복소 변수, 켤레복소수 및 다항식의 근 마스터하기
상세한 단계별 풀이가 포함된 다양한 복소수 문제를 살펴보세요. 복소 연산을 풀고, 다항식의 근을 찾고, 켤레복소수의 성질을 적용하는 방법을 배워보세요. 복소수는 응용 수학, 물리학, 전기 공학 및 기타 기술 분야에서 핵심적인 역할을 합니다.
참고: 이하에서 \( i \)는 허수 단위이며, \\( i^2 = -1 \\)입니다.
다음 식들을 계산하고 표준 \\( a + bi \\) 형태로 나타내세요:
a) \( (3 + 2i) - (8 - 5i) \)
마이너스 부호를 분배하고 실수부와 허수부를 각각 묶습니다:
\[ = 3 + 2i - 8 + 5i \]
\[ = (3 - 8) + (2 + 5)i = \mathbf{-5 + 7i} \]
b) \( (4 - 2i)(1 - 5i) \)
FOIL(전개) 방법을 사용하여 이항식을 전개하고, \\( i^2 = -1 \\)임을 이용합니다:
\[ = 4(1) + 4(-5i) - 2i(1) - 2i(-5i) \]
\[ = 4 - 20i - 2i + 10i^2 \]
\[ = 4 - 22i + 10(-1) \]
\[ = (4 - 10) - 22i = \mathbf{-6 - 22i} \]
c) \( \dfrac{-2 - 4i}{i} \)
분모에서 허수단위를 없애기 위해 분자와 분모에 \\( -i \\)(\\( i \\)의 켤레)를 곱합니다:
\[ = \dfrac{(-2 - 4i)(-i)}{(i)(-i)} = \dfrac{2i + 4i^2}{-i^2} \]
\( i^2 = -1 \)을 대입합니다:
\[ = \dfrac{2i + 4(-1)}{-(-1)} = \dfrac{-4 + 2i}{1} = \mathbf{-4 + 2i} \]
d) \( \dfrac{-3 + 2i}{3 - 6i} \)
분자와 분모에 분모의 켤레복소수인 \\( 3 + 6i \\)를 곱합니다:
\[ = \dfrac{(-3 + 2i)(3 + 6i)}{(3 - 6i)(3 + 6i)} \]
분자와 분모를 각각 전개합니다:
분자: \( -9 - 18i + 6i + 12i^2 = -9 - 12i - 12 = -21 - 12i \)
분모: \( 3^2 - (6i)^2 = 9 - 36(-1) = 9 + 36 = 45 \)
각 항을 45로 나누고 분수를 약분합니다:
\[ = \dfrac{-21 - 12i}{45} = \dfrac{-21}{45} - \dfrac{12}{45}i = \mathbf{-\dfrac{7}{15} - \dfrac{4}{15}i} \]
\\( x \\)와 \\( y \\)가 실수일 때, \\( \dfrac{x + yi}{i} = 7 + 9i \\)이면 \\( (x + yi)(x - yi) \\)의 정확한 값은 얼마인가요?
먼저 주어진 방정식의 양변에 \\( i \\)를 곱하여 복소수 \\( x + yi \\)를 고립시킵니다:
\[ \dfrac{x + yi}{i} \cdot i = (7 + 9i) \cdot i \]
\[ x + yi = 7i + 9i^2 \]
\( i^2 = -1 \)을 대입하고 표준형으로 씁니다:
\[ x + yi = -9 + 7i \]
구해야 하는 식은 \\( (x + yi)(x - yi) \\)입니다. \\( (x - yi) \\)는 \\( (x + yi) \\)의 켤레복소수임을 알 수 있습니다. 따라서:
\[ (x + yi)(x - yi) = (-9 + 7i)(-9 - 7i) \]
이는 합차 공식 \\( (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 \\)입니다. 이 공식을 적용하면:
\[ = (-9)^2 + (7)^2 = 81 + 49 = \mathbf{130} \]
다음 방정식을 만족하는 모든 복소수 \\( z \\)를 구하세요: \[ z + 3z' = 5 - 6i \]
여기서 \\( z' \\)은 \\( z \\)의 켤레복소수를 나타냅니다.
미지 복소수를 \\( z = a + bi \\)라고 합시다 (\\( a \\)와 \\( b \\)는 실수). 따라서 켤레복소수는 \\( z' = a - bi \\)입니다.
주어진 방정식에 \\( z \\)와 \\( z' \\)를 대입합니다:
\[ (a + bi) + 3(a - bi) = 5 - 6i \]
좌변의 실수부와 허수부를 전개하고 묶습니다:
\[ a + bi + 3a - 3bi = 5 - 6i \]
\[ (a + 3a) + (b - 3b)i = 5 - 6i \]
\[ 4a - 2bi = 5 - 6i \]
두 복소수가 서로 같으려면 대응하는 실수부와 허수부가 각각 같아야 합니다. 이를 통해 두 개의 간단한 일차방정식 시스템을 얻습니다:
실수부: \\( 4a = 5 \implies a = \dfrac{5}{4} \\)
허수부: \\( -2b = -6 \implies b = 3 \\)
마지막으로 \\( a \\)와 \\( b \\)를 원래 \\( z \\)의 정의에 대입합니다:
\[ \mathbf{z = \dfrac{5}{4} + 3i} \]
\\( a \\)와 \\( b \\)가 실수일 때, 다음을 만족하는 \\( z = a + bi \\) 형태의 모든 복소수를 구하세요:
\[ z z' = 25 \quad \text{and} \quad a + b = 7 \]
여기서 \\( z' \\)은 \\( z \\)의 켤레복소수를 나타냅니다.
\( z = a + bi \\)라고 하면 그 켤레는 \\( z' = a - bi \\)입니다.
복소수와 그 켤레의 곱은 항상 각 성분의 제곱의 합이 됩니다:
\[ z z' = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2(-1) = a^2 + b^2 \]
\\( zz' = 25 \\)라고 주어졌으므로 첫 번째 방정식은 다음과 같습니다:
\[ a^2 + b^2 = 25 \]
일차방정식 \\( a + b = 7 \\)도 주어져 있습니다. 대입법으로 이 시스템을 풀 수 있습니다. 일차방정식에서 \\( b \\)를 고립시킵니다:
\[ b = 7 - a \]
이 \\( b \\)에 대한 식을 이차방정식에 대입합니다:
\[ a^2 + (7 - a)^2 = 25 \]
완전제곱식을 전개합니다:
\[ a^2 + (49 - 14a + a^2) = 25 \]
동류항을 정리하여 표준 이차방정식형태(\( Ax^2 + Bx + C = 0 \))로 만듭니다:
\[ 2a^2 - 14a + 24 = 0 \]
방정식 전체를 2로 나누어 간소화합니다:
\[ a^2 - 7a + 12 = 0 \]
이차식을 인수분해합니다:
\[ (a - 4)(a - 3) = 0 \]
이를 통해 \\( a \\)의 두 가지 가능한 값을 얻습니다. \\( b = 7 - a \\)를 사용하여 대응하는 \\( b \\) 값을 찾습니다:
따라서 두 조건을 모두 만족하는 복소수는 다음과 같습니다:
\[ \mathbf{z = 4 + 3i \quad \text{and} \quad z = 3 + 4i} \]
복소수 \\( 2 + 4i \\)는 계수가 실수인 이차방정식 \\( x^2 + bx + c = 0 \\)의 한 근입니다.
방법 1: 직접 대입 (아래 표시됨)
a) \\( x = 2 + 4i \\)가 근이므로, 방정식에 대입하면 0이 되어야 합니다:
\[ (2 + 4i)^2 + b(2 + 4i) + c = 0 \]
제곱 이항식을 전개하고 \\( b \\)를 분배합니다:
\[ (4 + 16i + 16i^2) + 2b + 4bi + c = 0 \]
\( i^2 = -1 \)을 대입하고 간소화합니다:
\[ 4 + 16i - 16 + 2b + 4bi + c = 0 \]
\[ -12 + 16i + 2b + 4bi + c = 0 \]
실수부와 허수부를 각각 묶습니다:
\[ (-12 + 2b + c) + (16 + 4b)i = 0 \]
복소수가 0이 되려면 실수부와 허수부 모두 0이어야 합니다:
허수부: \\( 16 + 4b = 0 \implies 4b = -16 \implies \mathbf{b = -4} \\)
실수부: \\( -12 + 2b + c = 0 \\). \\( b = -4 \\)를 대입합니다:
\[ -12 + 2(-4) + c = 0 \implies -12 - 8 + c = 0 \implies \mathbf{c = 20} \]
b) 다항식의 계수(\( 1, b, c \))가 모두 실수이므로, 켤레복소수 근 정리에 의해 근은 켤레 쌍으로 존재합니다. 따라서 두 번째 근은 \\( 2 - 4i \\)입니다.
검증: \\( x = 2 - 4i \\), \\( b = -4 \\), \\( c = 20 \\)을 방정식에 대입합니다:
\[ (2 - 4i)^2 - 4(2 - 4i) + 20 \]
\[ = (4 - 16i + 16i^2) - 8 + 16i + 20 \]
\[ = (4 - 16i - 16) - 8 + 16i + 20 \]
\[ = -12 - 16i - 8 + 16i + 20 = (-12 - 8 + 20) + (-16 + 16)i = 0 \]
(대안 방법: 비테의 정리를 이용합니다. 근의 합은 \\( -b \\)이고 곱은 \\( c \\)입니다. 주어진 근이 \\( 2+4i \\)와 \\( 2-4i \\)이므로, 합 = \\( 4 \implies b = -4 \\)입니다. 곱 = \\( (2)^2 + (4)^2 = 20 \implies c = 20 \\)).
다음 방정식을 만족하는 모든 복소수 \\( z \\)를 구하세요: \[ z^2 = -1 + 2 \sqrt{6} i \]
\\( z = a + bi \\)라고 합시다 (\\( a \\)와 \\( b \\)는 실수).
주어진 방정식에 대입합니다:
\[ (a + bi)^2 = -1 + 2\sqrt{6}i \]
좌변을 전개합니다:
\[ a^2 + 2abi + b^2i^2 = -1 + 2\sqrt{6}i \]
\[ a^2 - b^2 + 2abi = -1 + 2\sqrt{6}i \]
실수부와 허수부를 같다고 두어 연립방정식을 만듭니다:
1) \\( a^2 - b^2 = -1 \\)
2) \\( 2ab = 2\sqrt{6} \\)
식 2에서 \\( b \\)를 고립시킵니다:
\[ ab = \sqrt{6} \implies b = \dfrac{\sqrt{6}}{a} \]
이 \\( b \\) 식을 식 1에 대입합니다:
\[ a^2 - \left( \dfrac{\sqrt{6}}{a} \right)^2 = -1 \]
\[ a^2 - \dfrac{6}{a^2} = -1 \]
분모를 없애기 위해 방정식 전체에 \\( a^2 \\)을 곱합니다:
\[ a^4 - 6 = -a^2 \]
\[ a^4 + a^2 - 6 = 0 \]
이는 \\( a^2 \\)에 대한 이차방정식입니다. 다음과 같이 인수분해할 수 있습니다:
\[ (a^2 + 3)(a^2 - 2) = 0 \]
따라서 \\( a^2 = -3 \\) 또는 \\( a^2 = 2 \\)입니다. \\( a \\)는 반드시 실수여야 하므로 \\( a^2 \\)은 음수가 될 수 없습니다. 그러므로 \\( a^2 = -3 \\)은 버립니다.
\\( a^2 = 2 \\)를 풀면 두 개의 실근 \\( a = \sqrt{2} \\)와 \\( a = -\sqrt{2} \\)가 나옵니다.
이제 \\( b = \dfrac{\sqrt{6}}{a} \\)를 사용하여 \\( b \\)의 값을 구합니다:
이들을 복소수 \\( z = a + bi \\) 형태로 결합하면 두 가지 해를 얻습니다:
\[ \mathbf{z_1 = \sqrt{2} + \sqrt{3}i \quad \text{and} \quad z_2 = -\sqrt{2} - \sqrt{3}i} \]
다음 조건을 만족하는 모든 복소수 \\( z \\)를 구하세요:
\[ (4 + 2i)z + (8 - 2i)z' = -2 + 10i \]
여기서 \\( z' \\)은 \\( z \\)의 켤레복소수입니다.
\\( z = a + bi \\) 및 \\( z' = a - bi \\)라고 합시다 (\\( a \\)와 \\( b \\)는 실수).
이 식들을 주어진 방정식에 대입합니다:
\[ (4 + 2i)(a + bi) + (8 - 2i)(a - bi) = -2 + 10i \]
FOIL을 사용하여 두 곱을 각각 꼼꼼히 전개합니다:
첫 번째 곱: \\( 4a + 4bi + 2ai + 2bi^2 = 4a - 2b + (2a + 4b)i \\)
두 번째 곱: \\( 8a - 8bi - 2ai + 2bi^2 = 8a - 2b + (-2a - 8b)i \\)
전개된 식들을 더합니다:
\[ (4a - 2b + 8a - 2b) + (2a + 4b - 2a - 8b)i = -2 + 10i \]
동류항을 묶어 간소화합니다:
\[ (12a - 4b) + (-4b)i = -2 + 10i \]
실수부와 허수부를 같다고 두어 연립방정식을 세웁니다:
허수부: \\( -4b = 10 \implies \mathbf{b = -\dfrac{5}{2}} \\)
실수부: \\( 12a - 4b = -2 \\). \\( b \\)의 값을 대입합니다:
\[ 12a - 4\left(-\dfrac{5}{2}\right) = -2 \]
\[ 12a + 10 = -2 \]
\[ 12a = -12 \implies \mathbf{a = -1} \]
따라서 복소수 \\( z \\)는 다음과 같습니다:
\[ \mathbf{z = -1 - \dfrac{5}{2}i} \]
복소수 \\( z = -2 + 7i \\)가 다음 삼차방정식의 한 근이라고 합니다:
\[ z^3 + 6z^2 + 61z + 106 = 0 \]
이 방정식의 실근을 구하세요.
삼차다항식의 모든 계수(\( 1, 6, 61, 106 \))가 실수이므로, 켤레복소수 근 정리에 의해 \\( z_1 = -2 + 7i \\)가 근이면 그 켤레인 \\( z_2 = -2 - 7i \\)도 반드시 근이 됩니다.
두 근을 알면 \\( (z - z_1)(z - z_2) \\)를 곱하여 해당하는 이차 인수를 만들 수 있습니다:
\[ (z - (-2 + 7i))(z - (-2 - 7i)) \]
합차 공식을 쉽게 적용하기 위해 내부 항을 재그룹화합니다:
\[ = ((z + 2) - 7i)((z + 2) + 7i) \]
\[ = (z + 2)^2 - (7i)^2 \]
\[ = (z^2 + 4z + 4) - 49(-1) \]
\[ = z^2 + 4z + 53 \]
이 이차식은 원래의 삼차다항식의 인수여야 합니다. 나머지 실근을 \\( r \\)이라고 합시다. 삼차다항식은 다음과 같이 인수분해될 수 있습니다:
\[ z^3 + 6z^2 + 61z + 106 = (z^2 + 4z + 53)(z - r) \]
삼차식을 이차식으로 나누는 다항식 긴나눗셈을 수행하여 누락된 일차 인수 \\( (z - r) \\)를 찾을 수 있습니다. 또는 최고차항과 상수항을 보고 지름길을 쓸 수도 있습니다:
따라서 일차 인수는 \\( (z + 2) \\)입니다. 즉, 완전히 인수분해된 삼차방정식은 다음과 같습니다:
\[ (z^2 + 4z + 53)(z + 2) = 0 \]
일차 인수를 0으로 두면 실근을 얻습니다:
\[ z + 2 = 0 \implies \mathbf{z = -2} \]
방정식 \\( z^4 + z^3 + 2z^2 + 4z - 8 = 0 \\)을 고려하세요.
a) \\( 2i \\)가 근임을 보이려면 다항식에 \\( z = 2i \\)를 대입했을 때 그 값이 0이 됨을 확인하면 됩니다.
먼저 \\( 2i \\)의 거듭제곱을 계산합니다:
다항식에 이 값들을 대입합니다:
\[ (2i)^4 + (2i)^3 + 2(2i)^2 + 4(2i) - 8 \]
\[ = 16 + (-8i) + 2(-4) + 8i - 8 \]
\[ = 16 - 8i - 8 + 8i - 8 \]
\[ = (16 - 8 - 8) + (-8i + 8i) = \mathbf{0} \]
결과가 0이므로 \\( 2i \\)는 확실한 근입니다.
b) 다항식의 계수가 모두 실수이므로, 켤레복소수 근 정리에 의해 \\( -2i \\)도 근이 됩니다.
이 두 근에 대응하는 인수는 \\( (z - 2i) \\)와 \\( (z + 2i) \\)입니다. 이들을 곱하면 이차 인수가 나옵니다:
\[ (z - 2i)(z + 2i) = z^2 - (2i)^2 = z^2 - 4(-1) = z^2 + 4 \]
나머지 근을 찾기 위해 원래의 4차 다항식을 이 이차 인수 \\( z^2 + 4 \\)로 나눕니다. 다항식 긴나눗셈을 사용할 수 있습니다:
\[ \dfrac{z^4 + z^3 + 2z^2 + 4z - 8}{z^2 + 4} = z^2 + z - 2 \]
따라서 다항식은 다음과 같이 인수분해됩니다:
\[ (z^2 + 4)(z^2 + z - 2) = 0 \]
나머지 근은 이차방정식 \\( z^2 + z - 2 = 0 \\)을 풀어서 나옵니다. 인수분해하면:
\[ (z + 2)(z - 1) = 0 \]
이로부터 \\( z = -2 \\)와 \\( z = 1 \\)을 얻습니다. 따라서 이 방정식의 전체 근의 집합은 다음과 같습니다:
\[ \mathbf{z = 2i, \quad z = -2i, \quad z = 1, \quad z = -2} \]
\\( P(z) = z^4 + a z^3 + b z^2 + c z + d \\)는 \\( a, b, c, d \\)가 모두 실수인 다항식입니다. 다항식 \\( P \\)의 두 영점이 \\( 2 - i \\)와 \\( 1 - i \\)일 때, \\( a, b, c, d \\)의 정확한 값을 구하세요.
다항식의 계수가 오직 실수이므로, 임의의 복소수 근은 켤레 쌍으로 나타납니다. 두 개의 복소수 근이 주어졌으므로 나머지 두 개의 근을 즉시 알 수 있습니다:
주어진 근: \\( 2 - i \\) 및 \\( 1 - i \\)
켤레 근: \\( 2 + i \\) 및 \\( 1 + i \\)
이 네 개의 근과 연관된 인수들을 모두 곱하여 다항식을 구성할 수 있습니다:
\[ P(z) = (z - (2 - i))(z - (2 + i)) \cdot (z - (1 - i))(z - (1 + i)) \]
먼저 켤레 쌍끼리 서로 곱합니다. 이를 통해 실수 계수를 갖는 두 개의 이차식이 만들어집니다. 합차 공식을 쓰기 위해 묶어줍니다:
첫 번째 쌍:
\[ ((z - 2) + i)((z - 2) - i) = (z - 2)^2 - i^2 = (z^2 - 4z + 4) + 1 = \mathbf{z^2 - 4z + 5} \]
두 번째 쌍:
\[ ((z - 1) + i)((z - 1) - i) = (z - 1)^2 - i^2 = (z^2 - 2z + 1) + 1 = \mathbf{z^2 - 2z + 2} \]
이제 이 두 이차 다항식을 서로 곱하여 \\( P(z) \\)를 구합니다:
\[ P(z) = (z^2 - 4z + 5)(z^2 - 2z + 2) \]
첫 번째 다항식의 각 항을 두 번째 다항식 전체에 분배합니다:
\[ = z^2(z^2 - 2z + 2) - 4z(z^2 - 2z + 2) + 5(z^2 - 2z + 2) \]
\[ = (z^4 - 2z^3 + 2z^2) - (4z^3 - 8z^2 + 8z) + (5z^2 - 10z + 10) \]
동류항을 결합합니다:
\[ P(z) = z^4 - 6z^3 + 15z^2 - 18z + 10 \]
주어진 형식 \\( z^4 + a z^3 + b z^2 + c z + d \\)과 비교하여 계수들을 구합니다:
\[ \mathbf{a = -6, \quad b = 15, \quad c = -18, \quad d = 10} \]
복소수 \\( (\sqrt{3} + i)^6 \\)을 표준 \\( a + bi \\) 형태로 나타내세요.
이항식을 6제곱으로 전개하는 것은 번거롭습니다. 대신 이 복소수를 극형식 \\( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \\)으로 변환한 뒤 드 무아브르 정리 \\( z^n = r^n (\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)) \\)를 사용할 수 있습니다.
먼저 복소수 \\( z = \sqrt{3} + i \\)의 절댓값(크기) \\( r \\)을 구합니다:
\[ r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 \]
다음으로 편각(각도) \\( \theta \\)를 구합니다:
\[ \tan\theta = \dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \]
두 성분이 모두 양수이므로 각도는 제1사분면에 있습니다: \\( \theta = \dfrac{\pi}{6} \\) (또는 \\( 30^\circ \\)).
따라서 극형식은 \\( z = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right) \\)입니다.
이제 \\( n = 6 \\)일 때 드 무아브르 정리를 적용합니다:
\[ z^6 = 2^6 \left( \cos\left(6 \cdot \dfrac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(6 \cdot \dfrac{\pi}{6}\right) \right) \]
\[ z^6 = 64 (\cos(\pi) + i\sin(\pi)) \]
\( \cos(\pi) = -1 \\)이고 \\( \sin(\pi) = 0 \\)임을 알고 있습니다:
\[ z^6 = 64 (-1 + 0i) = -64 \]
표준형은 다음과 같습니다: \\( -64 + 0i \\).
복소평면에서 \\( |z - 2| = |z + 2i| \\)를 만족하는 점 \\( z \\)들의 자취에 대한 카르테시안 방정식을 구하고, 이 자취의 기하학적 도형을 설명하세요.
복소 변수를 카르테시안 좌표를 나타내는 \\( z = x + yi \\)라고 합시다.
이를 주어진 모듈러스 방정식에 대입합니다:
\[ |(x + yi) - 2| = |(x + yi) + 2i| \]
절댓값 기호 안의 실수 성분과 허수 성분을 묶어줍니다:
\[ |(x - 2) + yi| = |x + (y + 2)i| \]
복소수 \\( a+bi \\)의 절댓값은 \\( \sqrt{a^2+b^2} \\)입니다. 양변에 이를 적용합니다:
\[ \sqrt{(x - 2)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y + 2)^2} \]
제곱근을 없애기 위해 양변을 제곱합니다:
\[ (x - 2)^2 + y^2 = x^2 + (y + 2)^2 \]
양변의 완전제곱식을 전개합니다:
\[ x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 + y^2 + 4y + 4 \]
양변에서 \\( x^2 \\), \\( y^2 \\), \\( 4 \\)를 뺍니다. 깔끔하게 소거되며 다음이 남습니다:
\[ -4x = 4y \]
4로 나누어 최종 카르테시안 방정식을 구합니다:
\\( y = -x \\)
기하학적 설명: 이 자취는 기울기가 -1이고 원점을 지나는 직선입니다. (개념적으로 \\( |z - A| = |z - B| \\)는 항상 복소평면에서 점 A와 점 B를 연결하는 선분의 수직이등분선을 나타냅니다. 여기서 A는 \\( (2, 0) \\)이고 B는 \\( (0, -2) \\)입니다. 이들의 수직이등분선은 실제로 직선 \\( y = -x \\)입니다.)
방정식 \\( z^3 = 8i \\)의 세 복소수 근을 모두 구하세요.
세제곱근을 찾기 위해 먼저 숫자 \\( 8i \\)를 극형식으로 나타냅니다.
절댓값은 \\( 8 \\)이고, 양의 허수축 위에 놓여 있으므로 각도는 \\( \dfrac{\pi}{2} \\)입니다. 일반적인 극형식은 다음과 같습니다:
\[ 8i = 8 \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right)\right) \]
세제곱근(\( z = (8i)^{1/3} \\))을 찾기 위해 드 무아브르의 근 공식을 사용합니다: 절댓값의 세제곱근을 취하고, 각도를 3으로 나눕니다:
\[ z_k = \sqrt[3]{8} \left( \cos\left(\dfrac{\pi/2 + 2k\pi}{3}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi/2 + 2k\pi}{3}\right) \right) \]
\[ z_k = 2 \left( \cos\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2k\pi}{3}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2k\pi}{3}\right) \right) \]
\( k = 0, 1, 2 \\)를 대입하여 세 개의 서로 다른 근을 찾습니다:
k = 0 일 때:
\[ z_0 = 2 \left( \cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6} \right) = 2 \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}i \right) = \mathbf{\sqrt{3} + i} \]
k = 1 일 때:
\[ \text{Angle} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{4\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} \]
\[ z_1 = 2 \left( \cos\dfrac{5\pi}{6} + i\sin\dfrac{5\pi}{6} \right) = 2 \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}i \right) = \mathbf{-\sqrt{3} + i} \]
k = 2 일 때:
\[ \text{Angle} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{8\pi}{6} = \dfrac{9\pi}{6} = \dfrac{3\pi}{2} \]
\[ z_2 = 2 \left( \cos\dfrac{3\pi}{2} + i\sin\dfrac{3\pi}{2} \right) = 2(0 + (-1)i) = \mathbf{-2i} \]
세 근은 다음과 같습니다: \\( \sqrt{3} + i \\), \\( -\sqrt{3} + i \\), 그리고 \\( -2i \\).