다항식의 영점(근) 구하기

$p(x)$가 $x = 2$에서 영점을 가지므로, $(x - 2)$는 $p(x)$의 인수입니다. 다항식 긴 나눗셈이나 조립제법을 사용하여 $p(x)$를 $(x - 2)$로 나눕니다:

$$ \dfrac{p(x)}{x - 2} = \dfrac {x^3 + 5x^2 - 2x - 24}{x - 2} = x^2 + 7x + 12 $$

나눗셈 결과를 사용하여 $p(x)$를 부분적으로 인수분해된 형태로 쓸 수 있습니다:

$$ p(x) = (x - 2)(x^2 + 7x + 12) $$

다음으로 이차식 $x^2 + 7x + 12$를 인수분해합니다. 곱해서 12가 되고 더해서 7이 되는 두 숫자가 필요합니다. 그 숫자는 3과 4입니다:

$$ x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) $$

이를 $p(x)$에 다시 대입하여 완전 인수분해된 형태를 얻습니다:

$$ p(x) = (x - 2)(x + 3)(x + 4) $$

영점은 방정식 $p(x) = 0$으로 설정하여 찾습니다. 즉:

$$ x - 2 = 0 \quad \text{또는} \quad x + 3 = 0 \quad \text{또는} \quad x + 4 = 0 $$

최종 영점:
$$ x = 2, \quad x = -3, \quad x = -4 $$

$x = \pm \sqrt{5}$에서의 영점은 다음 일차 인수에 해당합니다:

$$ (x - \sqrt{5}) \quad \text{및} \quad (x + \sqrt{5}) $$

이 인수들을 곱하여 이차식 제수를 만듭니다. 이것은 합차 공식(제곱의 차)임을 유의하세요:

$$ (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) = x^2 - 5 $$

따라서 다항식 $p(x)$는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$$ p(x) = (x^2 - 5)Q(x) $$

다항식 긴 나눗셈을 사용하여 $Q(x)$를 구합니다:

$$ Q(x) = \dfrac{3x^4 + 5x^3 - 17x^2 - 25x + 10}{x^2 - 5} = 3x^2 + 5x - 2 $$

이제 이차식 $Q(x) = 3x^2 + 5x - 2$를 인수분해합니다:

$$ 3x^2 + 5x - 2 = (3x - 1)(x + 2) $$

이제 $p(x)$의 완전 인수분해된 형태를 쓸 수 있습니다:

$$ p(x) = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(3x - 1)(x + 2) $$

최종 영점: 각 인수를 0으로 설정합니다:
$$ x = \pm \sqrt{5}, \quad x = \dfrac{1}{3}, \quad x = -2 $$

a) 중복도 2 증명하기:
$x = 1$이 중복도 2인 영점이라면, $(x - 1)^2$은 $p(x)$의 인수여야 합니다. $(x-1)^2$을 전개하면 $x^2 - 2x + 1$이 됩니다. $p(x)$를 $x^2 - 2x + 1$로 나눈 긴 나눗셈의 나머지는 반드시 0이어야 합니다:

$$ \dfrac{x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 6x - 3}{x^2 - 2x + 1} = x^2 - 3 $$

나머지가 $0$이므로 $x = 1$은 실제로 중복도 $2$인 영점입니다.

b) 모든 영점 구하기:
위의 나눗셈을 사용하여 $p(x)$를 인수분해된 형태로 쓸 수 있습니다:

$$ p(x) = (x - 1)^2(x^2 - 3) $$

이차식 $x^2 - 3$을 제곱의 차로 인수분해합니다:

$$ p(x) = (x - 1)^2 (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) $$

최종 영점:
$$ x = 1 \text{ (중복도 2)}, \quad x = \sqrt{3}, \quad x = -\sqrt{3} $$

c) 그래프 스케치하기:
인수분해된 형태와 영점을 이용하여 부호 표를 작성합니다. $x=1$(짝수 중복도)에서는 그래프가 축에 접하고 꺾이며, $x=\pm\sqrt{3}$(홀수 중복도)에서는 축을 가로지른다는 점에 유의하세요.

x절편, 부호 표, y절편 $(0, -3)$, 그리고 양의 최고차항 계수를 가진 짝수 차수이므로 양쪽 끝이 위로 향하는 양 끝 동작을 사용하여 그래프를 완성합니다:

유리수 영점 정리: $p(x)$가 정수 계수를 가진 다항식일 때, 기약분수 형태의 유리수 영점 $\dfrac{m}{n}$은 $m$이 상수항의 약수이고 $n$이 최고차항 계수의 약수여야 합니다.

상수항 = $2$. 2의 약수: $\pm 1, \pm 2$.
최고차항 계수 = $6$. 6의 약수: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

가능한 유리수 영점 ($\dfrac{2\text{의 약수}}{6\text{의 약수}}$):

$$ \pm 1, \pm \dfrac{1}{2}, \pm \dfrac{1}{3}, \pm \dfrac{1}{6}, \pm 2, \pm \dfrac{2}{3} $$

가능한 영점의 개수가 많으므로, 다항식을 그리고 $x$절편의 위치로부터 영점을 추정합니다. 위의 그래프에서 영점은 $-\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{2}$, $2$에 가까운 것으로 보입니다.

검증하기 위해 $p\left(-\dfrac{1}{3}\right)$, $p\left(\dfrac{1}{2}\right)$, $p(2)$를 계산합니다:

$$ p\left(-\dfrac{1}{3}\right) = 6\left(-\dfrac{1}{3}\right)^3 - 13\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2 + \left(-\dfrac{1}{3}\right) + 2 = 0 $$ $$ p\left(\dfrac{1}{2}\right) = 6\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 - 13\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right) + 2 = 0 $$ $$ p(2) = 6(2)^3 - 13(2)^2 + (2) + 2 = 0 $$

최종 영점: 세 가지 추정치가 모두 검증되었습니다. 영점은 정확히 다음과 같습니다:
$$ x = -\dfrac{1}{3}, \quad x = \dfrac{1}{2}, \quad x = 2 $$

1. 치환하여 간소화하기:
이것은 "이차식 형태"의 다항식입니다. $u = x^2$이라고 하면 방정식은 다음과 같이 됩니다:

$$ u^2 - 5u - 36 = 0 $$

2. 이차식 인수분해하기:
곱해서 $-36$이 되고 더해서 $-5$가 되는 두 숫자가 필요합니다. 그것들은 $-9$와 $4$입니다.

$$ (u - 9)(u + 4) = 0 $$

3. $x$로 다시 대입하기:
$u$를 $x^2$으로 대체하여 $x$의 근을 찾습니다:

$$ x^2 - 9 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3 $$ $$ x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4 \implies x = \pm 2i $$

최종 영점:
이 다항식은 두 개의 실수 영점과 두 개의 복소수 영점을 가집니다: $\mathbf{x = 3, -3, 2i, -2i}$.

1. 켤레근 정리:
다항식이 실수 계수를 가지므로 복소수 근은 켤레 쌍으로 나타나야 합니다. 따라서 $x = 1 - i$가 영점이면 $x = 1 + i$도 영점이어야 합니다.

2. 인수분해된 형태 구성하기:
세 영점은 $2, 1-i, 1+i$입니다. 인수는 $(x - 2)$, $(x - (1-i))$, $(x - (1+i))$입니다. 일반적인 방정식은 다음과 같습니다:

$$ P(x) = a(x - 2)(x - (1-i))(x - (1+i)) $$

3. 복소수 인수 전개하기:
합차 공식을 사용하기 위해 복소수 부분을 그룹화합니다:

$$ ((x - 1) + i)((x - 1) - i) = (x - 1)^2 - i^2 $$ $$ = (x^2 - 2x + 1) - (-1) = x^2 - 2x + 2 $$

따라서 다항식은 $P(x) = a(x - 2)(x^2 - 2x + 2)$입니다.

4. y절편을 사용하여 'a' 구하기:
$P(0) = -4$가 주어져 있습니다. $x=0$을 대입합니다:

$$ -4 = a(0 - 2)(0^2 - 2(0) + 2) $$ $$ -4 = a(-2)(2) \implies -4 = -4a \implies a = 1 $$

5. 표준형으로 전개하기:
$$ P(x) = 1(x - 2)(x^2 - 2x + 2) $$ $$ = x(x^2 - 2x + 2) - 2(x^2 - 2x + 2) $$ $$ = x^3 - 2x^2 + 2x - 2x^2 + 4x - 4 $$ $$ \mathbf{P(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 4} $$

1. 가능한 유리수 근 식별하기:
상수항의 약수 (6): $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
최고차항 계수의 약수 (2): $\pm 1, \pm 2$.
가능한 근: $\pm 1, \pm \dfrac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \dfrac{3}{2}, \pm 6$.

2. 인수 정리를 사용하여 근 테스트하기:
$p(x) = 2x^3 - x^2 - 7x + 6$이라 하고 $x=1$을 테스트합니다:

$$ p(1) = 2(1)^3 - (1)^2 - 7(1) + 6 = 2 - 1 - 7 + 6 = 0 $$

$p(1) = 0$이므로 $x = 1$은 근이고 $(x - 1)$은 인수입니다.

3. 조립제법을 사용하여 $(x - 1)$로 나누기:

  1 |   2   -1   -7    6
    |        2    1   -6
    ---------------------
        2    1   -6    0
                        

몫은 이차식 $2x^2 + x - 6$입니다.

4. 남은 이차식 인수분해하기:
$2x^2 + x - 6 = 0$을 인수분해해야 합니다. 곱해서 $(2)(-6) = -12$가 되고 더해서 $1$이 되는 두 숫자를 찾습니다. 그 숫자는 $4$와 $-3$입니다.

$$ 2x^2 + 4x - 3x - 6 = 0 $$ $$ 2x(x + 2) - 3(x + 2) = 0 $$ $$ (2x - 3)(x + 2) = 0 $$

이를 통해 근 $x = \dfrac{3}{2}$와 $x = -2$를 얻습니다.

최종 영점:
$$ \mathbf{x = 1, \quad x = \dfrac{3}{2}, \quad x = -2} $$