상세한 풀이가 포함된 사인함수의 실생활 활용

용수철에 매달린 질량이 바닥 쪽으로 당겨져 바닥으로부터의 높이가 10 mm(밀리미터)가 됩니다. 그런 다음 질량이 놓여지며 위아래로 움직이기 시작하여 주기 0.8초로 각각 20 mm와 10 mm의 최고 높이와 최저 높이에 도달합니다.

1. 질량의 높이 $h(t)$($t$는 초 단위의 시간)가 사인함수라고 가정합니다. $t = 0$부터 $t = 0.8$초까지 $h$의 그래프를 스케치하세요. $t = 0$은 질량이 놓여진 시간입니다.
2. 높이 $h(t)$에 대한 사인함수를 구하세요.
3. 한 주기 동안 질량의 높이가 17 mm를 초과하는 시간은 몇 초입니까?

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풀이

1. 질량은 $h$가 최솟값일 때 $t = 0$에서 놓여집니다. 반 주기 후에 $h$는 최댓값에 도달하고, 또 다른 반 주기 후에 다시 최솟값에 도달합니다. 따라서 한 주기 동안 $h$는 $t$에 따라 다음과 같이 변합니다:

   

2. a항에서 얻은 그래프에 따르면, $h(t)$는 수직으로 위로, 수평으로 오른쪽으로 평행이동한 코사인 함수로 모델링할 수 있습니다. 따라서

   $$ h(t) = a \cos[ b(t - d) ] + c $$

   $h$의 최댓값을 $h_{\text{max}}$, 최솟값을 $h_{\text{min}}$이라고 합시다. 따라서

   $$ |a| = \dfrac{h_{\text{max}} - h_{\text{min}}}{2} = \dfrac{20 - 10}{2} = 5 , \quad a = \pm 5 $$

   $$ c = \dfrac{h_{\text{max}} + h_{\text{min}}}{2} = \dfrac{20 + 10}{2} = 15 $$

   $$ \text{주기} = \dfrac{2\pi}{|b|} = 0.8 \Rightarrow b = \pm 2.5\pi $$

   $a = 5$와 $b = 2.5\pi$를 사용합니다. 코사인 함수의 이동은 오른쪽으로 반 주기만큼 이루어집니다. 따라서 $d = 0.4$입니다.

   $$ h(t) = 5 \cos[ 2.5\pi(t - 0.4) ] + 15 $$

   $t = 0$에서 $h$가 최솟값을 갖는지 확인합니다:

   $$ h(0) = 5 \cos[ 2.5\pi(0 - 0.4) ] + 15 = 5 \cos( -\pi ) + 15 = 10 $$

   $t = 0.4$에서 $h$가 최댓값을 갖는지 확인합니다:

   $$ h(0.4) = 5 \cos[ 2.5\pi(0.4 - 0.4) ] + 15 = 5 \cos( 0 ) + 15 = 20 $$

3. 아래에는 $y = h(t)$와 $y = 17$의 그래프가 나와 있습니다. 먼저 방정식을 풀어 $h(t) = 17$이 되는 $t$의 값인 $t_1$과 $t_2$를 찾아야 합니다.

   

   $$ 5 \cos[ 2.5\pi(t - 0.4) ] + 15 = 17 $$

   $$ \cos[ 2.5\pi(t - 0.4) ] = \dfrac{17 - 15}{5} = 0.4 $$

   $$ 2.5\pi(t - 0.4) = \arccos(0.4) $$

   $$ t = \dfrac{\arccos(0.4)}{2.5\pi} + 0.4 = 0.547 \text{ 초} $$

   위에서 찾은 해 $t$는 최댓값의 위치인 $0.4$보다 크고 $0.8$보다 작으므로 $t_2$에 해당합니다. 따라서

   $$ t_2 = \dfrac{\arccos(0.4)}{2.5\pi} + 0.4 = 0.547 \text{ 초} $$

   $t_1$은 $t = 0.4$에서의 최댓값 위치에 대한 두 해의 대칭성을 이용하여 얻습니다. 따라서

   $$ t_1 = 0.4 - (0.547 - 0.4) = 0.252 \text{ 초} $$

   질량의 높이가 17 mm를 초과하는 시간은 다음과 같습니다:

   $$ t_2 - t_1 = 0.547 - 0.252 = 0.295 \text{ 초} $$

어느 지역의 일조 시간(낮의 길이) $H$는 대략 다음 함수로 주어집니다:

$$ H(t) = 2.5 \cos\left[ b(t - d) \right] + 11.5 $$

여기서 $H$는 시간 단위, $t$는 일(day) 단위이며, 함수는 1년(365일)의 주기를 가집니다.

1. $H$가 6월 21일(2월은 28일)에 최댓값을 가질 때, $b$($b > 0$)와 $d$를 구하세요.
2. 가장 짧은 날(일조 시간이 가장 짧은 날)은 언제입니까?

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풀이

1. 주기가 365일로 알려져 있으므로 다음 공식을 사용합니다:

   $$ 365 = \dfrac{2\pi}{b} \quad \Rightarrow \quad b = \dfrac{2\pi}{365} $$

   함수에서 $d = 0$으로 설정하면

   $$ H(t) = 2.5 \cos[b(t - d)] + 11.5 $$

   는 다음과 같이 되고

   $$ H(t) = 2.5 \cos(bt) + 11.5 $$

   $t = 0$에서 최댓값을 갖습니다.

   이 문제에서 최댓값은 6월 21일에 발생하며, 이는 다음 일수에 해당합니다:

   $$ t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 21 = 172 $$

   (1월 1일부터 6월 21일까지의 일수).

   따라서 수평 이동은 오른쪽으로 172단위이며, $d = 172$입니다. 그러므로,

   $$ H(t) = 2.5 \cos\left[\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right] + 11.5 $$

2. 가장 짧은 날은 $H$의 최솟값을 주는 $t$의 값에 해당합니다:

   $$ 11.5 - 2.5 = 9 $$

   다음 방정식을 풉니다:

   $$ 2.5 \cos\left[\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right] + 11.5 = 9 $$

   $$ \cos\left[\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right] = \dfrac{9 - 11.5}{2.5} = -1 = \cos(\pi) $$

   이는 다음을 제공합니다:

   $$ \dfrac{2\pi}{365}(t - 172) = \pi $$

   $$ t = \dfrac{365\pi}{2\pi} + 172 = 354.5 \text{ 일} $$

   참고: 코사인 함수에서 최댓값에서 다음 최솟값까지의 시간은 주기의 절반이라는 점을 이용하여 이를 결정할 수도 있었습니다. 따라서 최솟값은 다음에서 발생합니다:

   $$ t = 172 + \dfrac{1}{2}(365) = 354.5 \text{ 일} $$

   1월부터 11월까지의 일수를 계산하려면:

   $$ t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 + 30 = 334 $$

   그런 다음 12월의 일수는 다음과 같습니다:

   $$ 354.5 - 334 = 20.5 $$

   이는 대략 12월 21일에 해당합니다.

어느 도시의 월 평균 기온 $T$($^{\circ} \mathrm{C}$)는 대략 다음 식으로 근사할 수 있습니다:

$$ T(t) = a \cos\left[ b(t - d) \right] + c $$

여기서 $t$는 월 단위의 시간이며, $t = 0$은 1월 1일에 해당하고 $T(t)$ 함수의 주기는 12개월이라고 가정합니다.

1. $T$가 7월 중순($t = 6.5$)에 최댓값 $22.4^{\circ} \mathrm{C}$를 갖고 최솟값 $-10^{\circ} \mathrm{C}$를 가질 때, $a$, $b$($b > 0$), $c$, $d$를 구하세요.
2. $T$가 최솟값을 갖는 달은 언제입니까?
3. $T$가 $18^{\circ} \mathrm{C}$를 초과하는 기간은 몇 개월입니까?

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풀이

1. $T$의 최솟값과 최댓값을 각각 $T_{\text{min}}$과 $T_{\text{max}}$라고 할 때, 다음과 같이 $a$와 $c$를 구할 수 있습니다:

   주어진 조건은 다음과 같습니다:

   $$ T_{\text{max}} = 22.4 \quad \text{and} \quad T_{\text{min}} = -10 $$

   $$ c = \dfrac{T_{\text{max}} + T_{\text{min}}}{2} = 6.2 $$

   $$ |a| = \dfrac{T_{\text{max}} - T_{\text{min}}}{2} = 16.2 \quad \text{(단, } a > 0 \text{로 가정)} $$

   $T$의 그래프는 오른쪽으로 6.5단위 평행이동한 코사인 함수 $a \cos(bt)$의 그래프입니다. 따라서

   $$ T(t) = 16.2 \cos[ b(t - 6.5) ] + 6.2 $$

   이제 주기를 사용하여 $b$를 구합니다. 주기는 12이므로,

   $$ \text{주기} = \dfrac{2\pi}{b} = 12 , \quad \text{따라서 } b = \dfrac{\pi}{6} $$

   따라서 기온 함수는 다음과 같습니다:

   $$ T(t) = 16.2 \cos\left[ \dfrac{\pi}{6}(t - 6.5) \right] + 6.2 $$

2. $T$가 최솟값이 되는 $t$를 찾습니다. $T$의 최솟값은 -10입니다. 다음을 풉니다:

   $$ 16.2 \cos\left[ \dfrac{\pi}{6}(t - 6.5) \right] + 6.2 = -10 $$

   $$ \cos\left[ \dfrac{\pi}{6}(t - 6.5) \right] = -1 = \cos(\pi) $$

   $$ \dfrac{\pi}{6}(t - 6.5) = \pi $$

   $$ t = 12.5 $$

   참고: 사인함수에서 최댓값과 다음 최솟값 사이의 거리가 주기의 절반이라는 사실을 이용하여 답할 수도 있었습니다. 따라서

   $$ t = 6.5 + \dfrac{1}{2}(12) = 12.5 \text{ 개월} $$

   $t = 12.5$는 한 주기(12개월)보다 약간 더 많으므로 1월 중순에 해당하며, 이는 그 무렵 기온이 최솟값을 보인다는 것을 의미합니다.

3. 이제 방정식을 풀어 $T = 18$이 되는 시점 $t_1$과 $t_2$를 찾습니다:

   $$ 16.2 \cos\left[ \dfrac{\pi}{6}(t - 6.5) \right] + 6.2 = 18 $$

   $$ \cos\left[ \dfrac{\pi}{6}(t - 6.5) \right] = \dfrac{18 - 6.2}{16.2} $$

   $$ \dfrac{\pi}{6}(t - 6.5) = \arccos\left( \dfrac{18 - 6.2}{16.2} \right) $$

   $$ t = \dfrac{6}{\pi} \arccos\left( \dfrac{18 - 6.2}{16.2} \right) + 6.5 = 7.94 \text{ 개월} $$

   $T(t)$의 그래프와 수평선 $y = 18$로부터 해 $t = 7.94$는 $t_2 = 7.94$에 해당합니다. 대칭성에 의하여

   $$ t_1 = 6.5 - (t_2 - 6.5) = 6.5 - (7.94 - 6.5) = 5.06 \text{ 개월} $$

   $T > 18$인 기간의 개월 수는 다음과 같습니다:

   $$ t_2 - t_1 = 7.94 - 5.06 = 2.88 \text{ 개월 (약 3개월)} $$

대형 대관람차의 지름은 48미터이며, 관람차가 한 바퀴를 도는 데 2.8분이 걸립니다. 승객은 $t = 0$일 때 지상에서 60cm 높이인 가장 낮은 지점에서 관람차에 탑승합니다.

1. 시간 $t$(분)의 함수로서 지상으로부터 승객의 높이 $h$(미터)를 제공하는 사인함수 $h(t)$를 구하세요.
2. $t = 0$부터 $t = 2.8$분까지의 시간 동안 승객의 높이가 30미터 미만인 시간 간격을 구하세요.
3. $t = 0$부터 승객이 두 번째로 가장 높은 지점에 도달하는 데 몇 분이 걸립니까?

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풀이

1. 지상으로부터의 최솟값 높이 $h_{\text{min}}$은 0.6미터입니다. 최댓값 높이 $h_{\text{max}}$는 최솟값 높이에 관람차의 지름을 더한 값과 같습니다.

   $$ h_{\text{max}} = 0.6 + 48 = 48.6 $$

   $h(t)$가 $t = 0$에서 최솟값을 가지므로, 대칭 반사된 코사인 함수로 모델링하는 것이 더 쉽습니다. 따라서:

   $$ h(t) = a \cos[b(t - d)] + c $$

   $$ |a| = \dfrac{h_{\text{max}} - h_{\text{min}}}{2} = -\dfrac{48.6 - 0.6}{2} = 24 $$

   $a$에 대한 두 가지 해는 $\pm 24$입니다.

   마이너스 부호가 수평축에 대한 반사를 설명하는 $a = -24$를 선택합니다.

   $$ c = \dfrac{h_{\text{max}} + h_{\text{min}}}{2} = \dfrac{48.6 + 0.6}{2} = 24.6 $$

   주기는 2.8이며, 다음이 성립하므로:

   $$ \text{주기} = \dfrac{2\pi}{b} \Rightarrow b = \dfrac{2\pi}{2.8} $$

   $$ h(t) = -24 \cos\left( \dfrac{2\pi}{2.8} t \right) + 24.6 $$

   확인: $t = 0$일 때,

   $$ h(0) = -24 \cos(0) + 24.6 = -24(1) + 24.6 = 0.6 \, \text{m} $$

   $t = 1.4$(반 주기 후)일 때,

   $$ h(1.4) = -24 \cos\left( \dfrac{2\pi}{2.8} \cdot 1.4 \right) + 24.6 = -24 \cos(\pi) + 24.6 = 48.6 \, \text{m} $$

2. 먼저 다음 방정식을 풀어야 합니다:

   $$ -24 \cos\left( \dfrac{2\pi}{2.8} t \right) + 24.6 = 30 $$

   $$ \cos\left( \dfrac{2\pi}{2.8} t \right) = \dfrac{30 - 24.6}{-24} $$

   $$ t = \dfrac{2.8}{2\pi} \arccos\left( \dfrac{30 - 24.6}{-24} \right) = 0.8 \, \text{분} $$

   이 해는 $h(t)$의 그래프와 직선 $y = 30$의 첫 번째 교점인 $t_1$에 해당합니다. 따라서:

   $$ t_1 = 0.8 \, \text{min}, \quad t_2 = 2.8 - 0.8 = 2 \, \text{min} $$

   $t = 0$부터 $t = 0.8$까지 그리고 $t = 2$부터 $t = 2.8$까지 $h(t) \lt 30$이며, 총 1.6분 동안 유지됩니다.

3. 승객은 처음으로 $t = \dfrac{1}{2} \cdot 2.8$에서 최댓값에 도달하며, 다시 다음 시점에 도달합니다:

   $$ t = \dfrac{1}{2} \cdot 2.8 + 2.8 = 4.2 \, \text{분} $$

   즉, 두 번째로 최고 높이에 도달하게 됩니다.

달과 태양의 지구에 대한 중력 인력으로 인해 바다와 대양의 물은 밀물과 썰물이라고 불리는 현상에 맞춰 주기적으로 오르내리는 경향이 있습니다. 전형적인 상황에서 두 번의 만조(고조) 사이의 시간은 거의 12시간입니다. 어떤 해안 지역에서 물의 깊이는 다음과 같은 형식의 사인함수로 근사할 수 있습니다:

$$ d(t) = -2.5 \cos[ b(t - 2) ] + 3.5 $$

여기서 $d$는 미터 단위, $t$는 시간 단위이며, $t = 0$은 오전 12시에 해당합니다.

1. $d$의 주기가 12시간일 때 $b$($b > 0$)를 구하세요.
2. $t = 0$부터 $t = 12$까지, $d$가 가장 작을 때(간조)와 가장 높을 때(만조)는 각각 언제입니까?
3. $t = 0$부터 $t = 12$까지, 수심이 4.5미터 이상인 시간 간격은 어떻게 됩니까?

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풀이

1. 주기를 이용하여 다음을 얻습니다:

   $$ 12 = \dfrac{2\pi}{b} $$

   $$ b = \dfrac{\pi}{6} $$

2. $d(t)$는 이제 다음과 같이 주어집니다:

   $$ d(t) = -2.5 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3.5 $$

   $d$의 최솟값은 다음과 같습니다:

   $$ -2.5 + 3.5 = 1 $$

   따라서 $d$가 최소가 되는 $t$는 다음과 같습니다:

   $$ -2.5 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3.5 = 1 $$

   풀어서 얻습니다:

   $$ \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) = 1 $$

   $$ \dfrac{\pi}{6}(t - 2) = 0 $$

   $$ t = 2 \quad \text{(오전 2시에 해당)} $$

   $d$의 최고값은 다음과 같습니다:

   $$ 2.5 + 3.5 = 6 $$

   따라서 $d$가 최대가 되는 $t$는 다음과 같습니다:

   $$ -2.5 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3.5 = 6 $$

   풀어서 얻습니다:

   $$ \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) = -1 $$

   $$ \dfrac{\pi}{6}(t - 2) = \pi $$

   $$ t = 8 \quad \text{(오전 10시에 해당)} $$

   참고: 사인함수에서 최솟값과 다음 최댓값 사이의 거리가 주기의 절반이라는 사실을 이용하여 b항에 답할 수도 있었습니다. 따라서

   $$ d \text{는 다음에서 최댓값을 가집니다 } t = 2 + \dfrac{1}{2} \cdot 12 = 8 $$

3. 먼저 방정식을 풀어 $h(t) = 4.5$가 되는 $t$를 찾아야 합니다:

   $$ -2.5 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3.5 = 4.5 $$

   

   이는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

   $$ \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) = \dfrac{1}{-2.5} $$

   $t$에 대해 풉니다:

   $$ t_1 = \dfrac{6}{\pi}\cdot \arccos\left( -\dfrac{1}{2.5} \right) + 2 = 5.8 \text{ 시간} $$

   $$ t_2 = 8 + (8 - 5.8) = 10.2 \text{ 시간 (최댓값 위치에 대한 대칭성 이용)} $$

   $d(t) > 4.5 \, \text{m}$인 총 시간은 다음과 같습니다:

   $$ 10.2 - 5.8 = 4.4 \text{ 시간} $$

밀물과 썰물로 인해 특정 해안 지역의 수심 $d$는 사인함수로 표현될 수 있습니다. 만조는 오전 8시에 발생하고 간조는 6시간 후에 발생합니다. 물의 최고 수위는 2.8미터이고 최저 수위는 0.4미터입니다.

1. 사인함수를 사용하여 시간 $t$(시간)의 함수로서 물의 수심 $d(t)$(미터)를 구하세요. (오전 8시가 $t = 0$에 해당한다고 가정합니다).
2. 정오에서의 수심을 구하세요.
3. $d(t)$의 그래프와 해석적 계산을 사용하여 오후 12시부터 오후 6시 사이에 수심 $d$가 $1.5 \, \text{m}$ 미만인 시간 간격을 계산하세요.

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풀이

1. $d(t)$를 다음과 같이 씁시다:

   $$ d(t) = a \cos[b(t - d)] + c $$

   $d$의 최솟값 $d_{\min}$과 최댓값 $d_{\max}$은 다음과 같습니다:

   $$ d_{\min} = 0.4 $$

   $$ d_{\max} = 2.8 $$

   $$ c = \dfrac{d_{\max} + d_{\min}}{2} = \dfrac{2.8 + 0.4}{2} = 1.6 $$

   $$ |a| = \dfrac{d_{\max} - d_{\min}}{2} = \dfrac{2.8 - 0.4}{2} = 1.2 $$

   $d(t)$가 $t = 0$(오전 8시)에서 최솟값을 가지므로, $a = -1.2$ 및 $d = 0$을 선택할 수 있습니다.

   $$ d(t) = -1.2 \cos(bt) + 1.6 $$

   $t = 0$일 때 $d = -1.2 + 1.6 = 0.4$임을 쉽게 확인할 수 있습니다.

   이제 다음과 같이 주기를 사용하여 $b$($b > 0$)를 찾습니다:

   $$ \text{주기} = 12 = \dfrac{2\pi}{b} $$

   $$ \Rightarrow b = \dfrac{\pi}{6} $$

   $d(t)$는 이제 다음과 같이 쓰여집니다:

   $$ d(t) = -1.2 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}t \right) + 1.6 $$

   여기서 최댓값은 $t = 6$에서 발생함을 쉽게 확인할 수 있습니다.

2. 정오일 때 $t = 4$이므로,

   $$ d(4) = -1.2 \cos\left( \dfrac{\pi}{6} \cdot 4 \right) + 1.6 = 2.2 \, \text{m} $$

3. 아래에는 오후 12시부터 오후 6시까지에 해당하는 수직선과 $d = 1.5$에 해당하는 수평선이 있는 $d(t)$의 그래프가 나와 있습니다. 수심이 1.5 미터 미만인 구간은 $t_0$부터 오후 6시($t = 10$)까지입니다. 방정식을 풀어 $d(t)$와 $y = 1.5$의 교점인 $t_0$를 찾아야 합니다:

   $$ -1.2 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}t \right) + 1.6 = 1.5 $$

   $$ t = \dfrac{6 \cdot \arccos\left( \dfrac{1.5 - 1.6}{-1.2} \right)}{\pi} \approx 2.84 $$

   찾은 해는 $d(t)$와 $y = 1.5$의 왼쪽 교점에 해당합니다. 오른쪽 점 $t_0$는 최댓값 점에 대한 그래프의 대칭성을 이용하여 찾을 수 있습니다. 따라서

   $$ t_0 = 6 + (6 - 2.84) = 9.16 \, \text{시간} $$

   $0.16$시간은 다음과 같습니다:

   $$ 0.16 \times 60 \, \text{분} \approx 10 \text{ 분} $$

   $9.16$시간은 다음과 같습니다:

   $$ \approx 5:10 \, \text{pm} $$

   오후 12시부터 오후 6시까지 수심이 1.5 미만인 때는 오후 5시 10분부터 오후 6시까지입니다.

태양광 패널 시스템은 연중 변화하는 일일 평균 전력 $P$를 생산합니다. 이 전력은 6월 21일(일조 시간이 가장 긴 날)에 최댓값인 $20 \ \text{kWh/day}$에 달합니다. $P$는 다음 사인함수에 따라 시간 $t$에 따라 변한다고 가정합니다:

$$ P(t) = a \cos[b(t - d)] + c $$

여기서 $t = 0$은 1월 1일에 해당하고, $P$는 kWh/day 단위의 전력이며, $P(t)$는 365일(2월은 28일)의 주기를 가집니다. $P$의 최솟값은 $4 \ \text{kWh/day}$입니다.

1. 매개변수 $a$, $b$, $c$, $d$를 구하세요.
2. $t = 0$부터 $t = 365$까지 한 주기 동안 $P(t)$를 스케치하세요.
3. 태양광 시스템이 생산하는 전력이 최소가 되는 때는 언제입니까?
4. 이 태양광 시스템이 생산하는 전력이 $16 \ \text{kWh/day}$ 이상이면 일련의 기계를 구동하기에 충분합니다. 일 년 중 시스템이 생산하는 전력이 충분한 날은 총 며칠입니까?

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풀이

1. $P(t)$를 다음과 같이 씁시다:

   $$ P(t) = a \cos[b(t - d)] + c $$

   $P(t)$의 최솟값 $P_{\text{min}}$과 최댓값 $P_{\text{max}}$는 다음과 같이 주어집니다:

   $$ P_{\text{min}} = 4 $$

   $$ P_{\text{max}} = 20 $$

   $$ c = \dfrac{P_{\text{max}} + P_{\text{min}}}{2} = \dfrac{20 + 4}{2} = 12 $$

   $$ |a| = \dfrac{P_{\text{max}} - P_{\text{min}}}{2} = \dfrac{20 - 4}{2} = 8 $$

   이제 1월부터 5월까지의 달의 일수를 세고 6월의 21일을 더하여 1월 1일 이후 $P(t)$가 최댓값을 갖는 날짜 $t$를 찾아야 합니다:

   $$ t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 21 = 172 $$

   이제 다음과 같이 주기를 사용하여 $b$($b > 0$)를 찾습니다:

   $$ \text{주기} = 365 = \dfrac{2\pi}{b} $$

   $$ \Rightarrow b = \dfrac{2\pi}{365} $$

   평행이동이 없는 코사인 함수는 $t = 0$에서 최댓값을 갖습니다. $P(t)$는 $t = 172$에서 최댓값을 갖습니다. $P(t)$를 오른쪽으로 172단위 평행이동한 코사인 함수로 모델링할 수 있습니다:

   $$ P(t) = 8 \cos\left(\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right) + 12 $$

   $t = 172$에서 $P(t)$가 최댓값을 갖는지 확인합니다:

   $$ P(172) = 8 \cos\left(\dfrac{2\pi}{365}(172 - 172)\right) + 12 = 8 \cos(0) + 12 = 20 $$

2. 아래에 $P(t)$의 그래프가 나와 있습니다.

   

3. $t = 172$에서의 최댓값과 그 최댓값 이후의 최솟값 사이에는 반 주기의 차이가 있습니다. 따라서 $P(t)$는 다음 시점에서 최솟값을 갖습니다:

   $$ t = 172 + 0.5(365) = 354.5 $$

   처음 11개월은 334일입니다. 따라서 354.5는 $P(t)$가 최솟값을 갖는 날인 12월 21일에 해당합니다.

4. 전력이 충분히 생산되는 일수를 찾으려면, 그래프에 표시된 바와 같이 $P(t)$와 $y = 16$의 교점에 해당하는 $t_1$과 $t_2$를 방정식을 풀어 구해야 합니다:

   $$ P(t) = 16 $$

   $$ 8 \cos\left(\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right) + 12 = 16 $$

   $$ \cos\left(\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right) = \dfrac{1}{2} $$

   $$ t = 172 + \dfrac{365}{2\pi} \arccos\left(\dfrac{1}{2}\right) = 232.8 $$

   위에서 찾은 해는 최댓값에 해당하는 172보다 큽니다. 따라서 위 해는 그래프의 $t_2$(오른쪽 해)에 해당합니다. 왼쪽의 해는 대칭성에 의해 구해집니다:

   $$ t_1 = 172 - (232.8 - 172) = 111.2 $$

   $$ t_2 - t_1 = 232.8 - 111.2 = 121.6 \text{ 일} $$

   이 시스템은 약 121일 동안 충분한 전력을 생산합니다.