대수학 문제 및 질문과 풀이 - 12학년

밑을 쉽게 비교할 수 있도록 주어진 식들을 동일한 지수로 다시 씁니다. 이를 위해 거듭제곱의 거듭제곱 법칙인 \( (x^a)^b = x^{a \cdot b} \)를 사용합니다.

모든 식의 바깥쪽 지수를 100으로 맞춰서 다시 써봅시다:

\[ 25^{100} \text{ (이미 지수가 100입니다)} \]

\[ 2^{300} = (2^3)^{100} = 8^{100} \]

\[ 3^{400} = (3^4)^{100} = 81^{100} \]

\[ 4^{200} = (4^2)^{100} = 16^{100} \]

\[ 2^{600} = (2^6)^{100} = 64^{100} \]

지수가 모두 동일해졌으므로, 밑수(81, 64, 25, 16, 8)를 단순히 비교하여 큰 것부터 작은 순서로 나열합니다:

\[ \mathbf{3^{400} , \quad 2^{600}, \quad 25^{100} , \quad 4^{200} , \quad 2^{300}} \]

유리수 근 정리에 따르면 다항식 \( P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \)의 가능한 유리수 영점은 다음과 같이 주어진다:

\[ \dfrac{\text{상수항 } a_0\text{의 약수}}{\text{최고차항 계수 } a_n\text{의 약수}} \]

주어진 다항식에서 최고차항 계수와 상수항을 식별합니다:

최고차항 계수는 \( 1 \)이며, 그 약수는 \( \pm 1 \)입니다.

상수항은 \( 6 \)이며, 그 약수는 \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \)입니다.

따라서 상수항의 약수를 최고차항 계수의 약수로 나누면 가능한 유리수 영점은 다음과 같습니다:

\[ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \]

직접 대입과 계산을 통해 유리수 영점을 테스트하여 어떤 값이 0이 되는지 확인합니다:

\[ P(1) = (1)^3 - 7(1) + 6 = 1 - 7 + 6 = 0 \]

\[ P(2) = (2)^3 - 7(2) + 6 = 8 - 14 + 6 = 0 \]

\[ P(-3) = (-3)^3 - 7(-3) + 6 = -27 + 21 + 6 = 0 \]

이 값들이 \( P(x) = 0 \)을 만족하므로 \( P(x) \)의 영점입니다. 다항식 \( P(x) \)는 다음과 같은 유리수 영점을 가집니다:

\[ \mathbf{x = 1, \quad x = 2, \quad x = -3} \]

따라서 \( (x - \text{근}) \) 형태의 이 근들을 사용하여 다항식을 완전히 인수분해할 수 있습니다:

\[ \mathbf{P(x) = (x-1)(x-2)(x+3)} \]

인수와 그 중복도를 결정하기 위해 그래프의 x절편(영점)을 분석합니다. 그래프가 축에 접하고 방향을 바꾸면 짝수 중복도를 가집니다. 축을 곧바로 관통하면 홀수 중복도를 가집니다.

• 그래프에서 \( x = -3 \)일 때, 곡선이 x축에 접하고 방향을 바꿉니다. 이는 \( x = -3 \)이 중복도 2인 영점임을 의미합니다. 이것은 인수 \( (x + 3)^2 \)를 줍니다.
• \( x = 0 \)일 때, 곡선이 축을 곧바로 관통합니다. 이는 \( x = 0 \)이 중복도 1인 영점임을 의미합니다. 이것은 인수 \( x \)를 줍니다.
• \( x = 2 \)일 때, 곡선이 x축에 접하고 다시 방향을 바꿉니다. 이는 \( x = 2 \)가 중복도 2인 영점임을 의미합니다. 이것은 인수 \( (x - 2)^2 \)를 줍니다.

중복도를 더하면(\( 2 + 1 + 2 \)), 다항식의 최저 가능한 차수는 5입니다.

다음으로, 끝 행동(end behavior)을 보고 최고차항 계수의 부호를 결정합니다. 그래프는 오른쪽에서 내려가고 왼쪽에서 올라갑니다. 이러한 끝 행동을 가진 홀수 차수 다항식은 반드시 음수의 최고차항 계수를 가져야 합니다.

최고차항 계수의 절댓값이 1이라고 하였으므로, 최고차항 계수는 정확히 \( -1 \)이어야 합니다.

최고차항 계수와 인수를 결합하면 \( P(x) \)는 다음과 같이 주어집니다:

\[ \mathbf{P(x) = - x (x + 3)^2 (x - 2)^2} \]

켤레 복소수 근 정리에 따라, 다항식 \( P(x) \)의 계수가 실수이므로 모든 복소수 근은 켤레 쌍으로 나타납니다. 따라서 \( 2 - i \)가 영점이면 \( 2 + i \)도 \( P(x) \)의 영점입니다.

다음으로, 이 두 복소수 근을 서로 곱하여 이들에 대응하는 이차 인수를 찾습니다:

\[ (x - (2 - i))(x - (2 + i)) \]

제곱의 차를 형성하도록 식을 재그룹화하면 이 식을 전개하기 더 쉽습니다:

\[ = (x - 2 + i)(x - 2 - i) \]

\[ = (x - 2)^2 - i^2 \]

허수단위의 제곱은 \( -1 \)임을 상기하세요(즉, \( i^2 = -1 \)). 이를 방정식에 대입합니다:

\[ = (x - 2)^2 - (-1) = (x - 2)^2 + 1 \]

이제 완전제곱식을 전개합니다:

\[ = x^2 - 4x + 4 + 1 = x^2 - 4x + 5 \]

\( P(x) \)가 이 이차 인수 \( x^2 - 4x + 5 \)로 나누어떨어지므로, 나머지 인수를 찾기 위해 다항식 긴 나눗셈을 수행합니다:

\[ (x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 8x - 10) \div (x^2 - 4x + 5) \]

나누기를 수행하면 나머지가 0이고 몫이 \( x^2 - 2 \)가 됩니다. 이 몫은 제곱의 차로서 더 인수분해될 수 있습니다:

\[ x^2 - 2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \]

이 인수들을 0으로 설정하면 남은 근들을 얻게 됩니다. 따라서 \( P(x) \)의 전체 영점 집합은 다음과 같습니다:

\[ \mathbf{2 - i, \quad 2 + i, \quad -\sqrt{2}, \quad \sqrt{2}} \]

꼭짓점의 좌표를 직접 대입하기 쉽게 해주는 이차함수의 꼭짓점 형태를 사용합니다:

\[ f(x) = a (x - h)^2 + k \]

주어진 꼭짓점 \( (h, k) = (-2,1) \)을 방정식에 대입합니다:

\[ f(x) = a (x + 2)^2 + 1 \]

이제 주어진 점 \( (0, -3) \)을 사용하여 미지수 승수 \( a \)를 풉니다. \( x = 0 \)과 \( f(0) = -3 \)을 대입합니다:

\[ -3 = a(0 + 2)^2 + 1 \]

제곱된 항을 단순화합니다:

\[ -3 = 4a + 1 \]

양변에서 1을 빼고 \( a \)를 풉니다:

\[ 4a = -4 \implies a = -1 \]

꼭짓점 형태에 \( a = -1 \)을 다시 대입하면 완전한 방정식이 나옵니다:

\[ f(x) = -(x + 2)^2 + 1 \]

\( a \), \( b \), \( c \)의 값을 구하기 위해 이 방정식을 표준형 \( ax^2 + bx + c \)로 전개해야 합니다:

\[ f(x) = -(x^2 + 4x + 4) + 1 \]

음수를 분배합니다:

\[ f(x) = -x^2 - 4x - 4 + 1 \]

상수항을 결합합니다:

\[ f(x) = -x^2 - 4x - 3 \]

이를 표준 이차형식 \( f(x) = ax^2 + bx + c \)와 비교하면 다음을 얻습니다:

\[ \mathbf{a = -1, \quad b = -4, \quad c = -3} \]

방법 1: 대수적 대입

이차함수의 표준형은 다음과 같습니다:

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]

\( f(1) = 3 \)이므로, \( x = 1 \)을 대입하여 첫 번째 방정식을 만듭니다:

\[ 3 = a(1)^2 + b(1) + c \implies 3 = a + b + c \quad \text{(방정식 B)} \]

\( f(5) = 3 \)이므로, \( x = 5 \)를 대입하여 두 번째 방정식을 만듭니다:

\[ 3 = a(5)^2 + b(5) + c \implies 3 = 25a + 5b + c \quad \text{(방정식 C)} \]

방정식 C에서 방정식 B를 빼면 변수 \( c \)를 소거할 수 있습니다:

\[ (25a + 5b + c) - (a + b + c) = 3 - 3 \]

\[ 24a + 4b = 0 \]

4로 나누어 간소화합니다: \( 6a + b = 0 \), 이는 \( b = -6a \)를 의미합니다.

모든 이차함수의 꼭짓점의 x좌표는 공식 \( \dfrac{-b}{2a} \)로 주어집니다. \( b \)에 \( -6a \)를 대입합니다:

\[ \dfrac{-(-6a)}{2a} = \dfrac{6a}{2a} = \mathbf{3} \]

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참고: 기하학을 사용하면 이 문제를 훨씬 더 빠르게 풀 수 있습니다:

\( f(1) = 3 \)이고 \( f(5) = 3 \)인 이차함수 \( f(x) \)이므로, 두 점 \( (1, 3) \)과 \( (5, 3) \)이 포물선 위에 있습니다. 정확히 같은 y좌표(3)를 가지므로, 이들은 그래프 상에서 수평으로 대칭인 점들을 나타냅니다.

함수가 이차함수이므로, 꼭짓점의 x좌표는 대칭인 두 점의 정확히 절반 위치에 위치합니다. 따라서 이 두 점의 중점의 x좌표와 같습니다.

중점의 x좌표를 계산합니다:

\[ x_{\text{vertex}} = \dfrac{1 + 5}{2} = \dfrac{6}{2} = \mathbf{3} \]

\( f(x) \) 그래프 꼭짓점의 \( x \) 좌표는 3입니다.

유리함수의 사선(또는 기울어진) 점근선은 분자를 분모로 다항식 긴 나눗셈을 한 결과 몫입니다.

\( a x^4 + b x^3 + 3 \)을 \( x^3 - 2 \)로 긴 나눗셈을 해봅시다:

1. 최고차항 \( ax^4 \)을 \( x^3 \)으로 나누면 \( ax \)가 됩니다. 이것이 몫의 첫 번째 항입니다.

2. \( ax \)에 전체 분모 \( (x^3 - 2) \)를 곱하면 \( ax^4 - 2ax \)가 됩니다.

3. 이를 분자에서 뺍니다: \( (ax^4 + bx^3 + 3) - (ax^4 - 2ax) = bx^3 + 2ax + 3 \).

4. 이제 새로운 최고차항 \( bx^3 \)을 \( x^3 \)으로 나누면 \( b \)가 됩니다. 이것이 몫의 두 번째 항입니다.

긴 나눗셈을 사용하면 전체 표현식을 얻습니다:

\[ \dfrac{ax^4 + bx^3 + 3}{x^3 - 2} = ax + b + \dfrac{2ax + (3 + 2b)}{x^3 - 2} \]

몫 \( ax + b \)가 사선 점근선입니다. 사선 점근선이 직선 \( 2x - 3 \)과 같아야 한다고 주어졌습니다.

따라서 이들을 서로 같다고 둡니다:

\[ ax + b = 2x - 3 \]

두 다항식은 대응하는 계수가 같을 때에만 동치이므로, 항들을 비교하여 다음을 얻습니다:

\[ \mathbf{a = 2, \quad b = -3} \]

주어진 방정식:

\[ \log_9 (x^3) = \log_2(8) \]

먼저 주어진 방정식의 우변을 단순화합니다. 8은 \( 2^3 \)으로 쓸 수 있으므로 로그가 쉽게 간소화됩니다:

\[ \log_2(8) = \log_2 (2^3) = 3 \]

이 새 값을 대입하여 원래 방정식을 다시 씁니다:

\[ \log_9 (x^3) = 3 \]

\( x \)를 풀기 위해 규칙 \( c = \log_b(b^c) \)를 사용하여 양쪽의 밑이 일치하도록 밑이 9인 로그를 사용하여 숫자 3을 다시 쓸 수 있습니다:

\[ \log_9 (x^3) = \log_9(9^3) \]

양변의 로그 밑이 동일하므로 로그를 없애고 진수에 대한 대수 방정식을 쓸 수 있습니다:

\[ x^3 = 9^3 \]

\( x \)를 풀기 위해 양변의 세제곱근을 취합니다:

\[ \mathbf{x = 9} \]

주어진 초기 로그 방정식:

\[ \log_x(y^3) = 2 \]

\( x \)와 \( y \) 사이의 대수적 관계를 확립하기 위해 로그 형태를 지수 형태(\\( \text{밑}^{\text{값}} = \text{진수} \\))로 다시 씁니다:

\[ x^2 = y^3 \]

우리가 구하고자 하는 목표 식은 \( x^4 \)를 포함하는 \( \log_y(x^4) \)입니다. \( x^4 \)를 만들기 위해 지수 방정식을 조작해야 합니다. 방정식 양변을 제곱합니다:

\[ (x^2)^2 = (y^3)^2 \]

거듭제곱의 거듭제곱 법칙을 사용하여 간소화합니다:

\[ x^4 = y^6 \]

이제 \( x^4 \)에 대한 이 값을 구하고자 하는 목표 식에 다시 대입합니다. 양변에 밑이 \( y \)인 로그를 취하고 간소화합니다:

\[ \log_y(x^4) = \log_y(y^6) \]

로그 성질 \( \log_b(b^k) = k \)를 사용하여 식을 계산하면 다음과 같습니다:

\[ \mathbf{6} \]

주어진 로그 방정식:

\[ \log_x (8e^3) = 3 \]

밑 \( x \)를 풀기 위해 로그 형태의 방정식을 지수 형태(\\( \text{밑}^{\text{값}} = \text{진수} \\))로 다시 씁니다:

\[ x^3 = 8e^3 \]

\( x \)를 고립시키기 위해 방정식 양변에 세제곱근을 취하여 세제곱 거듭제곱을 되돌립니다:

\[ x = \sqrt[3]{8e^3} \]

근호 안의 식을 간소화할 수 있습니다. \( 8 \)은 완전제곱 세제곱수(\\( 8 = 2^3 \\))이므로 이를 대입하고 항들을 묶습니다:

\[ x = \sqrt[3]{2^3 e^3} = \sqrt[3]{(2 e)^3} \]

세제곱근과 세제곱 거듭제곱이 서로 상쇄되어 최종 답이 남습니다:

\[ \mathbf{x = 2e} \]

주어진 지수 방정식:

\[ 16^x + 16^{x - 1} = 10 \]

먼저 지수 법칙을 사용하여 항들을 분리하고 밑이 4가 되도록 다시 씁니다. \( 16 = 4^2 \)임을 알고 있습니다:

\[ 16^x = (4^2)^x = 4^{2 x} \]

두 번째 항에 대해서는 법칙 \( a^{m-n} = \dfrac{a^m}{a^n} \)과 위의 치환을 사용합니다:

\[ 16^{x - 1} = 16^x \cdot 16^{-1} = \dfrac{4^{2x}}{16} \]

이 간소화된 항들을 주어진 방정식에 다시 대입합니다:

\[ 4^{2x} + \dfrac{4^{2x}}{16} = 10 \]

공통인수 \( 4^{2x} \)를 묶어내어 고립시킵니다. \( 4^{2x}(1 + \dfrac{1}{16}) = 10 \)은 \( 4^{2x}(\dfrac{17}{16}) = 10 \)이 됩니다. \( 4^{2x} \)를 풀기 위해 양변에 \( \dfrac{16}{17} \)을 곱합니다:

\[ 4^{2x} = \dfrac{160}{17} \]

밑을 4에서 2로 줄이기 위해, 위 방정식 양변의 양의 제곱근을 취합니다(지수 함수는 항상 양수입니다):

\[ \sqrt {4^{2x}} = \sqrt {(4^x)^2} = 4^x = \dfrac{\sqrt{160}}{\sqrt{17}} = \dfrac{4\sqrt{10}}{\sqrt{17}} \]

따라서 \( 4^x \)는 수학적으로 \( 2^{2x} \)와 동일하므로(\\( 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} \\)이기 때문), 정답을 얻습니다:

\[ \mathbf{2^{2x} = \dfrac{4\sqrt{10}}{\sqrt{17}}} \]

참고: 이 문제는 밑을 직접 2로 변환하여 시작함으로써 풀 수도 있습니다.

\( 16^x = (2^4)^x = 2^{4 x} \)를 방정식에 직접 대입하고 위의 주어진 풀이와 유사한 인수분해 단계를 따르세요.

첫 번째 방정식:

\[ a^2 - b^2 = 8 \]

우리가 구하고자 하는 것은 4제곱된 항들의 합이므로, 그 더 높은 거듭제곱들을 생성하기 위해 주어진 방정식의 양변을 제곱해야 합니다:

\[ (a^2 - b^2)^2 = 8^2 \]

완전제곱식 이항 법칙 \( (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \)을 사용하여 좌변을 전개합니다:

\[ a^4 - 2a^2b^2 + b^4 = 64 \]

항들을 재정렬하여 우리가 원하는 목표인 \( a^4 + b^4 \)를 포함하는 식을 얻습니다:

\[ a^4 + b^4 - 2a^2b^2 = 64 \quad \text{(I)} \]

이제 두 번째로 주어진 정보를 사용합니다:

\[ ab = 2 \]

전개된 식의 중간 항과 일치하도록 위 방정식의 양변을 제곱합니다:

\[ (ab)^2 = a^2b^2 = 2^2 = 4 \]

식 (I)에서 \( a^2b^2 \) 대신 이 값 \( 4 \)를 대입합니다:

\[ a^4 + b^4 - 2(4) = 64 \]

곱셈을 계산하여 간소화합니다:

\[ a^4 + b^4 - 8 = 64 \]

최종 값을 구하기 위해 양변에 8을 더합니다. 따라서:

\[ \mathbf{a^4 + b^4 = 72} \]

복잡한 삼각함수의 최솟값과 최댓값을 구하기 위해 안쪽에서 바깥쪽으로 빌드업합니다. 내부 인수에 관계없이 기본 사인 함수의 기본 범위는 항상 -1과 1 사이임을 알고 있습니다:

\[ -1 \leq \sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) \leq 1 \]

부등식의 모든 항에 진폭 계수 2를 곱합니다:

\[ -2 \leq 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) \leq 2 \]

부등식의 모든 항에 수직 이동인 -5를 더합니다:

\[ -2 - 5 \leq 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \leq 2 - 5 \]

범위를 간소화합니다:

\[ -7 \leq 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \leq -3 \]

이제 절댓값 연산을 적용하여 위 부등식을 변경합니다. 절댓값 기호 안의 전체 표현식이 엄격하게 음수 범위( -7에서 -3까지)에 있으므로, 절댓값을 취하면 부호가 양수로 바뀌고 경계의 수치적 순서가 뒤집힙니다:

\[ |-3| \leq \left| 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \right| \leq |-7| \]

\[ 3 \leq \left| 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \right| \leq 7 \]

마지막으로 함수 \( f(x) \)를 완성하기 위해 연립부등식의 모든 항에 바깥쪽 상수 3을 더합니다:

\[ 3 + 3 \leq \left| 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \right| + 3 \leq 7 + 3 \]

최종 범위를 나타내도록 범위를 간소화합니다:

\[ 6 \leq \left| 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \right| + 3 \leq 10 \]

따라서 \( f(x) \)의 최댓값은 10이고 최솟값은 6입니다.

중첩된 절댓값을 간소화할 때 안쪽에서 바깥쪽으로 작업합니다. 절댓값 기호 안의 식의 부호를 결정하기 위해 주어진 정의역 조건을 사용합니다. 식이 음수이면 -1을 곱하여 절댓값을 계산합니다.

주어진 조건: \( x \lt -7 \)일 때, 양변에 4를 더하면 다음을 알 수 있습니다:

\[ x \lt -3 \]

위 부등식에 3을 더하고 간소화하여 내부 식 \( (3 + x) \)의 부호를 결정합니다:

\[ x + 3 \lt 0 \]

\( (3+x) \)가 확실히 0보다 작으므로 절댓값의 정의에 따라 바깥 막대를 제거하기 위해 -1을 곱해야 합니다:

\[ |3 + x| = -(3 + x) \]

이를 다시 대입합니다. 주어진 식은 다음과 같이 간소화됩니다:

\[ |4 - |3 + x|| = |4 - (- (3 + x))| = |4 + 3 + x| = |x + 7| \]

이제 바깥쪽 절댓값 \( |x + 7| \)을 평가합니다. 원래 조건인 \( x \lt -7 \)로 돌아갑니다. 양변에 7을 더하면 다음을 알 수 있습니다:

\[ x + 7 \lt 0 \]

새로운 식 역시 확실히 음수이므로, 다시 -1을 곱하여 절댓값을 계산합니다:

\[ |x + 7| = - (x + 7) = - x - 7 \]

따라서 완전히 간소화된 식은 다음과 같습니다:

\[ \mathbf{|4 - |3 + x|| = -x - 7} \]

평균 속도는 단순히 두 속도를 평균내어 계산하지 않으며, 총 거리 나누기 총 시간 공식으로 계산해야 합니다. 거리와 시간에 대한 식을 세워야 합니다.

\( A \)와 \( B \) 사이의 거리를 \( d \)라고 합시다. A에서 B까지의 첫 번째 구간을 여행하는 데 걸리는 시간은 거리를 속도로 나누어 계산됩니다:

\[ t_1 = \dfrac{d}{50} \]

여기서 50 km/h는 \( A \)에서 \( B \)까지의 평균 속도입니다.

돌아오는 여행( \( B \)에서 \( A \)로)의 알 수 없는 평균 속도를 \( v \)라고 합니다. 돌아오는 여행에 걸리는 시간은 다음과 같습니다:

\[ t_2 = \dfrac{d}{v} \]

전체 왕복 여행의 총 시간은 두 시간의 합입니다:

\[ t_{\text{total}} = t_1 + t_2 = \dfrac{d}{50} + \dfrac{d}{v} \]

이동한 총 거리(갈 때와 올 때)는 단순히 거리의 두 배입니다:

\[ d + d = 2d \]

전체 여행의 평균 속도는 총 거리 나누기 총 시간에 의해 주어집니다. 이 공식을 목표 평균 속도인 60 km/h와 같다고 둡니다:

\[ \text{평균 속도} = \dfrac{\text{총 거리}}{\text{총 시간}} = \dfrac{2d}{t_{\text{total}}} \]

구축한 식을 공식에 대입합니다:

\[ \dfrac{2d}{\dfrac{d}{50} + \dfrac{d}{v}} = 60 \]

거리 \( d \)가 모든 항에 존재함을 주목하세요. 분자와 분모에서 \( d \)를 나누어 소거합니다:

\[ \dfrac{2}{\dfrac{1}{50} + \dfrac{1}{v}} = 60 \]

분수를 없애기 위해 양변에 분모 식 \( \left( \dfrac{1}{50} + \dfrac{1}{v} \right) \)을 곱합니다:

\[ 2 = 60 \left( \dfrac{1}{50} + \dfrac{1}{v} \right) \]

괄호 안의 항을 간소화하기 위해 60을 분배합니다:

\[ 2 = \dfrac{60}{50} + \dfrac{60}{v} \]

\[ 2 = 1.2 + \dfrac{60}{v} \]

변수가 있는 항을 고립시키기 위해 양변에서 1.2를 뺍니다:

\[ 0.8 = \dfrac{60}{v} \]

\( v \)를 곱하고 0.8로 나누어 \( v \)를 풉니다:

\[ v = \dfrac{60}{0.8} = 75 \]

따라서 \( B \)에서 \( A \)로 돌아오는 복귀 여행의 평균 속도는 전체 여행의 평균 속도를 60 km/h로 만들기 위해 75 km/h여야 합니다.

비선형 방정식이 주어졌을 때, 제곱의 차에 대한 대수적 항등식을 사용하여 더 간단한 이항식으로 인수분해할 수 있습니다:

\[ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) = -12 \]

두 번째 방정식 \( x + y = 6 \)이 주어졌습니다. 인수분해된 방정식의 \( (x + y) \) 표현식을 숫자 6으로 대입합니다:

\[ (x - y)(6) = -12 \]

\( x - y \)를 풀기 위해 양변을 6으로 나눕니다:

\[ (x - y) = -2 \]

이제 소거법이나 대입법을 사용하여 풀 수 있는 간단한 선형 연립방정식을 얻었습니다:

\[ \begin{cases} x - y = -2 \\ x + y = 6 \end{cases} \]

\( y \) 변수를 소거하기 위해 두 방정식을 수직으로 더합니다: \( (x+x) + (y-y) = -2 + 6 \), 이는 \( 2x = 4 \)를 주며, \( x = 2 \)를 의미합니다.

두 번째 방정식에 \( x = 2 \)를 다시 대입합니다: \( 2 + y = 6 \), 이는 \( y = 4 \)를 줍니다.

위의 시스템을 풀면 최종 답을 얻습니다:

\[ \mathbf{x = 2, \quad y = 4} \]

주어진 함수 방정식:

\[ f(x) + 3f(8 - x) = x \]

\( f(2) \)와 같은 특정 값을 평가하기 위해 \( x \)에 전략적인 값을 대입하여 풀 수 있는 연립방정식을 구축합니다. 먼저, 주어진 방정식에 \( x = 2 \)를 대입합니다:

\[ f(2) + 3 f(8-2) = 2 \]

\[ f(2) + 3 f(6) = 2 \tag{A} \]

이것은 새로운 미지수인 \( f(6) \)을 포함하는 방정식을 만듭니다. 이를 소거할 방법을 찾기 위해, 원래 주어진 방정식에 \( x = 6 \)을 대입합니다:

\[ f(6) + 3 f(8-6) = 6 \]

\[ f(6) + 3 f(2) = 6 \tag{B} \]

이제 두 방정식 시스템을 얻었습니다. 방정식 (B)를 풀어서 \( f(6) \)을 고립시킬 수 있습니다:

\[ f(6) = 6 - 3f(2) \tag{C} \]

\( f(6) \)에 대한 이 표현식을 방정식 (A)에 다시 대입합니다:

\[ f(2) + 3(6 - 3f(2)) = 2 \]

3을 분배하여 식을 전개하고 동류항을 묶습니다:

\[ f(2) + 18 - 9f(2) = 2 \]

\[ - 8 f(2) + 18 = 2 \]

양변에서 18을 빼고 \( f(2) \)를 풉니다:

\[ -8 f(2) = -16 \]

\[ \mathbf{f(2) = 2} \]

주어진 재귀적 함수 방정식:

\[ f(2x + 1) = 2 f(x) + 1 \tag{A} \]

\( f(3) \)을 찾기 위한 디딤돌로 알려진 값 \( f(0) = 2 \)를 사용해야 합니다. 필요한 함수 평가를 생성할 \( x \) 값을 결정해야 합니다.

\( x=0 \)에서 시작하는 체인의 다음 단계를 찾으려면, 방정식 \( A \)에 \( x = 0 \)을 대입합니다:

\[ f(2(0) + 1) = 2 f(0) + 1 \]

알려진 값 \( f(0) = 2 \)를 방정식에 대입합니다:

\[ f(1) = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 \]

이제 \( f(1) = 5 \)임을 알았습니다. 우리는 \( f(3) \)을 찾고 싶습니다. 좌변의 내부 인수 \( (2x+1) \)이 3과 같아지기를 원합니다. 이것은 \( x = 1 \)일 때 발생합니다. 방정식 \( A \)에 \( x = 1 \)을 대입합니다:

\[ f(2(1) + 1) = 2 f(1) + 1 \]

\[ f(3) = 2 f(1) + 1 \tag{B} \]

새로 계산한 값 \( f(1) = 5 \)를 방정식 \( B \)에 대입하여 최종 답을 얻습니다:

\[ f(3) = 2(5) + 1 \]

\[ \mathbf{f(3) = 11} \]

두 주어진 방정식의 시스템을 풀어서 원과 직선의 교점을 찾아봅시다. 원에 접하는 직선은 정확히 한 점에서 만나므로, 결과 시스템은 정확히 하나의 해를 가져야 합니다.

\( y \)의 표현식인 \( 2 x + b \)를 원의 방정식에 대입합니다:

\[ x^2 + (2 x + b)^2 = 4 \]

제곱된 이항식을 전개하고 동류항을 결합하여 방정식을 간소화합니다:

\[ x^2 + 4x^2 + 4bx + b^2 = 4 \]

\[ 5 x^2 + 4 b x + (b^2 - 4) = 0 \]

교점의 수는 위의 이차 방정식의 해의 수로 주어집니다. 위 이차 방정식이 단 하나의 해를 가질 때 직선과 원은 접합니다. 이차 방정식은 판별식(\\( \Delta = B^2 - 4AC \\))이 0과 같을 때 정확히 하나의 해를 가집니다.

\( A=5 \), \( B=4b \), \( C=(b^2 - 4) \)를 사용하여 \( b \)의 함수로서 판별식 \( \Delta \)를 찾습니다:

\[ \Delta = ( 4 b )^2 - 4 (5)(b^2 - 4) \]

판별식을 0과 같다고 두고 \( b \)를 풉니다:

\[ ( 4 b )^2 - 4 (5)(b^2 - 4) = 0 \]

\[ 16b^2 - 20b^2 + 80 = 0 \]

\[ -4b^2 + 80 = 0 \]

\[ -4b^2 = -80 \implies b^2 = 20 \]

양변의 제곱근을 취합니다. \( b \)를 풀어 두 개의 해를 얻습니다:

\[ b = \pm \sqrt{20} = \pm \sqrt{4 \cdot 5} \]

\[ \mathbf{b = \pm 2 \sqrt{5}} \]

분자 다항식을 \( P(x) = x^{100} - x^{99} - x + 1 \), 분모 다항식을 \( D(x) = x^2 - 3x + 2 \)라고 합시다.

두 다항식의 나눗셈은 대수적으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

\[ P(x) = D(x) Q(x) + r(x) \]

여기서 \( Q(x) \)는 몫이고 \( r(x) \)는 나머지입니다. 다항식 나눗셈의 정의에 의해, 나누는 식 \( D(x) \)가 2차이므로 나머지는 1차 이하의 차수를 가질 것입니다. 따라서 나머지를 일차 방정식 \( r(x) = ax + b \)로 표현할 수 있습니다.

이제 나머지를 정의하는 \( a \)와 \( b \)의 값을 찾아야 합니다.

\( D(x) \)가 다음과 같이 이항식으로 인수분해될 수 있음에 주목하세요:

\[ D(x) = x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) \]

따라서, 인수분해된 제수와 일차 나머지를 나눗셈 방정식에 대입합니다:

\[ P(x) = (x - 1)(x - 2) Q(x) + ax + b \]

\( D(x) \)의 영점(1과 2)을 사용하여 \( P(x) \)를 평가할 수 있습니다. 제수의 영점을 대입하면 전체 몫 항이 0과 곱해지므로 나머지 항이 고립됩니다. 먼저 \( x=1 \)에 대한 방정식을 씁니다:

\[ P(1) = (1 - 1)(1 - 2) Q(1) + a(1) + b \]

이것은 다음으로 간소화됩니다:

\[ a + b = P(1) \]

마찬가지로 \( x=2 \)에 대한 방정식을 씁니다:

\[ P(2) = (2 - 1)(2 - 2) Q(2) + a(2) + b \]

이것은 다음으로 간소화됩니다:

\[ 2a + b = P(2) \]

이제 원래 다항식 방정식을 사용하여 \( P(1) \)과 \( P(2) \)를 평가해야 합니다.

\( P(x) \)에 \( x=1 \)을 대입합니다:

\[ P(1) = 1^{100} - 1^{99} - 1 + 1 = 1 - 1 - 1 + 1 = 0 \]

다음으로, 큰 숫자를 쉽게 평가할 수 있도록 \( P(x) \)를 약간 인수분해하여 다시 씁니다:

\[ P(x) = x^{99}(x - 1) - (x - 1) \]

따라서 \( x=2 \)를 대입하여 \( P(2) \)를 계산합니다:

\[ P(2) = 2^{99}(2 - 1) - (2 - 1) = 2^{99}(1) - 1 = 2^{99} - 1 \]

이제 \( a \)와 \( b \)를 풀기 위한 선형 연립방정식을 얻었습니다:

\[ \begin{cases} a + b = 0 \\ 2a + b = 2^{99} - 1 \end{cases} \]

첫 번째 방정식에서 \( b = -a \)임을 알 수 있습니다. 이를 두 번째 방정식에 대입합니다: \( 2a - a = 2^{99} - 1 \implies a = 2^{99} - 1 \).

시스템을 풀면 다음을 얻습니다:

\[ a = 2^{99} - 1 \quad \text{and} \quad b = -(2^{99} - 1) = 1 - 2^{99} \]

따라서 \( a \)와 \( b \)를 \( r(x) = ax+b \)에 다시 대입하면 나머지는 다음과 같습니다:

\[ \mathbf{r(x) = (2^{99} - 1)x + 1 - 2^{99}} \]

전체 무한 표현식을 변수에 같다고 둠으로써 이 중첩 근호를 풀 수 있습니다.

\( y = \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \cdots}}} \)이라고 합시다.

가장 바깥쪽 제곱근을 제거하기 위해 방정식 양변을 제곱합니다:

\[ y^2 = \dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \cdots}}} \]

제곱근의 시리즈가 무한하므로 첫 번째 근호 아래의 표현식은 변수 \( y \)의 원래 정의와 동일합니다. 따라서 \( y \)를 방정식의 우변에 대입할 수 있습니다. 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

\[ y^2 = \dfrac{1}{3} + y \]

이것은 표준 이차 방정식입니다. 풀 수 있도록 0과 같아지도록 재정렬합니다. 분수를 제거하기 위해 3을 곱하면 \( 3y^2 = 1 + 3y \)가 되며, 이는 다음이 됩니다:

\[ 3y^2 - 3y - 1 = 0 \]

위 이차 방정식을 풀기 위해 근의 공식(\\( y = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\))을 사용하여 다음을 얻습니다:

\[ y = \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 + 12}}{6} \]

\[ y = \dfrac{3 + \sqrt{21}}{6} \quad \text{or} \quad y = \dfrac{3 - \sqrt{21}}{6} \]

원래 표현식이 주 양의 제곱근이므로 \( y \)는 양수로 평가되어야 합니다. \( \sqrt{21} > 3 \)이므로 두 번째 옵션은 음수 결과를 산출합니다. \( y \)가 양수이므로 해는 양의 근입니다:

\[ \mathbf{\sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \cdots}}} = y = \dfrac{3 + \sqrt{21}}{6}} \]

행렬을 추출하고 그 행렬식을 평가함으로써 시스템의 가해성을 결정할 수 있습니다. 변수의 승수로 구성된 계수 행렬 \( A \)는 다음과 같습니다:

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -3 \\ -5 & 3 & 2 \\ 3 & -4 & 1 \end{bmatrix} \]

등호 우측의 값들로 구성된 상수 행렬 \( b \)는 다음과 같습니다:

\[ b = \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 8 \end{bmatrix} \]

크라머의 공식은 계수 행렬 \( A \)에서 유도되고 우측의 상수로 열을 대체하여 수정된 행렬의 행렬식 측면에서 각 변수에 대한 해를 제공합니다. \( A \)의 행렬식이 0이지만 수정된 행렬식 중 하나가 0이 아니면 시스템에 해가 없습니다.

\( x \)를 구하려면 \( A \)의 첫 번째 컬럼을 상수 벡터 \( b \)로 교체합니다:

\[ A_x = \begin{bmatrix} 5 & 1 & -3 \\ 7 & 3 & 2 \\ 8 & -4 & 1 \end{bmatrix} \]

그러면 \( x \)에 대한 해는 분수 \( x = \dfrac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)} \)로 주어집니다.

\( y \)를 구하려면 \( A \)의 두 번째 컬럼을 상수 벡터 \( b \)로 교체합니다:

\[ A_y = \begin{bmatrix} 2 & 5 & -3 \\ -5 & 7 & 2 \\ 3 & 8 & 1 \end{bmatrix} \implies y = \dfrac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)} \]

\( z \)를 구하려면 \( A \)의 세 번째 컬럼을 상수 벡터 \( b \)로 교체합니다:

\[ A_z = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 5 \\ -5 & 3 & 7 \\ 3 & -4 & 8 \end{bmatrix} \implies z = \dfrac{\text{det}(A_z)}{\text{det}(A)} \]

이제 행렬 \( A \)와 \( A_x \)의 행렬식을 계산해야 합니다. 먼저 행렬 \( A \)를 평가합니다:

\[ \text{det}(A) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -3 \\ -5 & 3 & 2 \\ 3 & -4 & 1 \end{vmatrix} \]

첫 번째 행을 따라 여인수 전개 사용(행과 열을 지울 때 남는 2x2 행렬의 행렬식에 각 상단 행 요소를 곱함):

\[ \text{det}(A) = 2 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} -5 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + (-3) \begin{vmatrix} -5 & 3 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} \]

공식 \( (ad - bc) \)을 사용하여 2x2 행렬식을 계산합니다:

\[ \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} = 3(1) - 2(-4) = 3 + 8 = 11 \]

\[ \begin{vmatrix} -5 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = (-5)(1) - (2)(3) = -5 - 6 = -11 \]

\[ \begin{vmatrix} -5 & 3 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} = (-5)(-4) - (3)(3) = 20 - 9 = 11 \]

이 계산된 값들을 주 행렬식 공식에 다시 대입합니다:

\[ \text{det}(A) = 2(11) - 1(-11) + (-3)(11) = 22 + 11 - 33 = 0 \]

따라서 \( \text{det}(A) = 0 \)임을 확인했습니다. 이는 시스템이 유일한 해를 갖지 않음을 의미합니다. 이제 수정된 행렬 \( A_x \)의 행렬식을 확인합니다:

\[ \text{det}(A_x) = \begin{vmatrix} 5 & 1 & -3 \\ 7 & 3 & 2 \\ 8 & -4 & 1 \end{vmatrix} \]

정확히 같은 방식으로 첫 번째 행을 따라 여인수 전개를 사용하여 이것을 계산합니다:

\[ \text{det}(A_x) = 5 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 7 & 2 \\ 8 & 1 \end{vmatrix} + (-3) \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 8 & -4 \end{vmatrix} \]

2x2 행렬식을 계산합니다:

\[ \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} = 11, \quad \begin{vmatrix} 7 & 2 \\ 8 & 1 \end{vmatrix} = 7 - 16 = -9, \quad \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 8 & -4 \end{vmatrix} = -28 - 24 = -52 \]

이 값들을 전개 공식에 대입합니다:

\[ \text{det}(A_x) = 5(11) - 1(-9) + (-3)(-52) = 55 + 9 + 156 = 220 \]

\( A_y \)나 \( A_z \)를 계속 계산할 필요가 없습니다. 크라머의 공식은 \( \text{det}(A) \)로 나누어야 하므로 \( x \)를 평가하면 \( \dfrac{220}{0} \)이 되어 정의되지 않습니다. \( A_x \), \( A_y \), \( A_z \) 중 하나의 행렬식이 0이 아닌 반면 주 행렬식이 0이면 연립방정식은 모순되며 해가 없습니다.

로그를 결합하고 더하려면 정확히 같은 밑을 공유해야 합니다. 밑 변환 공식 \( \log_b(a) = \dfrac{\log_c(a)}{\log_c(b)} \)을 사용하여 방정식의 모든 로그를 밑이 2인 로그로 변환할 수 있습니다.

먼저 밑이 4인 항을 변환합니다. \( \log_2(4) = 2 \)임을 알고 있습니다:

\[ \log_4(x) = \dfrac{\log_2(x)}{\log_2(4)} = \dfrac{\log_2(x)}{2} = \dfrac{1}{2}\log_2(x) \]

다음으로 밑이 16인 항을 변환합니다. \( \log_2(16) = 4 \)임을 알고 있습니다:

\[ \log_{16}(x) = \dfrac{\log_2(x)}{\log_2(16)} = \dfrac{\log_2(x)}{4} = \dfrac{1}{4}\log_2(x) \]

이제 이 변환된 항들을 원래 방정식에 다시 대입합니다:

\[ \log_2(x) + \dfrac{1}{2}\log_2(x) + \dfrac{1}{4}\log_2(x) = 7 \]

이제 모든 항이 \( \log_2(x) \) 변수를 공유하므로 이를 묶어낼 수 있습니다:

\[ \log_2(x) \left(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\right) = 7 \]

괄호 안에 분수를 더하기 위해 공통분모(4)를 찾습니다:

\[ \log_2(x) \left(\dfrac{4}{4} + \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4}\right) = 7 \]

\[ \dfrac{7}{4}\log_2(x) = 7 \]

로그를 고립시키기 위해 양변에 역수 \( \dfrac{4}{7} \)을 곱합니다:

\[ \log_2(x) = 4 \]

마지막으로 \( x \)를 풀기 위해 방정식의 로그 형태를 지수 형태(\\( \text{밑}^{\text{값}} = \text{진수} \\))로 변환합니다:

\[ x = 2^4 \]

\[ \mathbf{x = 16} \]

이 시스템은 어려워 보이지만, 첫 번째 방정식을 인수분해하고 시스템을 간소화하기 위해 두 세제곱의 합에 대한 표준 대수적 항등식을 사용할 수 있습니다:

\[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \]

원래 방정식의 알려진 값들을 이 항등식에 대입합니다. 세제곱의 합이 35이고, 밑 변수의 합이 5임을 알고 있습니다:

\[ 35 = (5)(x^2 - xy + y^2) \]

이차 표현식을 고립시키기 위해 양변을 5로 나눕니다:

\[ x^2 - xy + y^2 = 7 \quad \text{(방정식 A)} \]

이를 비교할 다른 방정식이 필요합니다. \( (x+y)^2 \) 표현식을 살펴봅시다. 두 번째로 주어진 방정식 \( (x+y = 5) \)을 가져와서 양변을 제곱하면 다음을 얻습니다:

\[ (x+y)^2 = 5^2 \]

완전제곱식 이항식을 전개합니다:

\[ x^2 + 2xy + y^2 = 25 \quad \text{(방정식 B)} \]

이제 방정식 B에서 방정식 A를 빼서 제곱된 항을 소거하고 \( xy \)를 고립시킬 수 있습니다:

\[ (x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - xy + y^2) = 25 - 7 \]

\[ 3xy = 18 \]

3으로 나눕니다:

\[ xy = 6 \]

복잡한 세제곱 시스템을 훨씬 더 간단한 퍼즐로 간소화했습니다: 합이 5(\\( x+y=5 \\))이고 곱이 6(\\( xy=6 \\))인 두 수를 찾고 있습니다. 기하학적으로 이것들은 \( t^2 - (\text{합})t + (\text{곱}) = 0 \) 형태의 이차 방정식의 근입니다.

\[ t^2 - 5t + 6 = 0 \]

이차식을 인수분해하면 \( (t-2)(t-3) = 0 \)이 되므로 두 수는 2와 3이어야 합니다.

원래 연립방정식은 \( x \)와 \( y \)에 대해 완벽하게 대칭이므로 각 변수는 어느 값이든 취할 수 있습니다. 해는 좌표 쌍입니다:

\[ \mathbf{(2, 3) \quad \text{and} \quad (3, 2)} \]

유리식 부등식을 풀려면 먼저 분자와 분모를 완전히 인수분해하여 모든 임계점을 찾아야 합니다.

상단과 하단 표현식 모두 제곱의 차입니다. 인수분해해 봅시다:

\[ \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 2)(x + 2)} \leq 0 \]

임계점은 분자가 0이 되는 곳(x절편을 나타냄)과 분모가 0이 되는 곳(함수가 정의되지 않는 수직 점근선을 나타냄)에서 발생합니다.

• 분자 영점: \( x = 3, x = -3 \). 부등식이 "작거나 같음"(\\( \leq \\))이므로 함수가 0이 되는 것이 허용됩니다. 따라서 이 점들은 최종 해에 포함됩니다(실선 브래킷 사용).
• 분모 영점: \( x = 2, x = -2 \). 0으로 나누는 것은 수학적으로 정의되지 않으므로 함수는 이 점들에서 절대 존재할 수 없습니다. 따라서 이 점들은 최종 해에 절대 포함되지 않습니다(괄호 사용).

이 네 개의 임계점을 수직선 위에 오름차순으로 배치합니다: -3, -2, 2, 3. 이것은 수직선을 다섯 개의 개별 구간으로 나눕니다. 전체 분수 표현식이 양수 또는 음수로 평가되는지 확인하기 위해 각 구간 내에서 임의의 값을 테스트해야 합니다:

• 구간 \( (-\infty, -3) \): \( x = -4 \)를 테스트합니다. 인수분해된 항들의 부호는 \( \dfrac{(-)(-)}{(-)(-)} \)입니다. 음수를 음수로 나누면 양수입니다.
• 구간 \( (-3, -2) \): \( x = -2.5 \)를 테스트합니다. 부호는 \( \dfrac{(-)(+)}{(-)(-)} \)입니다. 음수를 양수로 나누면 음수입니다.
• 구간 \( (-2, 2) \): \( x = 0 \)을 테스트합니다. 부호는 \( \dfrac{(-)(+)}{(-)(+)} \)입니다. 음수를 음수로 나누면 양수입니다.
• 구간 \( (2, 3) \): \( x = 2.5 \)를 테스트합니다. 부호는 \( \dfrac{(-)(+)}{(+)(+)} \)입니다. 음수를 양수로 나누면 음수입니다.
• 구간 \( (3, \infty) \): \( x = 4 \)를 테스트합니다. 부호는 \( \dfrac{(+)(+)}{(+)(+)} \)입니다. 양수를 양수로 나누면 양수입니다.

부등식은 표현식이 0보다 작거나 같은 곳을 찾으라고 요구하므로, 우리는 음수 구간을 원합니다. 이들은 -3과 -2 사이, 그리고 2와 3 사이의 구간입니다.

포함 규칙(분자 근은 브래킷, 정의되지 않은 분모 근은 괄호)을 적용하여 최종 구간 표기를 작성합니다:

\[ \mathbf{[-3, -2) \cup (2, 3)} \]