삼각함수의 주기 찾기 - 12학년 수학

1단계: 그래프에서 전체 주기 식별하기.
전체 주기 또는 정수 개의 주기를 구분하는 영점을 찾습니다. 이 예시에서 $x = 0$부터 $x = 1$까지의 구간을 관찰하면 정확히 두 개의 전체 파동 주기를 셀 수 있습니다.

2단계: 실험적 주기 계산하기.
수평 거리 $1 - 0 = 1$ 안에 두 개의 주기가 들어가므로, 주기 $P$(한 주의 길이)는 다음과 같습니다: $$P = \frac{1 - 0}{2} = \frac{1}{2}$$

3단계: 매개변수 $b$ 구하기.
사인파의 주기 공식은 $P = \frac{2\pi}{b}$입니다. 이를 구한 주기에 대입합니다: $$\frac{2\pi}{b} = \frac{1}{2}$$ 대각선으로 곱하고 $b$를 구합니다: $$b = 4\pi$$

1단계: 전체 주기 하나의 거리 찾기.
영점 교차를 관찰합니다. 그래프는 $x = -\frac{\pi}{4}$에서 주기를 시작하여 정점과 골을 거쳐 영점 교차점 $x = \frac{\pi}{4}$에서 하나의 전체 주기를 마칩니다.

2단계: 주기 계산하기.
주기 $P$는 이 두 점 사이의 수평 거리입니다: $$P = \frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$

3단계: 매개변수 $b$ 구하기.
그래프의 주기를 대수 공식 $P = \frac{2\pi}{b}$와 같다고 둡니다: $$\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{b}$$ 양변에 $2b$를 곱합니다: $$\pi \cdot b = 4\pi \implies \mathbf{b = 4}$$

1단계: 거리를 계산할 주요 점 식별하기.
그래프는 x축에 눈금 표시를 제공하지만 정점에 대한 직접적인 좌표는 제공하지 않습니다. 하지만 주어진 눈금 사이의 중점을 취하여 영점(x절편)의 정확한 위치를 찾을 수 있습니다.

왼쪽의 영점($-\pi/4$와 $-\pi/8$의 중점): $$x_1 = \frac{-\pi/4 + (-\pi/8)}{2} = \frac{-3\pi/8}{2} = -\frac{3\pi}{16}$$

오른쪽의 영점($0$과 $\pi/8$의 중점): $$x_2 = \frac{0 + \pi/8}{2} = \frac{\pi}{16}$$

2단계: 주기 계산하기.
두 연속된 영점 사이의 거리는 정확히 *반* 주기(주기의 절반)를 나타냅니다. $$\text{반주기} = \frac{\pi}{16} - \left(-\frac{3\pi}{16}\right) = \frac{4\pi}{16} = \frac{\pi}{4}$$ 따라서 전체 주기 $P$는 이 거리의 두 배입니다: $$P = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$

3단계: $b$ 구하기.
$$\frac{2\pi}{b} = \frac{\pi}{2} \implies \mathbf{b = 4}$$

1단계: 극값 사이의 관계 이해하기.
연속된 최댓값(점 A, $x = \frac{3\pi}{6}$)과 최솟값(점 B, $x = \frac{7\pi}{6}$) 사이의 x축을 따른 수평 거리는 정확히 반주기와 같습니다.

2단계: 주기 계산하기.
먼저 A와 B 사이의 거리를 구합니다: $$\text{거리} = \frac{7\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$$ 전체 주기 $P$는 이 거리의 두 배입니다: $$P = 2 \times \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$$

3단계: $b$ 구하기.
대수 공식과 수치적 주기를 같다고 둡니다: $$\frac{2\pi}{b} = \frac{4\pi}{3}$$ 대각선으로 곱합니다: $6\pi = 4\pi b \implies \mathbf{b = \frac{6\pi}{4\pi} = \frac{3}{2}}$

1단계: 주기 직접 구하기.
두 연속된 최솟점 사이의 수평 거리는 정확히 하나의 전체 주기를 나타냅니다. 따라서 주기 $P$는 단순히 그들의 x 좌표 차이입니다: $$P = 0.1 - (-0.3) = 0.4$$

2단계: $b$ 구하기.
주기 공식 $P = \frac{2\pi}{b}$를 사용합니다: $$\frac{2\pi}{b} = 0.4$$ $$0.4b = 2\pi \implies b = \frac{2\pi}{0.4} = \frac{20\pi}{4} = \mathbf{5\pi}$$

1. $y = \sin(x)\cos(x) - 3$인 경우:
   배각 공식 $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$를 사용합니다. 2로 나누면 $\sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)$가 됩니다.
   함수를 다시 씁니다: $$y = \frac{1}{2} \sin(2x) - 3$$ 내부 곱셈 인수는 $b=2$입니다. 주기: $$\mathbf{P = \frac{2\pi}{2} = \pi}$$
2. $y = 2 + 5\cos^2(x)$인 경우:
   반각(차수 낮추기) 항등식 $\cos^2(x) = \frac{1}{2}(\cos(2x) + 1)$을 사용합니다.
   함수를 다시 씁니다: $$y = 2 + 5\left(\frac{1}{2}(\cos(2x)+1)\right) = 2 + \frac{5}{2}\cos(2x) + \frac{5}{2} = \frac{5}{2}\cos(2x) + \frac{9}{2}$$ 내부 곱셈 인수는 $b=2$입니다. 주기: $$\mathbf{P = \frac{2\pi}{2} = \pi}$$
3. $y = \cos(x) + \sin(x)$인 경우:
   이를 하나의 위상 이동된 사인파로 다시 씁니다. $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$를 곱하고 나눕니다: $$y = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(x)\right)$$ $$y = \sqrt{2}\left(\sin(\frac{\pi}{4})\cos(x) + \cos(\frac{\pi}{4})\sin(x)\right)$$ 각도 덧셈 공식 $\sin(A+B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B$를 사용합니다: $$y = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$ 내부 곱셈 인수는 $b=1$입니다. 주기: $$\mathbf{P = \frac{2\pi}{1} = 2\pi}$$

정의에 따라, $p$가 함수 $f$의 주기라면: $$f(x+p) = f(x) \quad (\text{모든 } x \text{에 대해})$$

$x = kX$로 치환해 봅시다: $$f(kX+p) = f(kX)$$

이제 좌변의 인수에서 상수 $k$를 묶어냅니다: $$f\left(k\left(X+\frac{p}{k}\right)\right) = f(kX)$$

$h(x) = f(kx)$로 정의했으므로, 방정식에 $h$를 대입할 수 있습니다: $$h\left(X+\frac{p}{k}\right) = h(X)$$

이 진술은 새로운 주기 함수 $h$를 정의합니다. 이는 입력을 $\frac{p}{k}$만큼 이동하면 원래 함수의 값이 산출됨을 나타냅니다. 따라서 $h(x) = f(kx)$는 다음의 주기를 갖는 주기 함수입니다: $$\mathbf{\frac{p}{k}}$$

1단계: 각 개별 항의 주기 구하기.
첫 번째 항 $y_1 = 3\sin(4x)$에 대해 매개변수 $b = 4$입니다. 그 주기는 다음과 같습니다: $$P_1 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$ 두 번째 항 $y_2 = 2\cos(6x)$에 대해 매개변수 $b = 6$입니다. 그 주기는 다음과 같습니다: $$P_2 = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$$

2단계: 최소공배수(LCM) 구하기.
주기 함수의 합의 주기는 각 개별 주기의 최소공배수(LCM)입니다. $\frac{\pi}{2}$와 $\frac{\pi}{3}$의 LCM을 찾아야 합니다.
분수의 LCM을 구하려면 공통분모로 표현합니다. $2$와 $3$의 최소공분모는 $6$입니다: $$P_1 = \frac{3\pi}{6}$$ $$P_2 = \frac{2\pi}{6}$$ 분자($3\pi$와 $2\pi$)의 LCM은 $6\pi$입니다. 이를 공통분모로 나눕니다: $$\text{LCM} = \frac{6\pi}{6} = \mathbf{\pi}$$

1단계: 기본 함수의 주기 구하기.
먼저 절댓값을 무시합니다. 기본 함수는 $f(x) = \sin(2x)$입니다. 이 사인파의 주기는 다음과 같습니다: $$P_{\text{base}} = \frac{2\pi}{2} = \pi$$

2단계: 절댓값의 영향 분석하기.
표준 사인파는 x축 위아래로 진동하며 전체 주기 $\pi$ 동안 양의 볼록한 부분과 음의 오목한 부분을 완성합니다.
절댓값을 취하면 음의 오목한 부분이 x축 위로 반사되어 동일한 양의 볼록한 부분이 됩니다. 이제 주기의 전반부와 후반부가 완벽하게 동일해 보이므로 패턴이 두 배 더 빠르게 반복됩니다.
따라서 사인 또는 코사인 파동에 절댓값을 적용하면 기본 주기가 절반으로 줄어듭니다.

3단계: 최종 주기 계산하기.
$$P = \frac{P_{\text{base}}}{2} = \mathbf{\frac{\pi}{2}}$$

1단계: 표준 탄젠트 주기 기억하기.
기본 주기가 $2\pi$인 사인 및 코사인 함수와 달리, 탄젠트 함수 $y = \tan(x)$의 기본 기본 주기는 $\pi$입니다. 따라서 $y = a\tan(bx - c)$의 주기 공식은 $P = \frac{\pi}{|b|}$입니다.

2단계: $b$ 매개변수 식별하기.
탄젠트 함수의 인수인 $\left(\frac{\pi x}{3} - \frac{\pi}{4}\right)$를 보면, $x$ 변수의 곱셈 인수는 $b = \frac{\pi}{3}$입니다. (참고: $-\frac{\pi}{4}$는 위상 이동이며 주기 길이에 영향을 미치지 않습니다.)

3단계: 주기 계산하기.
$$P = \frac{\pi}{\frac{\pi}{3}} = \pi \times \frac{3}{\pi} = \mathbf{3}$$

주기는 정확히 $3$ 단위 길이입니다.