12학년 수학 마스터: 원 및 삼각함수 문제

1단계: 반지름 구하기.
점 A는 x축 위의 \( (8,0) \)에 있습니다. 원의 중심이 원점 \( (0,0) \)이므로, 원점에서 점 A까지의 거리가 곧 반지름입니다. 따라서 \( R = 8 \)입니다.

2단계: 중심각 \( \theta \) 구하기.
호의 길이 공식 \( s = R \theta \)를 사용합니다. \( s = 20 \)이고 \( R = 8 \)임을 알고 있습니다. 이 값들을 대입하여 라디안 단위의 \( \theta \)를 구합니다:

\[ 20 = 8 \theta \implies \theta = \dfrac{20}{8} = 2.5 \text{ 라디안} \]

3단계: P의 좌표 계산하기.
표준 원형 좌표 공식인 \( x = R \cos(\theta) \) 및 \( y = R \sin(\theta) \)를 사용합니다. 계산기가 라디안 모드로 설정되어 있는지 확인하세요!

\[ x = 8 \cos(2.5) \approx 8(-0.8011) \approx -6.40 \] \[ y = 8 \sin(2.5) \approx 8(0.5984) \approx 4.79 \]

결론:
점 \( P \)의 좌표는 대략 \( (-6.40, 4.79) \)입니다. (이 점은 x가 음수이고 y가 양수인 제2사분면에 있으므로 논리적으로 타당합니다).

1단계: 반지름 \( R \) 구하기.
반지름은 원점 \( (0,0) \)에서 점 P까지의 거리입니다. 거리 공식(또는 피타고라스 정리)을 사용합니다:

\[ R = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2} \] \[ R = \sqrt{(16 \cdot 2) + (25 \cdot 2)} = \sqrt{32 + 50} = \sqrt{82} \]

2단계: 중심각 \( \theta \) 구하기.
탄젠트 정의를 사용하여 각을 구합니다. x와 y가 모두 양수이므로 점은 제1사분면에 위치하며, 각을 보정할 필요가 없습니다.

\[ \tan(\theta) = \dfrac{y}{x} = \dfrac{5\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \dfrac{5}{4} = 1.25 \] \[ \theta = \arctan(1.25) \approx 0.8960 \text{ 라디안} \]

3단계: 호의 길이 \( S \) 계산하기.
공식 \( S = R\theta \)를 이용합니다:

\[ S = \sqrt{82} \cdot \arctan(1.25) \approx 9.055 \cdot 0.8960 \approx 8.11 \text{ 단위} \]

1단계: 경과 시간 구하기.
오후 11시 10분부터 오후 11시 50분까지의 경과 시간은 정확히 40분입니다.

2단계: 각 변위 구하기.
시계는 60분의 시간을 나타내는 완전한 원(\( 360^\circ \) 또는 \( 2\pi \) 라디안)입니다. 분침이 원의 어떤 분율을 커버했는지 구해야 합니다.

\[ \text{원의 분율} = \dfrac{40 \text{ 분}}{60 \text{ 분}} = \dfrac{2}{3} \text{ 회전} \]

이제 이 분율을 라디안으로 직접 변환합니다. 1회전은 \( 2\pi \)입니다:

\[ \theta = \dfrac{2}{3} \times 2\pi = \dfrac{4\pi}{3} \text{ 라디안} \]

3단계: 호의 길이 계산하기.
반지름 \( R \)은 분침의 길이인 4.5 cm입니다. 호의 길이 공식 \( S = R \theta \)를 적용합니다:

\[ S = 4.5 \times \left( \dfrac{4\pi}{3} \right) = \dfrac{18\pi}{3} = \mathbf{6\pi \text{ cm}} \]

a) P의 좌표 구하기:
반지름 \( R = 5 \)와 각도 \( 35^\circ \)를 사용하여 표준 공식을 사용합니다 (이 단계에서는 계산기가 도(Degree) 모드에 있는지 확인하세요):

\[ a = x = 5 \cos(35^\circ) \approx 4.096 \] \[ b = y = 5 \sin(35^\circ) \approx 2.868 \] \[ P(4.096, 2.868) \]

b) 호 PQ의 길이 구하기:
공식 \( S=R\theta \)는 라디안을 요구하므로 먼저 각도를 도와 도에서 라디안으로 변환해야 합니다.

\[ \theta \text{ (라디안)} = 35^\circ \times \left(\dfrac{\pi}{180^\circ}\right) = \dfrac{35\pi}{180} = \dfrac{7\pi}{36} \] \[ \text{호 } PQ = R\theta = 5 \cdot \left(\dfrac{7\pi}{36}\right) = \dfrac{35\pi}{36} \approx 3.05 \text{ 단위} \]

c) M의 x좌표 구하기:
점 M은 \( (c, -1) \)입니다. M이 원 위에 있으므로 원점에서 M까지의 거리는 반지름(5)과 같아야 합니다.

\[ x^2 + y^2 = R^2 \implies c^2 + (-1)^2 = 5^2 \] \[ c^2 + 1 = 25 \implies c^2 = 24 \implies c = \pm \sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6} \]

그림을 살펴보세요. 점 M은 제3사분면에 위치하며, x좌표는 음수여야 합니다. 따라서 양수의 근은 버립니다:

\[ c = -2\sqrt{6} \approx -4.899 \]

d) 각 \( \theta \) 구하기:
양의 x축에서 M까지의 총 각도를 \( \alpha \)라고 합시다. 그림에 따르면 \( \alpha = \theta + 35^\circ \)입니다.

점 M \( (-2\sqrt{6}, -1) \)의 탄젠트를 이용하여 \( \alpha \)를 구합니다:

\[ \tan(\alpha) = \dfrac{y}{x} = \dfrac{-1}{-2\sqrt{6}} = \dfrac{1}{2\sqrt{6}} \]

점이 제3사분면에 있으므로, 계산기의 \( \arctan \) 함수(제1사분면 각도를 반환함)는 \( 180^\circ \) 만큼 차이가 납니다. 따라서 \( 180^\circ \)를 더해야 합니다:

\[ \alpha = 180^\circ + \arctan\left(\dfrac{1}{2\sqrt{6}}\right) \approx 180^\circ + 11.54^\circ = 191.54^\circ \]

이제 \( 35^\circ \)의 오프셋을 빼서 \( \theta \)를 구합니다:

\[ \theta = \alpha - 35^\circ = 191.54^\circ - 35^\circ = \mathbf{156.54^\circ} \]

a) 호 DP의 길이 계산하기:
각도를 라디안으로 변환합니다: \( \theta = 130^\circ \times (\dfrac{\pi}{180^\circ}) = \dfrac{130\pi}{180} = \dfrac{13\pi}{18} \).

\[ \text{호 } DP = R \cdot \theta = 4 \cdot \dfrac{13\pi}{18} = \dfrac{26\pi}{9} \approx 9.08 \text{ 단위} \]

b) P의 좌표 구하기:
\( R = 4 \) 및 \( \theta = 130^\circ \)일 때 표준 삼각 정의를 사용합니다:

\[ a = 4 \cos(130^\circ) \approx -2.57 \] \[ b = 4 \sin(130^\circ) \approx 3.06 \] \[ P(-2.57, 3.06) \]

c) 선분 PD의 길이 구하기:
점 D는 양의 x축 위에 거리 R만큼 떨어져 있으므로 좌표는 \( D(4, 0) \)입니다. 2차원 거리 공식 \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \)을 사용합니다:

\[ PD = \sqrt{(4 \cos(130^\circ) - 4)^2 + (4 \sin(130^\circ) - 0)^2} \] \[ PD = \sqrt{(-2.57 - 4)^2 + (3.06)^2} = \sqrt{(-6.57)^2 + 9.36} \] \[ PD = \sqrt{43.16 + 9.36} = \sqrt{52.52} \approx \mathbf{7.25 \text{ 단위} } \]

(또는 삼각형 OPD에 제2코사인 법칙을 적용할 수도 있습니다: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\theta) \implies PD^2 = 4^2 + 4^2 - 2(4)(4)\cos(130^\circ) \). 정확히 동일한 결과가 나옵니다!)

1단계: 라디안 단위의 각 \( \theta \) 구하기.
호의 길이 공식 \( S = R\theta \)를 변형하여 \( \theta \)에 대해 풉니다:

\[ \theta = \dfrac{S}{R} = \dfrac{12.5}{3} \approx 4.167 \text{ 라디안} \]

(참고: \( \pi \approx 3.14 \)이고 \( \dfrac{3\pi}{2} \approx 4.71 \)이므로, 4.167 라디안의 각도는 제3사분면에 정확히 속합니다. 이는 다이어그램과 일치합니다).

2단계: 좌표 구하기.
라디안 측정값을 사용하여 좌표 공식을 직접 적용합니다. 계산기가 라디안 모드에 있는지 확인하세요.

\[ a = x = 3 \cos\left(\dfrac{12.5}{3}\right) \approx 3(-0.523) \approx -1.57 \] \[ b = y = 3 \sin\left(\dfrac{12.5}{3}\right) \approx 3(-0.852) \approx -2.56 \]

B의 좌표는 \( (-1.57, -2.56) \)입니다.

1단계: 각 \( \theta \) 구하기.
x좌표(\( 4.1 \))와 반지름(\( 5 \))이 주어졌습니다. 코사인 관계를 사용합니다:

\[ \cos(\theta) = \dfrac{x}{R} = \dfrac{4.1}{5} = 0.82 \]

점 P가 제1사분면에 있다고 명시되어 있으므로 각 \( \theta \)는 예각(0과 \( \pi/2 \) 사이)입니다. 역코사인 함수를 직접 사용하여 라디안 단위의 각을 구할 수 있습니다:

\[ \theta = \arccos(0.82) \approx 0.6094 \text{ 라디안} \]

2단계: 호의 길이 계산하기.
라디안 각도를 호의 길이 공식에 대입합니다:

\[ S = R \theta = 5 \cdot \arccos(0.82) \approx 5 \cdot 0.6094 \approx \mathbf{3.05 \text{ 단위}} \]

1단계: 방정식 세우기.
부채꼴의 둘레는 두 개의 반지름과 호의 길이 \( S \)로 이루어져 있습니다. 따라서 \( P = 2R + S \)입니다. \( S = R\theta \)이므로 둘레 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

\[ 100 = 2R + R\theta \]

부채꼴의 넓이는 \( A = \dfrac{1}{2}R^2\theta \)로 주어집니다.

2단계: 한 변수에 대한 넓이 표현하기.
둘레 방정식에서 \( \theta \)에 대해 풉니다:

\[ R\theta = 100 - 2R \implies \theta = \dfrac{100 - 2R}{R} \]

이 \( \theta \)를 넓이 방정식에 대입하여 오직 \( R \)에 대한 함수를 만듭니다:

\[ A(R) = \dfrac{1}{2}R^2 \left( \dfrac{100 - 2R}{R} \right) = \dfrac{1}{2}R(100 - 2R) = 50R - R^2 \]

3단계: 넓이 함수 최대화하기.
넓이 방정식 \( A(R) = -R^2 + 50R \)은 위로 볼록한 포물선입니다. 최댓값은 꼭짓점에서 발생합니다. 꼭짓점 공식 \( R = \dfrac{-b}{2a} \)를 사용합니다:

\[ R = \dfrac{-50}{2(-1)} = 25 \text{ cm} \]

(또는 미분을 이용: \( A'(R) = 50 - 2R = 0 \implies R = 25 \)).

4단계: 해당하는 각 \( \theta \) 구하기.
\( R = 25 \)를 \( \theta \)에 대한 방정식에 다시 대입합니다:

\[ \theta = \dfrac{100 - 2(25)}{25} = \dfrac{50}{25} = \mathbf{2 \text{ 라디안}} \]

놀랍게도, 둘레가 어떤 값이든 고정되어 있다면 부채꼴의 넓이는 중심각이 정확히 2 라디안일 때 항상 최대가 됩니다!

1단계: 직선 부분의 길이 구하기.
작은 원의 중심을 지나며 직선 벨트 부분과 평행한 선을 그립니다. 이러면 빗변이 중심 사이의 거리(\( d = 13 \))이고 한 변이 반지름의 차(\( r_2 - r_1 = 8 - 3 = 5 \))인 직각삼각형이 만들어집니다.
벨트의 직선 한 조각의 길이를 \( L \)이라고 합시다. 피타고라스 정리를 사용합니다:

\[ L^2 + 5^2 = 13^2 \implies L^2 + 25 = 169 \implies L^2 = 144 \implies L = 12 \text{ cm} \]

직선 부분이 2개(위쪽과 아래쪽) 있으므로, 이들의 결합된 길이는 \( 2 \times 12 = 24 \text{ cm} \)입니다.

2단계: 접점의 중심각 구하기.
중심들에 인접한 직각삼각형의 각을 \( \alpha \)라고 합시다.
\( \cos(\alpha) = \dfrac{\text{밑변}}{\text{빗변}} = \dfrac{5}{13} \). 따라서 \( \alpha = \arccos(\dfrac{5}{13}) \approx 1.176 \text{ 라디안} \).

3단계: 도르래 주변의 호의 길이 계산하기.
기하학적 추론을 통해 벨트가 작은 도르래에 닿는 각도는 \( 2\alpha \)입니다.
작은 도르래의 호: \( S_1 = r_1(2\alpha) = 3(2 \times 1.176) = 3(2.352) = 7.056 \text{ cm} \).

벨트가 큰 도르래에 닿는 각도는 우각(major arc)이며, \( 2\pi - 2\alpha \)입니다.
우각: \( 2\pi - 2.352 \approx 6.283 - 2.352 = 3.931 \text{ 라디안} \).
큰 도르래의 호: \( S_2 = r_2(3.931) = 8(3.931) = 31.448 \text{ cm} \).

4단계: 각 부분 합산하기.
총 길이 = 직선 부분 + 작은 호 + 큰 호
\[ \text{총 길이} \approx 24 + 7.056 + 31.448 = \mathbf{62.5 \text{ cm}} \]

1단계: 교점 구하기.
선형 방정식을 원의 방정식에 대입합니다:

\[ x^2 + (2x + 5)^2 = 25 \] \[ x^2 + (4x^2 + 20x + 25) = 25 \] \[ 5x^2 + 20x = 0 \]

\( 5x \)로 묶습니다:

\[ 5x(x + 4) = 0 \implies x = 0 \text{ 또는 } x = -4 \]

\( y = 2x+5 \)를 사용하여 해당하는 y값을 구합니다:
\( x = 0 \)이면 \( y = 5 \). 점 1: \( (0, 5) \).
\( x = -4 \)이면 \( y = -3 \). 점 2: \( (-4, -3) \).

2단계: 두 점 사이의 중심각 구하기.
벡터 \( \vec{A} = (0, 5) \)와 \( \vec{B} = (-4, -3) \)을 정의합니다. 내적 공식을 사용하여 이들 사이의 각 \( \theta \)를 구할 수 있습니다: \( \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos(\theta) \).

내적: \( (0)(-4) + (5)(-3) = -15 \)
크기(둘 다 반지름): \( |\vec{A}| = 5 \), \( |\vec{B}| = 5 \).

\[ -15 = (5)(5) \cos(\theta) \implies \cos(\theta) = \dfrac{-15}{25} = -\dfrac{3}{5} \] \[ \theta = \arccos\left(-\dfrac{3}{5}\right) \approx 2.214 \text{ 라디안} \]

3단계: 호의 길이 계산하기.
반지름이 \( R = 5 \)임을 알고 있습니다. \( S = R\theta \)를 사용합니다:

\[ S = 5 \cdot \arccos\left(-\dfrac{3}{5}\right) \approx 5 \cdot 2.214 \approx \mathbf{11.07 \text{ 단위}} \]