문제: 로그방정식 풀기
문제 1: $\log(2x - 3) = \log(3 - x) - 2$ 풀기
1단계: 정의역 결정하기.
로그의 진수는 양수여야 합니다:
$2x - 3 > 0 \Rightarrow x > 1.5$
$3 - x > 0 \Rightarrow x < 3$
따라서 이 방정식의 정의역은 $1.5 < x < 3$입니다.
2단계: 로그 항들을 한쪽 변으로 모아서 방정식을 다시 씁니다:
$$ \log(2x - 3) - \log(3 - x) = -2 $$
3단계: $-2$를 $\log 10^{-2}$로 바꿔서 다시 씁니다:
$$ \log(2x - 3) - \log(3 - x) = \log 10^{-2} $$
4단계: 몫의 법칙 $\log A - \log B = \log\left(\dfrac{A}{B}\right)$을 사용합니다:
$$ \log\left( \dfrac{2x - 3}{3 - x}\right) = \log 10^{-2} $$
5단계: $\log(x)$ 함수는 일대일 함수이므로 다음과 같이 유도됩니다:
$$ \dfrac{2x - 3}{3 - x} = 10^{-2} = \dfrac{1}{100} $$
6단계: $x$에 대해 풉니다:
$$ 100(2x - 3) = 3 - x $$
$$ 200x - 300 = 3 - x $$
$$ 201x = 303 \Rightarrow x = \dfrac{303}{201} = \dfrac{101}{67} $$
7단계: 정의역과 비교하여 검증하기.
$\dfrac{101}{67} \approx 1.507$입니다. $1.507$은 $1.5$와 $3$ 사이에 있으므로 이 해는 유효합니다.
최종 정답: $x = \dfrac{101}{67}$
문제 2: $\log x - \log(x^2 - 1) = -2 \log(x - 1)$ 풀기
1단계: 정의역 결정하기.
$x > 0$
$x^2 - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$ 또는 $x < -1$
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
이 조건들의 교집합은 $x > 1$입니다. 정의역은 $(1, \infty)$입니다.
2단계: 로그 법칙을 사용하여 양변을 다시 씁니다(좌변은 몫의 법칙, 우변은 거듭제곱 법칙):
$$ \log \left( \dfrac{x}{x^2 - 1}\right) = \log \left((x - 1)^{-2}\right) $$
3단계: 로그를 제거합니다(일대일 성질):
$$ \dfrac{x}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{1}{(x - 1)^2} $$
4단계: $x > 1$이므로 $x - 1 \neq 0$입니다. 분모를 없애기 위해 양변에 $(x - 1)^2(x + 1)$을 곱합니다:
$$ x(x - 1) = x + 1 $$
5단계: 이차방정식을 풉니다:
$$ x^2 - x = x + 1 \Rightarrow x^2 - 2x - 1 = 0 $$
해: $x_1 = 1 + \sqrt{2} \approx 2.41$ 및 $x_2 = 1 - \sqrt{2} \approx -0.41$
6단계: 정의역과 비교하여 검증하기.
$x_2 = 1 - \sqrt{2}$는 $1$보다 크지 않으므로 기각됩니다(무연근).
최종 정답: $x = 1 + \sqrt{2}$
문제 3: $\log_2(2x - 9) = 2 - \log_2(x - 1)$ 풀기
1단계: 정의역 결정하기.
$2x - 9 > 0 \Rightarrow x > 4.5$
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
교집합은 $x > 4.5$입니다. 정의역은 $(4.5, \infty)$입니다.
2단계: 로그를 한쪽으로 모으고 $2$를 $\log_2 4$로 바꿔 씁니다:
$$ \log_2(2x - 9) + \log_2(x - 1) = \log_2 4 $$
3단계: 곱의 법칙을 적용합니다:
$$ \log_2\left( (2x - 9)(x - 1) \right) = \log_2 4 $$
4단계: 진수를 서로 같게 놓고 전개합니다:
$$ (2x - 9)(x - 1) = 4 $$
$$ 2x^2 - 11x + 9 = 4 \Rightarrow 2x^2 - 11x + 5 = 0 $$
5단계: 인수분해하여 이차방정식을 풉니다:
$$ (2x - 1)(x - 5) = 0 $$
해: $x = \dfrac{1}{2}$ 및 $x = 5$.
6단계: 정의역과 비교하여 검증하기.
$x = \dfrac{1}{2}$는 $4.5$보다 작으므로 무연근입니다. 오직 $x = 5$만이 정의역에 포함됩니다.
최종 정답: $x = 5$
문제 4: $2 \ln(x + 3) - \ln(x + 1) = 3 \ln 2$ 풀기
1단계: 정의역 결정하기.
$x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$
$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$
교집합은 $x > -1$입니다. 정의역은 $(-1, \infty)$입니다.
2단계: 양변에 거듭제곱 법칙을 사용합니다:
$$ \ln(x + 3)^2 - \ln(x + 1) = \ln(2^3) $$
3단계: 몫의 법칙을 사용합니다:
$$ \ln \left( \dfrac{(x + 3)^2}{x + 1} \right) = \ln 8 $$
4단계: 자연로그를 제거하고 풉니다:
$$ \dfrac{(x + 3)^2}{x + 1} = 8 \Rightarrow (x + 3)^2 = 8(x + 1) $$
$$ x^2 + 6x + 9 = 8x + 8 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 $$
5단계: 이차식을 인수분해합니다:
$$ (x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1 $$
6단계: 정의역과 비교하여 검증하기.
$x = 1$은 $-1$보다 크므로 이 해는 유효합니다.
최종 정답: $x = 1$
문제 5: $\left( \log_2(x) \right)^2 - \log_2(x^2) = 8$ 풀기
1단계: 정의역 결정하기.
$\log_2(x)$에서 $x > 0$입니다.
$\log_2(x^2)$에서 $x^2 > 0 \Rightarrow x \neq 0$입니다.
교집합은 $x > 0$입니다. 정의역은 $(0, \infty)$입니다.
2단계: 거듭제곱 법칙을 사용하여 두 번째 항을 단순화합니다:
$$ (\log_2(x))^2 - 2 \log_2(x) = 8 $$
3단계: 치환을 사용합니다. $u = \log_2(x)$로 놓습니다:
$$ u^2 - 2u - 8 = 0 $$
4단계: 인수분해하여 $u$를 풉니다:
$$ (u - 4)(u + 2) = 0 \Rightarrow u = 4 \text{ 또는 } u = -2 $$
5단계: 원래대로 다시 대입하여 $x$를 풉니다:
$$ \log_2(x) = 4 \Rightarrow x = 2^4 = 16 $$
$$ \log_2(x) = -2 \Rightarrow x = 2^{-2} = \dfrac{1}{4} $$
6단계: 정의역과 비교하여 검증하기.
$16$과 $\dfrac{1}{4}$ 모두 $0$보다 큽니다.
최종 정답: $x = 16$ 및 $x = \dfrac{1}{4}$
문제 6: $10 \log(\log(x)) = 1$ 풀기
1단계: 정의역 결정하기.
내부 로그의 경우: $x > 0$.
외부 로그의 경우: $\log(x) > 0 \Rightarrow x > 1$.
교집합은 $x > 1$입니다. 정의역은 $(1, \infty)$입니다.
2단계: 양변을 $10$으로 나눕니다:
$$ \log(\log(x)) = 0.1 $$
3단계: 외부 로그를 지수 형태로 변환합니다(밑이 10):
$$ \log(x) = 10^{0.1} $$
4단계: 내부 로그를 지수 형태로 변환합니다:
$$ x = 10^{\left(10^{0.1}\right)} \approx 10^{1.2589} \approx 18.15 $$
5단계: 정의역과 비교하여 검증하기.
$18.15 > 1$이므로 이 해는 유효합니다.
최종 정답: $x = 10^{\left(10^{0.1}\right)}$
추가 연습을 위한 도전 문제
이 고급 로그 및 지수 문제를 통해 실력을 시험해 보세요(정의역을 확인하는 것을 잊지 마세요!):
- 도전 문제 1: $x$ 구하기: $$ \log_3(x) + \log_3(x-2) = 1 $$
- 도전 문제 2: $x$ 구하기 (정확한 자연로그 형태 유지): $$ 2^x = 5^{x-1} $$
- 도전 문제 3: $x$ 구하기: $$ \log(x^2) = (\log x)^2 $$
최종 정답 확인하기
- 정답 1: $x = 3$. (정의역이 $x > 2$이므로 대수적 해 $x = -1$은 기각됩니다).
- 정답 2: $x = \dfrac{\ln 5}{\ln 5 - \ln 2}$
- 정답 3: $x = 1$ 및 $x = 100$. (정의역은 $x > 0$입니다).