문제: 역함수 풀기
문제 1: $f(x) = 2x^3 - 1$의 그래프를 그리고 역함수 찾기
아래는 $f(x) = 2 x^3 - 1$의 그래프입니다.
1) 동일한 축 시스템에 $f$의 역함수 그래프를 스케치하세요.
2) $f$의 역함수를 찾고 몇 개의 점을 사용하여 답을 검증하세요.
1) 그래프적 풀이: $f$의 그래프에서 좌표 $(a, b)$를 쉽게 결정할 수 있는 점들을 찾습니다:
$$ (1 , 1), \quad (0 , -1), \quad (-1 , -3) $$
역함수의 그래프에서 이 점들은 좌표가 서로 바뀝니다 $(b, a)$:
$$ (1 , 1), \quad (-1 , 0), \quad (-3 , -1) $$
두 그래프가 $y = x$에 대해 대칭이 되도록 점들을 플롯하고 $f$의 역함수 그래프를 스케치합니다.
2) 대수적 풀이: 함수를 두 변수의 방정식으로 씁니다:
$$ y = 2x^3 - 1 $$
$x$에 대해 풉니다:
$$ 2x^3 = y + 1 $$
$$ x^3 = \dfrac{y + 1}{2} $$
$$ x = \sqrt[3]{\dfrac{y + 1}{2}} $$
$x$와 $y$를 서로 바꾸어 역함수를 작성합니다:
$$ f^{-1} (x) = \sqrt[3]{\dfrac{x + 1}{2}} $$
검증: 점 $(-1, 0)$과 $(-3, -1)$이 $f^{-1}$ 위에 있는지 확인합니다:
$$ f^{-1} (-1) = \sqrt[3]{\dfrac{-1 + 1}{2}} = 0 $$
$$ f^{-1} (-3) = \sqrt[3]{\dfrac{-3 + 1}{2}} = -1 $$
두 점 모두 완벽하게 성립합니다.
문제 2: $f(x) = x^2 - 4x + 5, \quad x \leq 2$의 역함수, 정의역, 치역 구하기
1단계: 정의역과 치역 매핑 결정하기.
도메인이 제한된 이차함수 $x \leq 2$가 주어졌습니다. 완전제곱식을 만들어 꼭짓점 형태로 씁니다:
$$ f(x) = (x - 2)^2 + 1, \quad x \leq 2 $$
꼭짓점은 $(2, 1)$이며 포물선은 위로 열려 있습니다. 정의역이 왼쪽 절반($x \leq 2$)으로 제한되므로 $f$의 치역은 $y \geq 1$입니다.
따라서 $f^{-1}$에 대해:
$f^{-1}$의 정의역: $[1, \infty)$
$f^{-1}$의 치역: $(-\infty, 2]$
2단계: 방정식으로 쓰고 $x$에 대해 풀기.
$$ y = (x - 2)^2 + 1 $$
$$ (x - 2)^2 = y - 1 $$
제곱근을 취하면 두 가지 해가 나옵니다:
$$ x - 2 = \pm \sqrt{y - 1} $$
$$ x = 2 + \sqrt{y - 1} \quad \text{또는} \quad x = 2 - \sqrt{y - 1} $$
3단계: 치역 제약 조건을 사용하여 올바른 가지 선택하기.
역함수의 치역은 (원래의 정의역으로부터) $x \leq 2$여야 하므로, 음수 제곱근 가지를 선택해야 합니다:
$$ x = 2 - \sqrt{y - 1} $$
4단계: $x$와 $y$ 서로 바꾸기.
$$ f^{-1}(x) = 2 - \sqrt{x - 1} $$
최종 정답: 정의역이 $[1, \infty)$이고 치역이 $(-\infty, 2]$인 $f^{-1}(x) = 2 - \sqrt{x - 1}$입니다.
문제 3: $f(x) = \sqrt{2x - 3}$의 그래프를 그리고 역함수 찾기
1) 그래프적 풀이: $f(x)$ 그래프 위의 몇 개의 점을 찾습니다. 가능한 좌표 목록 $(a, b)$는 다음과 같습니다:
$$ (1.5, 0), \quad (2, 1), \quad (6, 3) $$
역함수 그래프를 위해 좌표를 $(b, a)$로 바꿉니다:
$$ (0, 1.5), \quad (1, 2), \quad (3, 6) $$
$y = x$에 대해 대칭인 $f^{-1}$을 스케치하기 위해 이 점들을 플롯합니다.
2) 대수적 풀이:
정의역/치역 설정: 그래프(또는 대수적으로 $2x-3 \geq 0$)로부터 $f$의 정의역은 $x \geq 1.5$이고 치역은 $y \geq 0$입니다. 따라서 $f^{-1}$의 정의역은 $x \geq 0$이 됩니다.
방정식으로 씁니다:
$$ y = \sqrt{2x - 3} $$
양변을 제곱하고 $x$에 대해 풉니다:
$$ y^2 = 2x - 3 $$
$$ 2x = y^2 + 3 $$
$$ x = \dfrac{y^2 + 3}{2} $$
$x$와 $y$를 바꾸고 정의역 제약을 적용합니다:
$$ f^{-1}(x) = \dfrac{x^2 + 3}{2}, \quad x \geq 0 $$
문제 4: 조각별(piecewise) 역함수 스케치하고 방정식 구하기
주어진 $y = f(x)$ 그래프를 사용하여 $f^{-1}$의 그래프를 스케치하고 대수적으로 방정식을 결정하세요.
1) 그래프적 풀이: 조각별 함수 $f(x)$에서 핵심 꼭짓점을 추출합니다:
$$ (0 , 3) , \quad (2 , -1) , \quad (5 , -3) $$
$f^{-1}(x)$의 꼭짓점을 찾기 위해 좌표를 바꿉니다:
$$ (3 , 0) , \quad (-1 , 2) , \quad (-3 , 5) $$
2) 대수적으로 $f^{-1}(x)$ 결정하기: 역함수 그래프에 대한 두 개의 선형 구간의 방정식을 찾아야 합니다.
구간 1: $x$ 값이 $-3$과 $-1$ 사이. $(-3, 5)$와 $(-1, 2)$를 지난다.
기울기 $m_1$:
$$ m_1 = \dfrac{5 - 2}{-3 - (-1)} = \dfrac{3}{-2} = -\dfrac{3}{2} $$
방정식 ($(-1, 2)$를 이용한 점기울기 형태):
$$ y - 2 = -\dfrac{3}{2}(x - (-1)) \Rightarrow y = -\dfrac{3}{2}(x + 1) + 2 $$
구간 2: $x$ 값이 $-1$과 $3$ 사이. $(-1, 2)$와 $(3, 0)$을 지난다.
기울기 $m_2$:
$$ m_2 = \dfrac{0 - 2}{3 - (-1)} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2} $$
방정식 ($(3, 0)$을 이용한 점기울기 형태):
$$ y - 0 = -\dfrac{1}{2}(x - 3) \Rightarrow y = -\dfrac{1}{2}(x - 3) $$
(참고: 이는 $-\dfrac{1}{2}(x+1)+2$와 대수적으로 동일합니다.)
결론 (조각별 역함수):
$$ f^{-1}(x) = \begin{cases} -\dfrac{3}{2}(x + 1) + 2 & -3 \leq x \leq -1 \\ -\dfrac{1}{2}(x - 3) & -1 < x \leq 3 \end{cases} $$
문제 5: 유리무리 함수(rational root function)의 역함수 $f(x) = - \sqrt{\dfrac{2}{x}-1}$
1단계: 정의역과 치역 결정하기.
$f(x)$는 근호 안의 식이 $\geq 0$이고 분모가 $\neq 0$일 때 정의됩니다:
$$ \dfrac{2}{x} - 1 \geq 0 \Rightarrow \dfrac{2 - x}{x} \geq 0 $$
임계값 $x=0$과 $x=2$에서의 부호를 분석하면 정의역이 나옵니다:
$f$의 정의역: $(0, 2]$
제곱근이 양수(또는 0)를 산출하고 음수 부호가 곱해지므로 치역은 모든 0 이하의 실수입니다.
$f$의 치역: $(-\infty, 0]$
따라서 역함수에 대해:
$f^{-1}$의 정의역: $(-\infty, 0]$
$f^{-1}$의 치역: $(0, 2]$
2단계: 그래프 스케치하기.
$f$ 위의 점: $(2 , 0)$ 및 $(1 , -1)$.
$f^{-1}$ 위의 점: $(0 , 2)$ 및 $(-1 , 1)$.
3단계: 대수적으로 $f^{-1}(x)$ 구하기.
$$ y = -\sqrt{\dfrac{2}{x} - 1} $$
양변을 제곱합니다(무연근을 피하기 위해 정의역을 추적해야 함):
$$ y^2 = \dfrac{2}{x} - 1 $$
$$ \dfrac{2}{x} = y^2 + 1 $$
$$ x = \dfrac{2}{y^2 + 1} $$
$x$와 $y$를 바꾸고 요구되는 정의역 제약을 작성합니다:
$$ f^{-1}(x) = \dfrac{2}{x^2 + 1}, \quad x \leq 0 $$
문제 6: 그래프 매핑 연습
아래는 6개의 함수 그래프입니다. 각 함수의 역함수 그래프를 스케치하세요.
풀이: 각 그래프에 대해 좌표를 쉽게 결정할 수 있는 점들을 선택합니다. 이 점들과 직선 $y = x$에 대한 대칭 원리를 사용하여 역함수를 스케치합니다.
문제 7: 로그함수의 역함수 $f(x) = \log_4(x + 2) - 5$
1단계: 정의역과 치역 결정하기.
로그가 정의되려면 진수가 양수여야 합니다: $x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$.
로그는 모든 실수를 결과로 가지므로 치역은 제한이 없습니다.
$f$의 정의역: $(-2, \infty)$
$f$의 치역: $(-\infty, \infty)$
따라서 역함수에 대해:
$f^{-1}$의 정의역: $(-\infty, \infty)$
$f^{-1}$의 치역: $(-2, \infty)$
2단계: 대수적으로 풀기.
$$ y = \log_4(x + 2) - 5 $$
$$ \log_4(x + 2) = y + 5 $$
지수 형태로 변환합니다:
$$ x + 2 = 4^{(y + 5)} $$
$$ x = 4^{(y + 5)} - 2 $$
3단계: $x$와 $y$ 서로 바꾸기.
$$ f^{-1}(x) = 4^{(x + 5)} - 2 $$
문제 8: 전체 역함수를 구하지 않고 특정 좌표 $f^{-1}(-4)$ 구하기
만약 $f(x) = \ln(x) + 4x - 8$일 때, $f^{-1}(-4)$의 값은 얼마인가요?
풀이: 전체 역함수 방정식을 찾을 필요가 없습니다. $a = f^{-1}(-4)$라고 합시다. 역함수의 합성 성질 $f(f^{-1}(x)) = x$를 사용하면 다음을 알 수 있습니다:
$$ f(a) = f(f^{-1}(-4)) = -4 $$
$f(a) = -4$가 되는 $a$를 찾아야 합니다:
$$ \ln(a) + 4a - 8 = -4 $$
$$ \ln(a) = 4 - 4a $$
이 초월방정식은 순수하게 대수적으로 풀 수 없지만, $y = \ln(x)$와 $y = 4 - 4x$의 교점의 $x$ 좌표로 그래프를 통해 근사할 수 있습니다.
교점은 정확히 $a = 1$에 위치합니다. 이를 대수적으로 검증할 수 있습니다:
$$ \ln(1) = 4 - 4(1) \Rightarrow 0 = 0 $$
최종 정답:
$$ f^{-1}(-4) = 1 $$
추가 연습을 위한 도전 문제
이 고급 역함수 문제로 실력을 시험해 보세요. 정의역과 치역에 특별히 주의하세요!
- 도전 문제 1 (유리함수): $f(x) = \dfrac{3x+2}{x-1}$의 역함수를 구하세요.
- 도전 문제 2 (지수함수): $f(x) = e^{2x-1} + 3$의 역함수를 구하세요. $f^{-1}(x)$의 정의역을 명시하세요.
- 도전 문제 3 (제한된 이차함수): $x \geq -3$일 때 $f(x) = x^2 + 6x$의 역함수를 구하세요.
최종 정답 확인하기
- 정답 1: $f^{-1}(x) = \dfrac{x+2}{x-3}$.
- 정답 2: $f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2}(\ln(x-3) + 1)$. 정의역은 엄격하게 $x > 3$입니다.
- 정답 3: $f^{-1}(x) = \sqrt{x+9} - 3$. 정의역은 $x \geq -9$입니다.