문제: 3D 공간의 직선
문제 1: 벡터 형태 변환
벡터 형태 $$ \langle x, y, z \rangle = \langle -2, 3, 0 \rangle + t \langle 3, 2, 5 \rangle $$로 주어진 직선의 방정식을 매개변수 형태와 대칭 형태로 쓰세요.
풀이:
위 벡터 방정식의 벡터 성분들이 같다는 점을 이용하면 매개변수 형태를 얻을 수 있습니다:
$$ x = -2 + 3t, \quad y = 3 + 2t, \quad z = 0 + 5t $$
위 식 각각에서 $t$에 대해 풉니다:
$$ t = \frac{x + 2}{3}, \quad t = \frac{y - 3}{2}, \quad t = \frac{z}{5} $$
모두 $t$와 같으므로, 방정식의 대칭 형태는 다음과 같습니다:
$$ \frac{x + 2}{3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z}{5} $$
문제 2: 점과 벡터로부터 대칭 형태 구하기
점 $P(1, -2, 3)$을 지나고 벡터 $\vec{n} = \langle 2, 0, -3 \rangle$에 평행한 직선 방정식의 대칭 형태를 구하세요.
풀이:
벡터 방정식: $$ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + t \langle 2, 0, -3 \rangle $$
벡터 성분의 일치: $$ x = 1 + 2t, \quad y = -2, \quad z = 3 - 3t $$
$t$에 대해 풀기: $$ t = \frac{x - 1}{2}, \quad t = \frac{z - 3}{-3} $$
$y$ 방향 성분이 $0$이므로 $y$는 항상 $-2$입니다. 대칭 형태는 다음과 같습니다:
$$ \frac{x - 1}{2} = \frac{z - 3}{-3}, \quad y = -2 $$
문제 3: 두 점을 지나는 직선
두 점 $P(1, 2, 3)$과 $Q(0, -2, 1)$을 지나는 직선의 매개변수 방정식을 구하세요.
풀이:
방향 벡터 $\vec{PQ} = \langle 0 - 1 , -2 - 2 , 1 - 3 \rangle = \langle -1 , -4 , -2 \rangle$
벡터 방정식: $$ \langle x , y , z \rangle = \langle 1 , 2 , 3 \rangle + t \langle -1 , -4 , -2 \rangle $$
위 벡터 방정식의 성분 일치로부터 다음을 얻습니다:
$$ x = 1 - t, \quad y = 2 - 4t, \quad z = 3 - 2t $$
문제 4: 평행한 직선
점 $P(-3, 5, 2)$를 지나고 방정식 $$ x = 2t + 5, \quad y = -4t, \quad z = -t + 3 $$인 직선에 평행한 직선의 매개변수 방정식을 구하세요.
풀이:
주어진 직선을 대칭 형태로 씁니다:
$$ \frac{x - 5}{2} = \frac{y}{-4} = \frac{z - 3}{-1} $$
방향 벡터는 다음과 같습니다: $\langle 2, -4, -1 \rangle$
점 $P(-3, 5, 2)$를 지나는 직선은 주어진 직선과 평행하므로 같은 방향 벡터를 가집니다. $P$를 지나는 직선의 매개변수 방정식은 다음과 같습니다:
$$ x = -3 + 2t, \quad y = 5 - 4t, \quad z = 2 - t $$
문제 5: 두 직선에 수직인 직선
$P(1, -2, 3)$을 지나고 다음으로 주어진 두 직선 $L_1$과 $L_2$에 수직인 직선의 방정식을 구하세요:
직선 $L_1$: $$ \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{-4} = \frac{z + 9}{4} $$
직선 $L_2$: $$ x = 3t - 4, \quad y = -t + 6, \quad z = 5t $$
풀이:
구하고자 하는 직선 $L$은 직선 $L_1$과 $L_2$에 수직이므로, 그들의 방향 벡터 $\vec{d}_1$과 $\vec{d}_2$에도 수직입니다. 따라서 $\vec{d}_1$과 $\vec{d}_2$의 외적이 직선 $L$의 방향 벡터가 됩니다.
$L_1$의 대칭 방정식으로부터 방향 벡터는 다음과 같습니다: $$ \vec{d}_1 = \langle 3, -4, 4 \rangle $$
$L_2$의 방향 벡터는 다음과 같습니다: $$ \vec{d}_2 = \langle 3, -1, 5 \rangle $$
직선 $L$의 방향 벡터는 외적으로 취할 수 있습니다:
$$ \vec{d} = \vec{d}_1 \times \vec{d}_2 = \langle 3, -4, 4 \rangle \times \langle 3, -1, 5 \rangle = \langle -16, -3, 9 \rangle $$
점 $P(1, -2, 3)$을 지나고 벡터 $\vec{d}$에 평행한 직선 $L$의 방정식은 다음과 같습니다:
$$ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + t \langle -16, -3, 9 \rangle $$
문제 6: 두 직선의 교점
3차원 공간에서 다음으로 정의되는 두 직선 $L_1$과 $L_2$의 교점을 구하세요:
직선 $L_1$: $$ x = 2t - 1, \quad y = -3t + 2, \quad z = 4t - 3 $$
직선 $L_2$: $$ \frac{x - 7}{4} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 2}{-3} $$
풀이:
다른 매개변수 $s$를 사용하여 직선 $L_2$의 방정식을 매개변수 형태로 씁니다:
$$ x = 4s + 7, \quad y = 2s - 2, \quad z = -3s + 2 $$
$A(x, y, z)$를 교점이라고 합시다. 좌표들을 서로 같게 놓으면 다음 연립방정식을 얻습니다:
$$ 2t - 1 = 4s + 7 \quad (1) $$
$$ -3t + 2 = 2s - 2 \quad (2) $$
$$ 4t - 3 = -3s + 2 \quad (3) $$
방정식 (1)과 (2)를 다시 씁니다:
$$ 2t - 4s = 8 \quad \text{and} \quad -3t - 2s = -4 $$
$t$와 $s$에 대해 풉니다: $$ t = 2 \quad \text{and} \quad s = -1 $$
방정식 (3)에서 이를 확인합니다:
좌변: $4(2) - 3 = 5$. 우변: $-3(-1) + 2 = 5$. 일치하므로 두 직선은 교차합니다.
$t=2$를 $L_1$ 방정식에 다시 대입하여 교점을 구합니다:
$$ x = 3, \quad y = -4, \quad z = 5 $$
문제 7: 두 직선 사이의 각도
대칭 방정식이 다음과 같은 두 직선 $L_1$과 $L_2$ 사이의 각도를 구하세요:
$$ L_1: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z}{-4} $$
$$ L_2: \frac{x + 3}{6} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{2} $$
풀이:
$\mathbf{d}_1$과 $\mathbf{d}_2$를 직선 $L_1$과 $L_2$의 방향 벡터라고 합시다.
$$ \mathbf{d}_1 = \langle 2, -2, -4 \rangle \quad \text{and} \quad \mathbf{d}_2 = \langle 6, 2, 2 \rangle $$
직선 $L_1$과 $L_2$ 사이의 각도 $\theta$는 그들의 방향 벡터 사이의 각도와 같으며, 다음과 같이 주어집니다:
$$ \theta = \arccos\left( \frac{ \mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2 }{ |\mathbf{d}_1| \, |\mathbf{d}_2| } \right) $$
내적을 계산합니다:
$$ \mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2 = (2)(6) + (-2)(2) + (-4)(2) = 12 - 4 - 8 = 0 $$
내적이 $0$이고 크기가 0이 아니므로:
$$ \theta = \arccos(0) = 90^\circ $$
문제 8: 일치하는 직선
아래에 주어진 대칭 방정식이 동일한 직선을 나타냄을 보이세요.
직선 $L_1$: $$ \frac{x - 2}{-1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{4} $$
직선 $L_2$: $$ \frac{x - 1}{-2} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z - 3}{8} $$
풀이:
두 직선이 두 개의 공통점을 가지고 있음을 보일 수 있습니다. 두 방정식을 매개변수 형태로 다시 씁니다:
$$ L_1: \quad x = 2 - t, \quad y = 2t, \quad z = -1 + 4t $$
$$ L_2: \quad x = 1 - 2s, \quad y = 2 + 4s, \quad z = 3 + 8s $$
$L_1$ 위의 점 $P_1$: $(2, 0, -1)$
$L_2$ 위의 점 $P_2$: $(1, 2, 3)$
$L_2$의 대칭 방정식을 이용하여 $P_1(2, 0, -1)$이 $L_2$ 위에 있는지 확인합니다:
$$ \frac{2 - 1}{-2} = \frac{0 - 2}{4} = \frac{-1 - 3}{8} = -\frac{1}{2} $$
모든 항이 같으므로 $P_1$은 $L_2$ 위에 있습니다.
$L_1$의 대칭 방정식을 이용하여 $P_2(1, 2, 3)$이 $L_1$ 위에 있는지 확인합니다:
$$ \frac{1 - 2}{-1} = \frac{2}{2} = \frac{3 + 1}{4} = 1 $$
모든 항이 같으므로 $P_2$는 $L_1$ 위에 있습니다.
두 직선이 최소 두 개의 서로 다른 점을 공유하므로, 두 방정식은 동일한 직선을 나타냅니다.
문제 9: 점에서 직선까지의 거리
점 $P_0(1, -2, 3)$과 벡터 방정식 $$ \langle x, y, z \rangle = \langle 2, 3, 0 \rangle + t \langle -2, 3, 1 \rangle $$으로 주어진 직선 사이의 거리를 구하세요.
풀이:
방정식에 따르면, 점 $P(2, 3, 0)$이 직선 위에 있습니다. 방향 벡터는 $\vec{d} = \langle -2, 3, 1 \rangle$입니다.
직선에서 점 $P_0$까지의 거리 $D$는 다음과 같이 주어집니다:
$$ D = \frac{|\vec{P_0P} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|} $$
$\vec{P_0P} = \langle 2-1, 3-(-2), 0-3 \rangle = \langle 1, 5, -3 \rangle$이라고 합시다.
그러면 $\vec{P_0P} \times \vec{d} = \langle 1, 5, -3 \rangle \times \langle -2, 3, 1 \rangle = \langle 14, 5, 13 \rangle$입니다.
$$ |\vec{P_0P} \times \vec{d}| = \sqrt{14^2 + 5^2 + 13^2} = \sqrt{196 + 25 + 169} = \sqrt{390} $$
$$ |\vec{d}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{14} $$
$$ D = \frac{\sqrt{390}}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{195}}{\sqrt{7}} $$
문제 10: 두 직선 사이의 최단 거리
방정식으로 정의된 두 직선 $L_1$과 $L_2$ 사이의 최단 거리를 구하세요:
$$ L_1: \langle x, y, z \rangle = \langle 2, 0, -1 \rangle + t \langle -1, 4, -4 \rangle $$
$$ L_2: \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + m \langle -5, 2, -2 \rangle $$
풀이:
점 $P_1(2, 0, -1)$과 $P_2(1, -2, 3)$은 각각 직선 $L_1$과 $L_2$ 위의 점입니다. 방향 벡터는 다음과 같습니다:
$$ \mathbf{d}_1 = \langle -1, 4, -4 \rangle \quad \text{and} \quad \mathbf{d}_2 = \langle -5, 2, -2 \rangle $$
두 직선 사이의 최단 거리 $D$는 다음 공식으로 주어집니다:
$$ D = \frac{|\mathbf{n} \cdot \overrightarrow{P_1P_2}|}{|\mathbf{n}|} $$
여기서 $\mathbf{n}$은 $\mathbf{d}_1$과 $\mathbf{d}_2$의 외적입니다.
$$ \mathbf{n} = \mathbf{d}_1 \times \mathbf{d}_2 = \langle -1, 4, -4 \rangle \times \langle -5, 2, -2 \rangle = \langle 0, 18, 18 \rangle $$
$$ \overrightarrow{P_1P_2} = \langle 1-2, -2-0, 3-(-1) \rangle = \langle -1, -2, 4 \rangle $$
$$ D = \frac{| \langle 0, 18, 18 \rangle \cdot \langle -1, -2, 4 \rangle |}{\sqrt{0^2 + 18^2 + 18^2}} = \frac{| -36 + 72 |}{18\sqrt{2}} = \frac{36}{18\sqrt{2}} = \sqrt{2} $$
문제 11: 평행한 직선의 조건
아래 방정식으로 주어진 두 직선 $L_1$과 $L_2$가 평행하도록 하는 $b$의 값을 구하세요.
$$ L_1: \langle x, y, z \rangle = \langle 2, 0, -1 \rangle + t \langle 10, b, 4 \rangle $$
$$ L_2: \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + m \langle -5, 2, -2 \rangle $$
풀이:
방향 벡터는 비례해야 합니다: $$ \langle 10, b, 4 \rangle = k \langle -5, 2, -2 \rangle $$
첫 번째 성분으로부터: $$ 10 = -5k \implies k = -2 $$
세 번째 성분으로부터 (확인용): $$ 4 = k(-2) \implies k = -2 $$
두 번째 성분으로부터: $$ b = k(2) = -2 \times 2 = -4 $$
문제 12: 교차하고 수직인 직선
점 $P(1, -2, 3)$을 지나고 매개변수 방정식 $$ x = -3 + t, \quad y = 3 + t, \quad z = -1 + t $$으로 주어진 직선과 교차하며 수직인 직선의 방정식을 구하세요. 또한 두 직선의 교점을 구하세요.
풀이:
구하고자 하는 직선의 방정식: $$ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + s \langle a, b, c \rangle $$
수직인 대상: $$ \langle x, y, z \rangle = \langle -3, 3, -1 \rangle + t \langle 1, 1, 1 \rangle $$
교점을 구하려면 주어진 직선 위에 $\vec{PM}$이 주어진 직선의 방향 벡터 $\langle 1,1,1 \rangle$에 수직이 되도록 하는 특정 점 $M(x_0, y_0, z_0)$을 찾아야 합니다.
$\vec{PM} = \langle -3+t - 1, 3+t - (-2), -1+t - 3 \rangle = \langle t-4, t+5, t-4 \rangle$.
$\vec{PM}$이 $\langle 1,1,1 \rangle$에 수직이므로 그들의 내적은 0입니다:
$$ (t-4)(1) + (t+5)(1) + (t-4)(1) = 0 $$
$$ 3t - 3 = 0 \implies t = 1 $$
교점 $M$ ($t=1$일 때)은 다음과 같습니다: $$ M(-3+1, 3+1, -1+1) = (-2, 4, 0) $$
방향 벡터 $\vec{PM}$은 $\langle 1-4, 1+5, 1-4 \rangle = \langle -3, 6, -3 \rangle$입니다. 이를 스케일링하여 $\langle 1, -2, 1 \rangle$로 만들 수 있습니다.
새로운 직선의 방정식: $$ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + s \langle 1, -2, 1 \rangle $$
문제 13: 직선 위의 점 확인
점 $A(3, 4, 4)$, $B(0, 5, 3)$, $C(6, 3, 7)$ 중 매개변수 방정식 $$ x = 3t + 3, \quad y = -t + 4, \quad z = 2t + 5 $$으로 정의된 직선 위에 있는 점은 무엇입니까?
풀이:
직선의 대칭 방정식 형태를 씁니다: $$ \frac{x - 3}{3} = \frac{y - 4}{-1} = \frac{z - 5}{2} $$
점 A $(3, 4, 4)$: $$ \frac{3 - 3}{3} = 0, \quad \frac{4 - 4}{-1} = 0, \quad \frac{4 - 5}{2} = -\frac{1}{2} $$
마지막 식은 처음 두 식과 같지 않으므로 $A$는 직선 위에 없습니다.
점 B $(0, 5, 3)$: $$ \frac{0 - 3}{3} = -1, \quad \frac{5 - 4}{-1} = -1, \quad \frac{3 - 5}{2} = -1 $$
모든 식이 같으므로 $B$는 직선 위에 있습니다.
점 C $(6, 3, 7)$: $$ \frac{6 - 3}{3} = 1, \quad \frac{3 - 4}{-1} = 1, \quad \frac{7 - 5}{2} = 1 $$
모든 식이 같으므로 $C$는 직선 위에 있습니다.