다항식 그래프 문제 및 풀이

아래 그래프가 다항식 함수 $$ p(x) = x^4-x^2+1 $$의 그래프가 될 수 없는 네 가지 다른 이유를 설명하세요.

---

풀이: 네 가지 이유는 다음과 같습니다:

1. 대칭성: 주어진 다항식 함수 $p(x) = x^4-x^2+1$은 짝수 차수만 포함하므로 우함수입니다. 따라서 그 그래프는 y축에 대해 대칭이어야 합니다. 주어진 그래프는 y축에 대해 대칭이 아닙니다.
2. 실수 근: 다항식 $p(x)$는 $u = x^2$로 치환하여 분석할 수 있습니다. $u^2 - u + 1$의 판별식은 $\Delta = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3$입니다. 판별식이 음수이므로 이 다항식은 실수 근이 없습니다. 그러나 주어진 그래프에는 분명히 x절편이 존재합니다.
3. y절편: y절편은 $p(0) = 0^4 - 0^2 + 1 = 1$을 계산하여 구하며, 이는 양수입니다. 주어진 그래프의 y절편은 명백히 음수입니다.
4. 양 끝 행동: 양수 최고차항 계수($a = 1$)와 짝수 차수($n = 4$)를 가지므로, 이 다항식은 좌우 양쪽 모두 올라가는($y \to \infty$) 그래프를 가져야 합니다. 주어진 그래프에서는 양쪽 모두 내려가고 있습니다.

모든 x절편이 표시된 그래프에 다항식 함수를 매칭하세요.

$$ f(x) = (x+1)(x-1)^2(x+2)^2 $$

$$ g(x) = -(x+1)(x-1)^4 $$

$$ h(x) = (x+1)(x-1)^3(x-3) $$

$$ i(x) = (x+1)^2(x-2)^3 $$

$$ j(x) = (x+1)^2(1-x)(x-2)^2 $$

$$ k(x) = -(x+1)^2(x-1)^2(x-3) $$

---

풀이:

방정식에 따르면, 주어진 6개의 다항식 함수 모두 (인수의 지수의 합인) 5차 함수입니다. 그러나 최고차항의 계수는 부호가 다릅니다. 다항식을 두 그룹으로 분류합니다:

그룹 I: 양수 최고차항 계수

다항식 $f$, $h$, $i$는 양수의 최고차항 계수를 가집니다.

$$ f(x) = (x + 1)(x - 1)^2(x + 2)^2 $$

$$ h(x) = (x + 1)(x - 1)^3(x - 3) $$

$$ i(x) = (x + 1)^2(x - 2)^3 $$

5차(홀수)이면서 최고차항 계수가 양수인 이 그래프들은 다음과 같은 양 끝 행동을 가집니다:
$x \to \infty$일 때, $y \to \infty$ (오른쪽이 올라감).
$x \to -\infty$일 때, $y \to -\infty$ (왼쪽이 내려감).

보기 a), c), e)의 그래프들이 이 양 끝 행동과 일치합니다. 근과 중복도를 사용하여 매칭합니다:

1. 다항식 $f(x)$는 $x = -1$에서 중복도 1인 영점(통과), $x = 1$에서 중복도 2인 영점(접함), $x = -2$에서 중복도 2인 영점(접함)을 가집니다. 이는 그래프 e)에 해당합니다.
2. 다항식 $h(x)$는 $x = -1$에서 중복도 1인 영점(통과), $x = 1$에서 중복도 3인 영점(통과하며 완만해짐), $x = 3$에서 중복도 1인 영점(통과)을 가집니다. 이는 그래프 a)에 해당합니다.
3. 다항식 $i(x)$는 $x = -1$에서 중복도 2인 영점(접함), $x = 2$에서 중복도 3인 영점(통과하며 완만해짐)을 가집니다. 이는 그래프 c)에 해당합니다.

그룹 II: 음수 최고차항 계수

다항식 $g$, $j$, $k$는 전개했을 때 음수의 최고차항 계수를 가집니다(참고: $j(x)$의 경우, $(1-x)$ 항이 음수 계수를 만듭니다).

$$ g(x) = - (x + 1)(x - 1)^4 $$

$$ j(x) = (x + 1)^2(1 - x)(x - 2)^2 $$

$$ k(x) = - (x + 1)^2(x - 1)^2(x - 3) $$

5차(홀수)이면서 최고차항 계수가 음수인 이 그래프들은 다음과 같은 양 끝 행동을 가집니다:
$x \to \infty$일 때, $y \to -\infty$ (오른쪽이 내려감).
$x \to -\infty$일 때, $y \to \infty$ (왼쪽이 올라감).

보기 b), d), f)의 그래프들이 이 행동과 일치합니다. 근을 사용하여 매칭합니다:

1. 다항식 $g(x)$는 $x = -1$에서 중복도 1인 영점(통과), $x = 1$에서 중복도 4인 영점(접함)을 가집니다. 이는 그래프 f)에 해당합니다.
2. 다항식 $j(x)$는 $x = -1$에서 중복도 2인 영점(접함), $x = 1$에서 중복도 1인 영점(통과), $x = 2$에서 중복도 2인 영점(접함)을 가집니다. 이는 그래프 d)에 해당합니다.
3. 다항식 $k(x)$는 $x = -1$에서 중복도 2인 영점(접함), $x = 1$에서 중복도 2인 영점(접함), $x = 3$에서 중복도 1인 영점(통과)을 가집니다. 이는 그래프 b)에 해당합니다.