그래프가 주어졌을 때 다항식 방정식 구하기: 풀이가 포함된 문제

1단계: 영점과 중복도 식별하기
함수의 그래프는 \( x = -1 \)에서 x축을 깔끔하게 통과합니다. 이는 인수 \( (x + 1) \)에 해당하는 중복도 1의 영점을 나타냅니다.
그래프는 \( x = 3 \)에서 x축에 접하고 돌아섭니다(포물선 모양). 이는 인수 \( (x - 3)^2 \)에 해당하는 중복도 2의 영점을 나타냅니다.

2단계: 방정식 세우기
인수들을 바탕으로 함수 \( g \)는 다음과 같은 일반 형태를 가집니다:
\[ g(x) = k(x + 1)(x - 3)^2 \] 여기서 \( k \)는 미지의 상수 배수입니다.

3단계: \( k \) 구하기
좌표가 \( (1, 3) \)인 그래프상의 표시된 점을 사용하여 \( k \)를 구할 수 있습니다:
\[ g(1) = k(1 + 1)(1 - 3)^2 = 3 \] \[ k(2)(-2)^2 = 3 \] \[ 8k = 3 \implies k = \dfrac{3}{8} \]

결론:
\( g(x) \)의 정확한 방정식은 다음과 같습니다:
\[ g(x) = \dfrac{3}{8}(x + 1)(x - 3)^2 \]

1단계: 영점과 중복도 식별하기
x절편을 분석하여 세 개의 뚜렷한 교차점을 찾습니다:
* \( x = 2 \)에서의 직선 통과, 즉 중복도 1을 의미하며 인수 \( (x - 2) \)를 줍니다.
* \( x = -2 \)에서의 직선 통과, 즉 중복도 1을 의미하며 인수 \( (x + 2) \)를 줍니다.
* \( x = -1 \)에서의 접하고 돌아서기, 즉 중복도 2를 의미하며 인수 \( (x + 1)^2 \)를 줍니다.

2단계: 방정식 세우기
이 인수들을 곱하면 기본 4차 다항식이 만들어집니다:
\[ f(x) = k(x - 2)(x + 2)(x + 1)^2 \] 여기서 \( k \)는 상수입니다.

3단계: \( k \) 구하기
그래프는 \( (0, -1) \)에서 명확한 y절편을 보여줍니다. \( x = 0 \)과 \( y = -1 \)을 대입합니다:
\[ f(0) = k(0 - 2)(0 + 2)(0 + 1)^2 = -1 \] \[ k(-2)(2)(1)^2 = -1 \] \[ -4k = -1 \implies k = \dfrac{1}{4} \]

결론:
방정식은 다음과 같습니다:
\[ f(x) = \dfrac{1}{4}(x - 2)(x + 2)(x + 1)^2 \]

1단계: 영점과 중복도 식별하기
그래프는 \( x = 0 \)과 \( x = \dfrac{5}{2} \)에서 x절편을 가집니다. 그래프가 두 점 모두에서 x축을 통과하므로 두 영점 모두 홀수 중복도를 가져야 합니다.
* \( x = 0 \)에서 그래프는 납작해진 "S" 모양 또는 3차 모양을 나타냅니다. 이는 중복도 3을 의미하며 인수 \( x^3 \)을 산출합니다.
* \( x = \dfrac{5}{2} \)에서 통과는 직접적이고 비교적 선형적이므로 중복도 1을 의미하며 인수 \( \left(x - \dfrac{5}{2}\right) \)를 산출합니다.

2단계: 방정식 세우기
이러한 관찰을 바탕으로 일반 형태를 작성합니다:
\[ f(x) = k(x)^3 \left(x - \dfrac{5}{2}\right) \]

3단계: \( k \) 구하기
주어진 기준점 \( (2, -4) \)을 사용하여 \( k \)를 구합니다:
\[ -4 = k(2)^3 \left(2 - \dfrac{5}{2}\right) \] \[ -4 = k(8) \left(-\dfrac{1}{2}\right) \] \[ -4 = -4k \implies k = 1 \]

결론:
다항식의 방정식은 다음과 같습니다:
\[ f(x) = x^3 \left(x - \dfrac{5}{2}\right) \]

1단계: 인수분해형 설정하기
다항식은 3차입니다. 그래프는 \( x = -2 \)에서 중복도 1인 영점(인수: \( x + 2 \))과 \( x = 1 \)에서 중복도 2인 영점(인수: \( (x - 1)^2 \))을 보여줍니다.
\[ y = k(x + 2)(x - 1)^2 \]

2단계: \( k \) 구하기
\( (0, 1) \)의 명확한 y절편을 사용합니다:
\[ 1 = k(0 + 2)(0 - 1)^2 \] \[ 1 = 2k \implies k = \dfrac{1}{2} = 0.5 \]

3단계: 표준형으로 전개하기
이제 인수분해된 다항식을 전개하여 개별 계수를 나타냅니다:
\[ y = 0.5(x + 2)(x^2 - 2x + 1) \] \[ y = 0.5(x^3 - 2x^2 + x + 2x^2 - 4x + 2) \] \[ y = 0.5(x^3 - 3x + 2) \] \[ y = 0.5x^3 - 1.5x + 1 \]

결론:
이를 \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \)와 비교하여 유도합니다:
\[ a = 0.5, \quad b = 0, \quad c = -1.5, \quad d = 1 \]

1단계: 대칭성 개념 활용하기
그래프가 y축에 대해 완벽하게 대칭이므로, 이 함수는 _짝함수_여야 합니다(\( f(x) = f(-x) \)인 함수).
다항식이 짝함수가 되려면 \( x \)의 짝수 거듭제곱만 포함해야 합니다. 항 \( bx^3 \)과 \( dx \)는 홀함수입니다. 전체 다항식이 짝함수로 유지되려면 이들의 계수가 0이어야 합니다:
\[ b = 0, \quad d = 0 \]

2단계: 상수 \( e \) 구하기
다항식은 \( y = a x^4 + c x^2 + e \)로 간소화됩니다.
계수 \( e \)는 y절편을 나타냅니다. 그래프를 살펴보면 y절편은 명확히 \( (0, -2) \)에 있습니다:
\[ -2 = a(0)^4 + c(0)^2 + e \] \[ e = -2 \]

결론:
필요한 계수는 다음과 같습니다:
\[ b = 0, \quad d = 0, \quad e = -2 \]

1단계: 인수 구성
* \( x = -2 \)에서 직접 통과 \( \implies \) 중복도 1: 인수 \( (x + 2) \).
* \( x = 1 \)에서 접함 \( \implies \) 중복도 2: 인수 \( (x - 1)^2 \).
* \( x = 4 \)에서 접함 \( \implies \) 중복도 2: 인수 \( (x - 4)^2 \).
(차수 확인: 1 + 2 + 2 = 5. 이는 명시된 차수와 완벽히 일치합니다.)

2단계: 방정식 세우기
\[ P(x) = k(x + 2)(x - 1)^2(x - 4)^2 \]

3단계: \( k \) 구하기
y절편 \( (0, -16) \)을 사용합니다:
\[ -16 = k(0 + 2)(0 - 1)^2(0 - 4)^2 \] \[ -16 = k(2)(-1)^2(-4)^2 \] \[ -16 = k(2)(1)(16) \] \[ -16 = 32k \implies k = -\dfrac{1}{2} \]

결론:
\[ P(x) = -0.5(x + 2)(x - 1)^2(x - 4)^2 \]

1단계: 홀함수 대칭성 이해하기
홀함수는 원점에 대해 대칭입니다(\( Q(-x) = -Q(x) \)). 이는 양의 x축에서 일어나는 그래프적 거동이 음의 x축에 (대각선으로) 대칭되어야 함을 의미합니다.
* \( x = 2 \)에서 접함 \( \implies \) \( x = -2 \)에서 접함.
* 원점을 지남 \( \implies \) \( x = 0 \)에서 영점.

2단계: 인수 구성(최저 차수)
* 통과하는 \( 0 \)에서의 영점 \( \implies \) 중복도 1: 인수 \( (x) \).
* \( 2 \)에서 접함 \( \implies \) 중복도 2: 인수 \( (x - 2)^2 \).
* \( -2 \)에서 접함 \( \implies \) 중복도 2: 인수 \( (x + 2)^2 \).
(최저 차수는 1 + 2 + 2 = 5입니다).

3단계: \( k \) 구하기
\[ Q(x) = k(x)(x - 2)^2(x + 2)^2 \]
점 \( (1, -9) \)를 사용합니다:
\[ -9 = k(1)(1 - 2)^2(1 + 2)^2 \] \[ -9 = k(1)(-1)^2(3)^2 \] \[ -9 = k(1)(1)(9) \] \[ 9k = -9 \implies k = -1 \]

결론:
\[ Q(x) = -x(x - 2)^2(x + 2)^2 \]

1단계: 모양을 중복도로 변환하기
* \( x = -3 \)에서의 포물선 접함 \( \implies \) 짝수 중복도. 최소 차수 = 2. 인수: \( (x + 3)^2 \).
* \( x = 2 \)에서의 직선 통과 \( \implies \) 중복도 1. 인수: \( (x - 2) \).
* \( x = 5 \)에서의 납작한 "S" 모양 통과 \( \implies \) 1보다 큰 홀수 중복도. 최소 차수 = 3. 인수: \( (x - 5)^3 \).

2단계: 방정식 세우기
이 인수들을 곱하면 6차 다항식이 만들어집니다:
\[ H(x) = k(x + 3)^2(x - 2)(x - 5)^3 \]

3단계: \( k \) 구하기
점 \( (3, -72) \)를 대입합니다:
\[ -72 = k(3 + 3)^2(3 - 2)(3 - 5)^3 \] \[ -72 = k(6)^2(1)(-2)^3 \] \[ -72 = k(36)(-8) \] \[ -72 = -288k \]
\[ k = \dfrac{-72}{-288} = \dfrac{1}{4} \]

결론:
\[ H(x) = 0.25(x + 3)^2(x - 2)(x - 5)^3 \]