문제 및 단계별 풀이
문제 1: $\left( \dfrac{1}{2} \right)^{2x + 1} = 1$ 풀기
1단계: 양변의 밑이 같아지도록 방정식을 다시 씁니다. 0이 아닌 모든 수의 0제곱은 $1$이라는 것을 알고 있습니다:
$$ \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2x + 1} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^0 $$
2단계: 지수를 서로 같게 놓습니다:
$$ 2x + 1 = 0 $$
3단계: $x$에 대해 풉니다:
$$ 2x = -1 \Rightarrow x = -\dfrac{1}{2} $$
최종 정답: $x = -\dfrac{1}{2}$
문제 2: $x y^m = y x^3$에서 $m$에 대해 풀기
1단계: 주어진 방정식의 모든 항을 $x y$로 나눕니다($x \neq 0$ 및 $y \neq 0$ 가정):
$$ \dfrac{x y^m}{x y} = \dfrac{y x^3}{x y} $$
2단계: 몫의 법칙을 사용하여 지수를 간단히 합니다:
$$ y^{m - 1} = x^2 $$
3단계: $m$이 포함된 지수를 격리하기 위해 양변에 자연로그($\ln$)를 취합니다:
$$ \ln(y^{m - 1}) = \ln(x^2) $$
4단계: 로그의 거듭제곱 법칙($ \ln(A^n) = n \ln A $)을 적용합니다:
$$ (m - 1) \ln y = 2 \ln x $$
5단계: $m$에 대해 풉니다($\ln y \neq 0$, 즉 $y \neq 1$ 가정):
$$ m - 1 = \dfrac{2 \ln x}{\ln y} $$
$$ m = 1 + \dfrac{2 \ln x}{\ln y} $$
문제 3: $\log_8(5) = b$가 주어졌을 때, $\log_4(10)$을 $b$로 나타내기
1단계: 로그의 곱의 법칙을 사용하여 $\log_4(10)$을 분해합니다:
$$ \log_4(10) = \log_4(2 \cdot 5) = \log_4(2) + \log_4(5) $$
2단계: 첫 번째 항을 간단히 합니다:
$$ \log_4(2) = \log_4(4^{1/2}) = \dfrac{1}{2} $$
3단계: 주어진 밑인 8과 연결하기 위해 두 번째 항에 밑변환 공식을 적용합니다:
$$ \log_4(5) = \dfrac{\log_8(5)}{\log_8(4)} $$
4단계: 알려진 값 $b$를 대입하고 $\log_8(4)$를 간단히 합니다:
$\log_8(4) = \dfrac{2}{3}$임을 알고 있습니다($8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 4$이므로).
$$ \log_4(5) = \dfrac{b}{2/3} = \dfrac{3b}{2} $$
5단계: 부분을 결합합니다:
$$ \log_4(10) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3b}{2} = \dfrac{1 + 3b}{2} $$
문제 4: 계산기 없이 간단히 하기: $\log_{6}(216) + \dfrac{\log(42) - \log(6)}{\log(49)}$
1단계: $216 = 6^3$임을 인지하여 첫 번째 항을 간단히 합니다:
$$ \log_6(216) = \log_6(6^3) = 3 $$
2단계: 로그의 몫의 법칙을 사용하여 분수의 분자를 간단히 합니다:
$$ \log(42) - \log(6) = \log\left(\dfrac{42}{6}\right) = \log(7) $$
3단계: 거듭제곱을 사용하여 분모를 다시 씁니다:
$$ \log(49) = \log(7^2) = 2 \log(7) $$
4단계: 모든 것을 원래 식에 결합합니다:
$$ 3 + \dfrac{\log(7)}{2 \log(7)} $$
5단계: $\log(7)$을 소거하고 최종 결과를 계산합니다:
$$ 3 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2} = 3.5 $$
문제 5: 계산기 없이 간단히 하기: $\left( \dfrac{3^{-1} - 9^{-1}}{6} \right)^{1/3}$
1단계: 괄호 안의 음의 지수를 분수로 변환합니다:
$$ \left( \dfrac{\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{9}}{6} \right)^{1/3} $$
2단계: 분자의 분수를 빼기 위해 공통분모를 찾습니다:
$$ \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{3}{9} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{2}{9} $$
3단계: 다시 대입하고 범분수를 간단히 합니다:
$$ \left( \dfrac{\dfrac{2}{9}}{6} \right)^{1/3} = \left( \dfrac{2}{9 \cdot 6} \right)^{1/3} = \left( \dfrac{2}{54} \right)^{1/3} $$
4단계: 분수를 약분하고 세제곱근($1/3$ 거듭제곱)을 적용합니다:
$$ \left( \dfrac{1}{27} \right)^{1/3} = \left( \dfrac{1}{3^3} \right)^{1/3} = \dfrac{1}{3} $$
문제 6: $(\log_{x} a)(\log_{a} b)$를 하나의 로그로 나타내기
1단계: 두 번째 항에 밑변환 공식을 사용하여 밑이 $x$가 되도록 작성합니다:
$$ \log_a b = \dfrac{\log_x b}{\log_x a} $$
2단계: 이를 원래 식에 다시 대입합니다:
$$ (\log_x a) \left( \dfrac{\log_x b}{\log_x a} \right) $$
3단계: 공통인 $\log_x a$ 항을 소거합니다($a \neq 1, x \neq 1$ 가정):
$$ \log_x b $$
문제 7: $y = \log_{a} x$가 점 $(e, 2)$를 지나도록 하는 $a$ 구하기
1단계: 좌표 $(x=e, y=2)$를 방정식에 대입합니다:
$$ 2 = \log_a e $$
2단계: 로그방정식을 지수 형태로 다시 씁니다:
$$ a^2 = e $$
3단계: $a$를 격리합니다. 양변에 제곱근을 취합니다(로그의 밑은 양수여야 하므로 양의 근만 유지합니다):
$$ a = e^{1/2} = \sqrt{e} $$
문제 8: 모든 $x > 0$에 대해 $\log_{3} x = A \log_{5} x$가 성립하도록 하는 상수 $A$ 구하기
1단계: 방정식을 다시 쓰기 위해 밑변환 공식(둘 다 자연로그로 변환)을 사용합니다:
$$ \dfrac{\ln x}{\ln 3} = A \dfrac{\ln x}{\ln 5} $$
2단계: $x > 0$이고 일반적인 항등식을 풀기 위해 $x \neq 1$이라고 가정하므로 $\ln x \neq 0$입니다. 양변을 $\ln x$로 나눕니다:
$$ \dfrac{1}{\ln 3} = \dfrac{A}{\ln 5} $$
3단계: $A$를 구하기 위해 양변에 $\ln 5$를 곱합니다:
$$ A = \dfrac{\ln 5}{\ln 3} $$
문제 9: $\log(\log(2 + \log_2(x + 1))) = 0$ 풀기
1단계: 가장 바깥쪽 로그(밑이 10)부터 시작하여 지수 형태로 다시 씁니다:
$$ \log(2 + \log_2(x + 1)) = 10^0 = 1 $$
2단계: 다음으로 바깥쪽인 로그(밑이 10)에 대해 다시 수행합니다:
$$ 2 + \log_2(x + 1) = 10^1 = 10 $$
3단계: 남은 로그 항을 격리합니다:
$$ \log_2(x + 1) = 10 - 2 = 8 $$
4단계: 지수 형태(밑이 2)로 다시 씁니다:
$$ x + 1 = 2^8 $$
5단계: $x$에 대해 풉니다:
$$ x = 256 - 1 = 255 $$
검증: 255를 다시 대입하면 모든 로그의 진수가 양수가 되므로 이 해는 유효합니다.
문제 10: $2x \cdot b^{4 \log_b x} = 486$ 풀기
1단계: 지수 항을 간단히 하는 데 집중합니다. 거듭제곱의 거듭제곱 법칙을 역으로 사용합니다: $a^{bc} = (a^b)^c$.
$$ b^{4 \log_b x} = \left(b^{\log_b x}\right)^4 $$
2단계: 역함수 성질 $b^{\log_b x} = x$를 사용하여 간단히 합니다:
$$ \left(b^{\log_b x}\right)^4 = x^4 $$
3단계: 이를 원래 방정식에 다시 대입합니다:
$$ 2x \cdot x^4 = 486 $$
4단계: 간단히 하고 $x$에 대해 풉니다:
$$ 2x^5 = 486 $$
$$ x^5 = 243 $$
$$ x = 243^{1/5} = \sqrt[5]{243} = 3 $$
문제 11: $\ln(x - 1) + \ln(2x - 1) = 2 \ln(x + 1)$ 풀기
1단계: 정의역 결정하기.
로그의 모든 진수는 엄격하게 양수여야 합니다:
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
$2x - 1 > 0 \Rightarrow x > 0.5$
$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$
이 조건들의 교집합은 $x > 1$입니다. 따라서 정의역은 $(1, \infty)$입니다.
2단계: 로그의 거듭제곱 및 곱의 법칙을 사용하여 양변을 축약합니다:
$$ \ln((x - 1)(2x - 1)) = \ln((x + 1)^2) $$
3단계: 자연로그는 일대일 함수이므로 로그를 제거하고 진수를 서로 같게 놓습니다:
$$ (x - 1)(2x - 1) = (x + 1)^2 $$
4단계: 양변을 전개합니다:
$$ 2x^2 - 3x + 1 = x^2 + 2x + 1 $$
5단계: 항을 모으고 이차방정식을 풉니다:
$$ x^2 - 5x = 0 $$
$$ x(x - 5) = 0 $$
해: $x = 0$ 및 $x = 5$.
6단계: 정의역과 비교하여 검증하기.
$x = 0$은 1보다 크지 않으므로 음수 진수를 생성합니다(무연근). 오직 $x = 5$만이 정의역에 포함됩니다.
최종 정답: $x = 5$
문제 12: $y = 2 \log(\sqrt{x - 1} - 2)$의 $x$절편 구하기
1단계: 정의역 결정하기.
제곱근 내부: $x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$.
로그 내부: $\sqrt{x - 1} - 2 > 0 \Rightarrow \sqrt{x - 1} > 2 \Rightarrow x - 1 > 4 \Rightarrow x > 5$.
정의역은 $x > 5$입니다.
2단계: $x$절편은 $y = 0$일 때 발생합니다:
$$ 0 = 2 \log(\sqrt{x - 1} - 2) $$
3단계: 2로 나누고 지수 형태(밑이 10)로 다시 씁니다:
$$ \log(\sqrt{x - 1} - 2) = 0 $$
$$ \sqrt{x - 1} - 2 = 10^0 = 1 $$
4단계: 제곱근을 격리하고 $x$에 대해 풉니다:
$$ \sqrt{x - 1} = 3 $$
$$ x - 1 = 3^2 = 9 $$
$$ x = 10 $$
5단계: 검증하기.
$x = 10$은 5보다 엄격하게 크므로 정의역에 포함됩니다.
최종 정답: $x$절편은 $(10, 0)$에 있습니다.
문제 13: $9^x - 3^x - 8 = 0$ 풀기
1단계: 이것이 숨겨진 형태의 이차방정식임을 인지합니다. $9^x$를 밑이 3인 형태로 다시 씁니다:
$$ 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 $$
따라서 방정식은 다음과 같이 됩니다:
$$ (3^x)^2 - 3^x - 8 = 0 $$
2단계: $y = 3^x$로 놓고 방정식을 다시 씁니다:
$$ y^2 - y - 8 = 0 $$
3단계: 근의 공식($a=1, b=-1, c=-8$)을 사용하여 $y$를 풉니다:
$$ y = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)} $$
$$ y = \dfrac{1 \pm \sqrt{33}}{2} $$
4단계: $y = 3^x$를 다시 대입합니다. 지수함수 $3^x$는 항상 엄격하게 양수여야 하므로 음의 근 $\left(\dfrac{1 - \sqrt{33}}{2}\right)$은 기각해야 합니다.
$$ 3^x = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} $$
5단계: $x$를 구하기 위해 양변에 자연로그($\ln$)를 취합니다:
$$ \ln(3^x) = \ln\left( \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \right) $$
$$ x \ln(3) = \ln\left( \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \right) $$
$$ x = \dfrac{ \ln\left( \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \right) }{ \ln(3) } $$
문제 14: $4^{x - 2} = 3^{x + 4}$ 풀기
1단계: 양변에 자연로그($\ln$)를 취합니다:
$$ \ln\left(4^{x - 2}\right) = \ln\left(3^{x + 4}\right) $$
2단계: 거듭제곱 법칙을 사용하여 지수를 내립니다:
$$ (x - 2)\ln(4) = (x + 4)\ln(3) $$
3단계: 양변을 전개합니다:
$$ x \ln(4) - 2 \ln(4) = x \ln(3) + 4 \ln(3) $$
4단계: $x$를 포함하는 항은 한쪽으로, 상수는 다른쪽으로 모읍니다:
$$ x \ln(4) - x \ln(3) = 4 \ln(3) + 2 \ln(4) $$
5단계: $x$를 묶어내고 풉니다:
$$ x (\ln(4) - \ln(3)) = 4 \ln(3) + 2 \ln(4) $$
$$ x = \dfrac{4 \ln(3) + 2 \ln(4)}{\ln(4) - \ln(3)} $$
6단계 (선택 사항): 더 깔끔한 최종 답을 위해 로그를 축약합니다:
분자: $\ln(3^4) + \ln(4^2) = \ln(81) + \ln(16) = \ln(81 \cdot 16) = \ln(1296)$. 참고: $1296 = 6^4$이므로 이는 $4\ln(6)$입니다.
분모: $\ln\left(\dfrac{4}{3}\right)$.
$$ x = \dfrac{4 \ln(6)}{\ln\left(\dfrac{4}{3}\right)} $$
문제 15: $\log_{x}\left(\dfrac{1}{8}\right) = -\dfrac{3}{4}$일 때, $x$는 얼마인가요?
1단계: 로그방정식을 지수 형태로 다시 씁니다:
$$ x^{-3/4} = \dfrac{1}{8} $$
2단계: $x$를 격리하기 위해 방정식의 양변을 역수인 $-\dfrac{4}{3}$ 거듭제곱합니다:
$$ \left(x^{-3/4}\right)^{-4/3} = \left(\dfrac{1}{8}\right)^{-4/3} $$
$$ x^1 = \left(\dfrac{1}{8}\right)^{-4/3} $$
3단계: 우변을 간단히 합니다. 음의 지수는 분수를 뒤집습니다:
$$ x = 8^{4/3} $$
4단계: $8^{4/3}$을 계산합니다(세제곱근을 먼저 구한 뒤 4제곱):
$$ x = (\sqrt[3]{8})^4 = 2^4 = 16 $$
최종 정답: $x = 16$
추가 연습을 위한 도전 문제
이 고급 로그 및 지수 방정식으로 대수적 숙련도를 시험해 보세요:
- 도전 문제 1 (숨겨진 이차방정식): $x$에 대한 정확한 해 구하기: $$ e^{2x} - 5e^x + 6 = 0 $$
- 도전 문제 2 (정의역 확인): $x$ 구하기: $$ \log_2(x) + \log_2(x-3) = 2 $$
- 도전 문제 3 (로그 성질): 계산기 없이 식 값 구하기: $$ \log_3\left(27^{\sqrt{2}}\right) $$
최종 정답 확인하기
- 정답 1: $x = \ln(2)$ 및 $x = \ln(3)$.
- 정답 2: $x = 4$. (겉보기 해 $x = -1$은 정의역 $x > 3$을 벗어나므로 기각됩니다).
- 정답 3: $3\sqrt{2}$.