과 마지막 항을 변형하기 위해 항등식 \( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \) 및 \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \)를 사용합니다:

\[ = \cos(x)(1 - 2\sin^2(x)) + \sin(x)\cdot 2\sin(x)\cos(x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) \]

\[ = \cos(x) - 2\cos(x)\sin^2(x) + 2\cos(x)\sin^2(x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) \]

\( 2\cos(x)\sin^2(x) \) 항들이 소거됩니다:

\[ = \cos(x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) \]

좌변이 우변과 일치하도록 변형되었습니다. 증명이 완료되었습니다.

여각 공식을 사용하여 첫 번째 방정식을 전개하고 간소화합니다:

\[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\cos(x) + \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\sin(x) = \mathbf{\sin(x) = -\dfrac{3}{5}} \]

두 번째 방정식을 전개하고 간소화합니다:

\[ \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) = \sin(x) \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + \cos(x) \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos(x) = \dfrac{4}{5} \]

이제 \( \tan(x) \)를 계산합니다:

\[ \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} = \dfrac{-3/5}{4/5} = \mathbf{-\dfrac{3}{4}} \]

여기서 탄젠트 덧셈 공식을 역으로 사용할 수 있습니다:

\[ \dfrac{\tan(25^\circ) + \tan(50^\circ)}{1 - \tan(25^\circ)\tan(50^\circ)} = \tan(25^\circ + 50^\circ) \]

\[ = \tan(75^\circ) \]

\[ = \tan(45^\circ + 30^\circ) \]

특수각을 사용하여 전개합니다:

\[ = \dfrac{\tan(45^\circ) + \tan(30^\circ)}{1 - \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)} \]

\[ = \dfrac{1 + \dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}} \]

분자와 분모에 3을 곱합니다:

\[ = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \]

분모를 유리화합니다:

\[ = \mathbf{\sqrt{3} + 2} \]

\( \sin(s) = \dfrac{1}{4} \)과 \( \sin(t) = -\dfrac{1}{2} \) 및 각각의 사분면이 주어졌을 때, 피타고라스 항등식을 사용하여 \( \cos(s) \)와 \( \cos(t) \)를 구합니다.

\[ \cos(s) = -\dfrac{\sqrt{15}}{4} \quad \text{and} \quad \cos(t) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

이제 사인과 코사인을 사용하여 탄젠트 덧셈 공식을 전개합니다:

\[ \tan(s + t) = \dfrac{\sin(s + t)}{\cos(s + t)} \]

\[ = \dfrac{\sin(s)\cos(t) + \cos(s)\sin(t)}{\cos(s)\cos(t) - \sin(s)\sin(t)} \]

값을 대입합니다:

\[ = \dfrac{ (\dfrac{1}{4})(\dfrac{\sqrt{3}}{2}) + (-\dfrac{\sqrt{15}}{4})(-\dfrac{1}{2}) }{ (-\dfrac{\sqrt{15}}{4})(\dfrac{\sqrt{3}}{2}) - (\dfrac{1}{4})(-\dfrac{1}{2}) } \]

\[ = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{8} + \dfrac{\sqrt{15}}{8}}{-\dfrac{\sqrt{45}}{8} + \dfrac{1}{8}} \]

8을 곱하고 \( \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \)를 간소화합니다:

\[ = \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{1 - 3\sqrt{5}} \]

분모를 유리화하면 다음과 같습니다:

\[ = \mathbf{-\dfrac{4\sqrt{3} + \sqrt{15}}{11}} \]

먼저 각을 친숙한 사분면으로 축소합니다:

\[ \cos\left(\dfrac{13\pi}{12}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{12} + \pi\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \]

\( \dfrac{\pi}{12} \)는 \( \dfrac{\pi}{6} \)의 절반이므로 이제 반각 공식을 적용합니다:

\[ = -\cos\left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(1 + \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)} \]

\( \cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2 \)를 대입합니다:

\[ = -\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)} \]

\[ = \mathbf{-\sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}}} \]

함수 \( f \)는 다음 형태로 주어집니다:

\[ f(x) = a \sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2 \]

이는 \( g(x) \)의 그래프가 위쪽으로 2단위 수직 이동했음을 나타냅니다. 주어진 값 \( f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1 \)을 이용합니다.

함수에 \( x = \dfrac{\pi}{2} \)를 대입합니다:

\[ 1 = a \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2 \]

\[ 1 = a \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) + 2 \]

알려진 값 \( \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2} \)을 사용하여 다음을 얻습니다:

\[ 1 = a \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \]

\[ a \cdot \dfrac{1}{2} = -1 \quad \Rightarrow \quad a = -2 \]

최종 방정식:

\[ \mathbf{f(x) = -2 \sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2} \]

함수의 일반형은 다음과 같습니다:

\[ y = A \sin(Bx - C) + D \]

문제에서 진폭 \( A = 5/3 \), 수직 이동 \( D = 4 \), 위상 이동 \( C = 0 \)임을 알 수 있습니다.

주기가 \( \pi/2 \)라고 주어졌습니다. 주기와 \( B \) 사이의 관계는 다음과 같습니다:

\[ \text{Period} = \dfrac{2\pi}{B} = \dfrac{\pi}{2} \]

\( B \)에 대해 풀면:

\[ B = 4 \]

\( A \), \( B \), \( D \)를 함수에 대입합니다:

\[ \mathbf{y = \dfrac{5}{3} \sin(4x) + 4} \]

변 \( a \)의 길이를 구하기 위해 코사인 법칙을 적용합니다:

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \]

\[ a^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \cos(46^\circ) \]

\[ a = \sqrt{16 + 64 - 64 \cos(46^\circ)} \approx 5.963 \]

다음으로, 사인 법칙을 사용하여 각 \( B \)를 구합니다:

\[ \dfrac{\sin(B)}{b} = \dfrac{\sin(A)}{a} \]

\[ \dfrac{\sin(B)}{4} = \dfrac{\sin(46^\circ)}{5.963} \]

각 \( B \)에 대해 풀면 다음과 같습니다:

\[ B = \arcsin\left( \dfrac{4 \sin(46^\circ)}{5.963} \right) \approx \mathbf{29^\circ} \text{ (가장 가까운 도로 반올림)} \]

다음 사항에 주목하세요:

\[ 15^2 = 12^2 + 9^2 \quad (225 = 144 + 81) \]

이는 해당 삼각형이 직각삼각형임을 의미합니다. 가장 큰 각은 정확히 \( \mathbf{90^\circ} \)입니다.

길이가 9인 변과 마주보는 각을 각 \( A \)라고 합시다. SOH CAH TOA를 사용하여:

\[ \sin(A) = \dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} = \dfrac{9}{15} \]

각 \( A \)는 대략 \( \mathbf{37^\circ} \)입니다(가장 가까운 도로 반올림).

세 번째 각은 다음과 같습니다:

\[ 90^\circ - 37^\circ = \mathbf{53^\circ} \]

1단계: 피타고라스 항등식 \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \)을 사용하여 방정식을 온전히 사인에 대한 식으로 나타냅니다.

\[ 2(1 - \sin^2(x)) + \sin(x) = 1 \]

\[ 2 - 2\sin^2(x) + \sin(x) = 1 \]

2단계: 모든 항을 한쪽으로 옮겨 0과 같은 표준 이차 방정식을 만듭니다.

\[ 2\sin^2(x) - \sin(x) - 1 = 0 \]

3단계: 이차식을 인수분해합니다. \( \sin(x) \)를 변수로 취급합니다.

\[ (2\sin(x) + 1)(\sin(x) - 1) = 0 \]

4단계: 구간 \( [0, 2\pi) \)에서 각 인수를 \( x \)에 대해 풉니다.

경우 1: \( 2\sin(x) + 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = -1/2 \)

\[ \Rightarrow x = \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6} \]

경우 2: \( \sin(x) - 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = 1 \)

\[ \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} \]

정답: \( \mathbf{x = \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}} \)

1단계: 공통분모인 \( \sin(x)\cos(x) \)를 찾아 두 분수를 합칩니다.

\[ \dfrac{\sin(3x)\cos(x) - \cos(3x)\sin(x)}{\sin(x)\cos(x)} \]

2단계: 분자가 사인 차의 공식의 전개형 \( \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \)와 정확히 일치함을 알 수 있습니다.

\[ = \dfrac{\sin(3x - x)}{\sin(x)\cos(x)} \]

\[ = \dfrac{\sin(2x)}{\sin(x)\cos(x)} \]

3단계: 분자에 사인의 배각 공식 \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \)를 적용합니다.

\[ = \dfrac{2\sin(x)\cos(x)}{\sin(x)\cos(x)} \]

4단계: 공통 항을 소거합니다.

정답: \( \mathbf{2} \)

1단계: \( \text{Area} = \dfrac{1}{2}ab\sin(C) \)를 사용하여 넓이를 구하려면, 먼저 각 \( C \)를 구해야 합니다. 이를 위해 코사인 법칙을 사용할 수 있습니다.

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \]

\[ 8^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos(C) \]

\[ 64 = 25 + 49 - 70\cos(C) \]

\[ 64 = 74 - 70\cos(C) \]

\[ -10 = -70\cos(C) \Rightarrow \cos(C) = \dfrac{1}{7} \]

2단계: 이제 피타고라스 항등식을 사용하여 \( \sin(C) \)를 구합니다. \( C \)는 삼각형의 각이므로 \( \sin(C) \)는 양수여야 합니다.

\[ \sin(C) = \sqrt{1 - \cos^2(C)} = \sqrt{1 - \left(\dfrac{1}{7}\right)^2} \]

\[ \sin(C) = \sqrt{\dfrac{48}{49}} = \dfrac{\sqrt{16 \cdot 3}}{7} = \dfrac{4\sqrt{3}}{7} \]

3단계: 넓이를 계산합니다.

\[ \text{Area} = \dfrac{1}{2}ab\sin(C) = \dfrac{1}{2}(5)(7)\left(\dfrac{4\sqrt{3}}{7}\right) \]

7들이 소거되고 \( \dfrac{1}{2} \cdot 4 = 2 \)가 됩니다.

\[ \text{Area} = 5 \cdot 2\sqrt{3} = \mathbf{10\sqrt{3}} \]