크기가 다른 펌프를 이용한 일률 문제를 어떻게 푸나요?

각 펌프 유형별 일률(속도)을 정의합니다(예: 대형은 $R$, 소형은 $r$). 시간에 따른 결합된 일의 양을 기준으로 연립방정식을 세웁니다(일률 $\times$ 시간 = 일). 연립방정식을 풀어서 개별 일률을 구한 다음 필요한 조건에 적용합니다.

포물선에 내접하는 삼각형의 넓이는 어떻게 계산하나요?

꼭짓점의 좌표를 찾습니다. 꼭짓점 공식($h = -b/(2a)$)을 사용하여 최댓값(꼭짓점)을 찾고, 밑변을 구하기 위해 x절편을 찾습니다. 삼각형의 높이는 일반적으로 포물선 꼭짓점의 y좌표가 됩니다.

12학년 수학 마스터: 21가지 종합 문제 및 풀이

문제 1

대형 펌프 2개와 소형 펌프 1개로 수영장을 채우는 데 4시간이 걸립니다. 대형 펌프 1개와 소형 펌프 3개로도 같은 수영장을 채우는 데 4시간이 걸립니다. 대형 펌프 4개와 소형 펌프 4개로 수영장을 채우는 데 몇 시간이 걸릴까요? (모든 대형 펌프의 성능은 서로 같고, 소형 펌프의 성능도 서로 같다고 가정합니다.)

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풀이:

대형 펌프와 소형 펌프의 작업 속도를 각각 $R$과 $r$이라고 합시다.

$4(2R + r) = 1$: 대형 2개와 소형 1개가 4시간 동안 일하여 1개의 작업을 완료

$4(R + 3r) = 1$: 대형 1개와 소형 3개가 4시간 동안 일하여 1개의 작업을 완료

$T(4R + 4r) = 1$: 대형 4개와 소형 4개가 하나의 작업을 완료하는 데 걸리는 시간 $T$ 구하기

처음 두 방정식의 연립방정식을 풀어 $R$과 $r$을 구한 뒤, 세 번째 방정식에 대입하여 시간을 풉니다: $T = \dfrac{5}{3}$시간 = 1시간 40분.

문제 2

둘레가 60cm이고 넓이가 150제곱 cm인 직각삼각형의 모든 변의 길이를 구하세요.

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풀이:

$x + y + H = 60$: 둘레, $x$, $y$ 및 $H$는 직각삼각형의 두 변과 빗변

$\dfrac{1}{2}xy = 150$: 넓이

$x^2 + y^2 = H^2$: 피타고라스 정리

미지수 3개인 방정식 3개.

$(x + y)^2 - 2xy = H^2$: 세 번째 방정식에 완전제곱식 적용.

$x + y = 60 - H$: 첫 번째 방정식을 이용하여 $x + y$를 표현하고, 두 번째 방정식을 이용하여 $xy = 300$을 구한 뒤 5번 방정식에 대입.

$(60 - H)^2 - 600 = H^2$: 미지수 1개인 방정식.

$H$를 풀면 $H = 25$cm를 얻습니다. 대입하여 $x$와 $y$를 풀면 $x = 15$cm, $y = 20$cm를 얻습니다.

문제 3

중심이 (-3, -2)이고 점 (0, -6)과 (a, 0)을 지나는 원이 있습니다. a를 구하세요.

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풀이:

$\sqrt{((-6 + 2)^2 + (0 + 3)^2)} = \sqrt{((a + 3)^2 + (0 + 2)^2)}$: 중심에서 원 위의 임의의 점까지의 거리는 같음.

$25 = (a + 3)^2 + 4$: 양변을 정리하고 제곱

$(a + 3)^2 = 21$: 위 방정식을 다시 쓰기

$a$에 대해 풀기:

$a = -3 + \sqrt{21}$ 또는 $a = -3 - \sqrt{21}$

문제 4

다음 방정식으로 주어진 원에 대하여 점 (0, 2)에서의 접선 방정식을 구하세요:

$(x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 13$

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풀이:

(-2, -1): 원의 중심

$m = \dfrac{2 - (-1)}{0 - (-2)} = \dfrac{3}{2}$: 중심과 접점 (0, 2)를 잇는 직선의 기울기

중심과 접점 (0, 2)를 잇는 직선은 접선과 수직입니다.

$M = -\dfrac{2}{3}$: 접선의 기울기

$y = -\dfrac{2}{3}x + 2$: 기울기와 점 (0, 2)가 주어졌을 때의 접선 방정식.

문제 5

시험은 세 부분으로 구성됩니다. 파트 A에서는 학생이 3문제 중 2문제를 풀어야 하고, 파트 B에서는 8문제 중 6문제를 풀어야 하며, 파트 C에서는 모든 문제를 풀어야 합니다. 학생에게는 몇 가지 문제 선택권이 있을까요?

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풀이:

$_{3}C_{2} \times _{8}C_{6} \times 1 = 84$: 경우의 수의 기본 정리 활용

문제 6

방정식 \[ x^2 - 3|x - 2| - 4x = - 6 \]의 x를 구하세요.

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풀이:

$ x^2 - 3|x - 2| - 4x = - 6 $ : 주어진 식

$ Y = x - 2 $로 놓으면 $ x = Y + 2 $가 됨

$ (Y + 2)^2 - 3|Y| - 4(Y + 2) = - 6 $ : 주어진 방정식에서 $ x $를 $ Y + 2 $로 치환

$ Y^2 - 3|Y| + 2 = 0 $

$ Y^2 = |Y|^2 $ : 참고

$ |Y|^2 - 3|Y| + 2 = 0 $: 방정식을 다음과 같이 다시 씀

$ (|Y| - 2)(|Y| - 1) = 0 $: 인수분해

$ |Y| = 2 , |Y| = 1 $ : $ |Y| $에 대해 풀기

$ Y = 2, -2 , 1 , -1 $ : $ Y $에 대해 풀기

$ x = 4 , 0 , 3 , 1 $ : $ x = Y + 2 $를 이용하여 $ x $에 대해 풀기

문제 7

아래에 표시된 직각삼각형 ABC는 포물선에 내접해 있습니다. 점 B는 포물선의 최댓값(꼭짓점)이기도 하며, 점 C는 포물선의 x절편입니다. 포물선의 방정식이 $ y = -x^2 + 4 x + C $로 주어질 때, 삼각형 ABC의 넓이가 $ 32 $제곱 유닛이 되도록 하는 $ C $를 구하세요.

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풀이:

$ h = \dfrac{-b}{2a} = 2 $: 포물선 꼭짓점의 x좌표

$ k = -(2)^2 + 4(2) + C = 4 + C $: 꼭짓점의 y좌표

$ x = (2 + \sqrt{4 + C}), x = (2 - \sqrt{4 + C}) $: 포물선의 두 x절편.

$ BA $의 길이 = $ k = 4 + C $

$ AC $의 길이 = $(2 + \sqrt{4 + C}) - 2 = \sqrt{4 + C}$

$ \text{넓이} = \dfrac{1}{2} BA \times AC = \dfrac{1}{2} (4 + C) \times \sqrt{4 + C} $

$ \dfrac{1}{2} (4 + C) \times \sqrt{4 + C} = 32 $: 넓이가 32와 같음

$ C = 12 $: 위 식을 $ C $에 대해 풂.

문제 8

직선 $ y = 0$, $y = 2x $, 그리고 양수인 $ k $에 대하여 $ y = -0.5x + k $로 둘러싸인 삼각형의 넓이가 $ 80 $제곱 유닛입니다. $ k $를 구하세요.

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풀이:

$ A(0,0) $, $ B(2k/5 , 4k/5) $, $ C(2k ,0) $: 세 직선의 교점

넓이 = $ (1/2) \times (4k/5) \times (2k) = 80 $: 주어진 조건

$ k = 10 $: 양수인 $ k $에 대해 위 방정식을 풂.

문제 9

어떤 포물선이 두 개의 $ x $절편 $ (-2 , 0) $과 $ (3 , 0) $을 가지며 점 $ (5 , 10) $을 지난다. 이 포물선의 방정식을 구하세요.

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풀이:

$y = a(x + 2)(x - 3) $: x절편을 이용하여 인수분해 형태로 포물선 방정식 작성

$ 10 = a(5 + 2)(5 - 3) $ 점 $ (5 , 10) $이 포물선 그래프 위의 점이므로 방정식을 만족함.

$ a = 5/7 $: a에 대해 방정식을 풂.

문제 10

상수 $ A $에 대하여 다항식 $ P(x) = x^3 + 3 x^2 -2 A x + 3 $을 $ x^2 + 1 $로 나눌 때 나머지가 $ 5 x $가 됩니다. $ A $를 구하세요.

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풀이:

$ x^3 + 3 x^2 -2 A x + 3 $을 $ x^2 + 1 $로 나누면 나머지 $ -x (1 + 2 A) $가 됨

$ - x (1 + 2A) = 5 x $: 나머지가 $ 5 x $로 주어짐

$ -(1 + 2A) = 5 $: 다항식이 같으려면 대응하는 계수가 같아야 함.

$ A = -3 $: 위 식을 $ A $에 대해 풂.

문제 11

상수 $ A $와 $ B $에 대하여 다항식 $ P(x) = x^5 + 2 x^3 + A x + B $를 $ x - 1 $로 나누면 나머지가 $ 2 $입니다. $ P(x) $를 $ x + 3 $으로 나누면 나머지가 $ -314 $입니다. $ A $와 $ B $를 구하세요.

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풀이:

$ P(1) = 1^5 + 2(1^3) + A \times (1) + B = 2 $: 나머지 정리

$ P(-3) = (-3)^5 + 2(-3)^3 + A \times (-3) + B = -314 $: 나머지 정리

이를 통해 $ A $와 $ B $에 대한 연립방정식을 얻음:

\[ A + B = -1 \] \[ -3 A + B = -17 \]

$ A = 4 $ 및 $ B = -5 $: 위 연립방정식을 풂.

Problem 12

다음 방정식으로 정의되는 두 원의 모든 교점을 구하세요:

$ (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4 $

$ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4 $

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풀이:

$ x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = 4 $: 첫 번째 원의 방정식 전개

$ x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 4 $: 두 번째 원의 방정식 전개

$ -2x - 2y + 6 = 0 $: 위 방정식들의 좌변과 우변을 서로 뺌

$ y = 3 - x $: 위 식을 $ y $에 대해 풂.

$ 2x^2 - 6x + 1 = 0 $: 첫 번째 방정식에 $ y $를 $ 3 - x $로 대입하고 전개하여 동류항을 정리함.

$\left(\dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{7}}{2} , \dfrac{3}{2} - \dfrac{\sqrt{7}}{2} \right), \left(\dfrac{3}{2} - \dfrac{\sqrt{7}}{2} , \dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{7}}{2} \right)$:

$x $에 대해 풀고 $ y = 3 - x $를 사용하여 y를 구함.

문제 13

어떤 양의 정수 $ I $에 $ 200 $을 더하면 제곱수가 됩니다. 같은 정수 $ I $에 $ 276 $을 더하면 또 다른 제곱수가 됩니다. $ I $를 구하세요.

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풀이:

$ I + 200 = A^2 $: $ I $에 200을 더하면 제곱수가 됨.

$ I + 276 = B^2 $: $ I $에 276을 더하면 다른 제곱수가 됨.

$ B^2 = A^2 + 76 $: 두 방정식에서 $ I $를 소거.

다른 제곱수 $ B^2 $가 될 때까지 76에 제곱수 $ A^2 $ (0, 1, 4, 9, 16, 25,...)를 더함.

$ 76 + 18^2 = 400 = 20^2 $

$ A^2 = 18^2 $ 및 $ B^2 = 20^2 $

$ I = A^2 - 200 = 124 $

문제 14

등비수열의 첫 세 항의 합은 $ 42 $입니다. 같은 항들의 제곱의 합은 $ 1092 $입니다. 이 수열의 첫 세 항을 구하세요.

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풀이:

$sum_1 = a + a r + a r^2 = 42$: 주어진 첫 세 항의 합, $ r $은 공비.

$ sum_2 = (a)^2 + (a r)^2 + (a r^2)^2 = 1092$: 주어진 세 항의 제곱의 합.

$ sum_1 = a + ar + a r^2 = \dfrac{ a(r^3 - 1) }{r-1} = 42 $: 유한등비수열의 합 공식 적용.

$ sum_2 = a^2 + a^2 r^2 + a^2 r^4 = \dfrac{a^2 (r^6 - 1) }{(r^2 - 1) } = 1092 $: 제곱의 합 또한 등비수열의 합임.

$ \dfrac{sum_2}{(sum_1)^2} = \dfrac{ 1092}{42^2 } = \dfrac{\dfrac{a^2(r^6 - 1)}{r^2 - 1}}{\dfrac{a^2 (r^3 - 1)^2}{(r - 1)^2}}$: 비율 정의.

$ \dfrac{r^2 - r + 1}{r^2 + r + 1} = \dfrac{1092}{42^2} $: 위 비율을 정리하여 방정식을 얻음.

$ r = 4 , r = 1/4 $: $ r $에 대해 풂

$ a = 2 $: $ sum_1$에 $ r = 4 $를 대입하고 $ a $에 대해 풂

$ a = 32 $: $ sum_1$에 $ r = 1/4 $를 대입하고 $ a $에 대해 풂

$ a = 2 , a r = 8 , a r^2 = 32 $: $ r = 4 $일 때 세 항 구하기

$ a = 32 , a r = 8 , a r^2 = 2 $: $ r = 1/4 $일 때 세 항 구하기

문제 15

돌을 물웅덩이에 떨어뜨리면 $ t $초 동안 대략 $ 16 t^2 $피트를 이동합니다. 물에 부딪히는 소리가 $ 3.5 $초 뒤에 들리고 소리의 속도가 초당 $ 1087 $피트라면, 웅덩이의 깊이는 얼마일까요?

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풀이:

$ T_1 + T_2 = 3.5 $: 여기서 $ T_1 $은 돌이 웅덩이 바닥에 도달하는 데 걸리는 시간이고, $ T_2 $는 소리가 웅덩이 꼭대기로 올라오는 데 걸리는 시간임.

$ 16 \times T_1^2 = 1087 \times T_2 $: 두 항 모두 동일한 거리, 즉 웅덩이의 높이를 나타내기 때문.

$ T_2 $에 대해 풀기: $ T_2 = 3.5 - T_1 $

$ T_2 $를 방정식에 대입: $ 16 \times T_1^2 = 1087 \times (3.5 - T_1) $

$ T_1 $에 대해 풀기: $ T_1 = 3.34 \text{초} $

마지막으로 웅덩이의 높이 계산: $ \text{높이} = 16 \times (3.34)^2 = 178 \text{피트} $ (가장 가까운 정수로 반올림).

문제 16

강의 양쪽 둑에 있는 두 보트가 서로를 향해 이동하기 시작합니다. 두 보트는 한쪽 둑에서 $ 1400 $미터 떨어진 곳에서 처음 서로 스쳐 지나갑니다. 각각 반대쪽 둑까지 계속 이동한 후 즉시 방향을 돌려 다른 쪽 둑을 향해 출발합니다. 두 번째로 서로 스쳐 지나갈 때는 다른 쪽 둑에서 $ 600 $미터 떨어진 곳에 있습니다. 각 보트는 전체 여정 동안 일정한 속도로 이동한다고 가정합니다. 강의 폭은 얼마일까요?

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풀이:

$ S_1 \times t_1 = 1400 $: $ S_1 $은 보트 1의 속도, $ t_1 $은 1400미터를 이동하는 데 걸리는 시간.

$ 1400 + S_2 \times t_1 = X $: $ S_2 $는 보트 2의 속도, $ X $는 폭.

$ S_1 \times t_2 = X + 600 $: $ t_2 $는 보트 1이 $ X + 600 $미터를 이동하는 데 걸리는 시간.

$ S_2 \times t_2 = 2X - 600 $

$ S_1 = \dfrac{1400}{t_1} $

$ S_2 = \dfrac{X - 1400}{t_1} $

$ T = \dfrac{t_2}{t_1} $로 놓기

방정식에 대입: $ 1400 \times T = X + 600 $ 및 $ X \times T - 1400 \times T = 2X - 600 $

$ X $에 대한 연립방정식 풀기: $ X = 3600 \text{미터} $.

문제 17

아래에 방정식이 주어진 4개의 직선 모두가 같은 점을 지나도록 하는 상수 $ a $와 $ b $를 구하세요.

$ x + y = - 1 $

$ - x + 3 y = - 11 $

$ a x + b y = 4 $

$ 2 a x - b y = 2 $

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풀이:

처음 두 방정식의 연립방정식을 풀어 해 $ (2, -3) $을 구함.

점 $ (2, -3) $은 마지막 두 방정식을 만족해야 함:

$ a(2) + b(-3) = 4 $

$ 2a(2) - b(-3) = 2 $

$ a $와 $ b $에 대해 풀기: $ a = 1, b = -\dfrac{2}{3} $.

문제 18

아래에 표시된 직각삼각형의 넓이를 구하세요.

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풀이:

$ AB $의 기울기는 $ OB $ (기울기 $ 1/3 $)와 수직이므로 $ -3 $임.

$ AB $의 방정식: $ y - 5 = -3(x - 5) \implies y = -3x + 20 $.

점 $ B $: $ y = -3x + 20 $과 $ y = x/3 $을 연립하여 풀면 $ \implies B(6,2) $.

점 $ A $: $ y = -3x + 20 $과 $ y = 2x $를 연립하여 풀면 $ \implies A(4,8) $.

$ \overline{OB} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{40} $

$ \overline{AB} = \sqrt{(6-4)^2 + (2-8)^2} = \sqrt{40} $

$ \text{넓이} = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{40} \times \sqrt{40} = 20 $.

문제 19

펌프 A가 수영장의 물을 비우는 데 걸리는 시간은 펌프 B보다 $ 2 $시간 적습니다. 펌프 A는 오전 8시에 시작되었고 펌프 B는 오전 10시에 시작되었습니다. 오후 12시에 펌프 B가 고장 났을 때 수영장의 $ 60\% $가 비워진 상태였습니다. 오후 12시 이후에 펌프 A가 남은 수영장의 물을 마저 비우는 데 얼마나 걸릴까요?

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풀이:

B의 시간을 $ t $라고 합시다; A는 $ t - 2 $시간 걸림. A는 4시간 일하고, B는 2시간 일함.

$ \dfrac{4}{t - 2} + \dfrac{2}{t} = 0.6 \implies 4t + 2(t - 2) = 0.6t(t - 2) $

$ 0.6t^2 - 7.2t + 4 = 0 $. 유효한 해 $ t = 6 + \dfrac{2\sqrt{66}}{3} $.

펌프 A의 시간 $ t - 2 = 4 + \dfrac{2\sqrt{66}}{3} $.

남은 40%를 채우는(비우는) 데 걸리는 시간: $ \text{시간} = 0.4 \times (4 + \dfrac{2\sqrt{66}}{3}) \approx 3.766 \text{시간} $.

문제 20

학교 A의 학생 수는 학교 B 학생 수의 절반과 같습니다. 학교 A와 학교 B의 남학생 수 비는 $ 1 : 3 $이고, 학교 A와 학교 B의 여학생 수 비는 $ 3 : 5 $입니다. 학교 B의 남학생 수는 학교 A의 남학생 수보다 200명 더 많습니다. 각 학교의 남학생과 여학생 수를 구하세요.

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풀이:

학교 A와 B의 전체 학생 수를 각각 $ x $와 $ y $라고 합시다. 학교 A와 B의 남학생 수를 각각 $ b_A, b_B $, 여학생 수를 각각 $ g_A, g_B $라고 함

$ x = y/2 $, $ b_B = 3b_A $.

조건 $ b_B = b_A + 200 \implies 2b_A = 200 \implies b_A = 100, b_B = 300 $.

$ g_B = \dfrac{5}{3} g_A $. $ 2(100 + g_A) = 300 + g_B $이므로:

$ 200 + 2g_A = 300 + \dfrac{5}{3}g_A \implies \dfrac{1}{3}g_A = 100 \implies g_A = 300, g_B = 500 $.

학교 A: 남학생 100명, 여학생 300명. 학교 B: 남학생 300명, 여학생 500명.

문제 21

대형 펌프 4개와 소형 펌프 2개로 수영장을 채우는 데 2시간이 걸립니다. 대형 펌프 2개와 소형 펌프 6개로도 같은 수영장을 채우는 데 2시간이 걸립니다. 대형 펌프 8개와 소형 펌프 8개로 수영장의 50%를 채우는 데 얼마나 걸릴까요?

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풀이:

대형 펌프 1개와 소형 펌프 1개의 채우기 속도를 각각 $ L $과 $ S $라고 함

$ 2(4L + 2S) = 1 $ 및 $ 2(2L + 6S) = 1 $. 풀면: $ L = 1/10, S = 1/20 $.

8L과 8S의 총 속도: $ 8(1/10) + 8(1/20) = 6/5 $ (시간당 수영장의 수).

50%를 채우는 데 걸리는 시간: $ \dfrac{6}{5}t = 0.5 \implies t = 5/12 \text{시간} = 25 \text{분} $.

문제 1

문제 2

문제 3

문제 4

문제 5

문제 6

문제 7

문제 8

문제 9

문제 10

문제 11

Problem 12

문제 13

문제 14

문제 15

문제 16

문제 17

문제 18

문제 19

문제 20

문제 21

추가 참고 자료 및 링크