이 페이지에서는 다음과 같은 형태의 탄젠트 및 코탄젠트 함수의 스케치와 그래프 그리기를 설명합니다:
$$ y = a \tan \big[ k ( x - d) \big] \quad \text{and} \quad y = a \cot \big[ k ( x - d) \big] $$
학생들이 함수의 성질, 점근선, 그래프 변환을 이해하는 데 도움이 되도록 상세한 예제가 아래에 제공됩니다.
$y = \tan(x)$ 및 $y = \cot(x)$의 그래프 매개변수
치역: $ (- \infty , +\infty) $
주기: $ \pi $ (참고: 기본 주기가 $2\pi$인 사인/코사인과 다릅니다)
수평 이동 (평행이동): $d$. $(-d)$가 양수이면 왼쪽으로, 음수이면 오른쪽으로 이동합니다.
탄젠트의 수직 점근선: 코사인이 0이 되는 곳에서 발생하며, 다음과 같이 주어집니다:
$$ x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$
코탄젠트의 수직 점근선: 사인이 0이 되는 곳에서 발생하며, 다음과 같이 주어집니다:
$$ x = k\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$
항등식: 이러한 함수의 주요 성질을 이해하려면 비(ratio) 항등식을 상기하세요:
$$ y = \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \quad \text{and} \quad y = \cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} $$
1) $ y = \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} $
$\sin(x)$의 모든 영점은 $\tan(x)$의 영점에 해당합니다. 분모에 나타나는 $\cos(x)$의 모든 영점은 $\tan(x)$의 수직 점근선에 해당합니다.
2) $ y = \cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} $
$\cos(x)$의 모든 영점은 $\cot(x)$의 영점에 해당합니다. 분모에 있는 $\sin(x)$의 모든 영점은 $\cot(x)$의 수직 점근선에 해당합니다.
탄젠트 및 코탄젠트 함수 스케치: 상세 풀이가 포함된 예제
예제 1: 변환된 탄젠트 함수 그래프 그리기
한 주기 동안 $y = \tan\left( 2x + \dfrac{\pi}{2} \right)$의 그래프를 스케치하세요.
풀이:
그래프 매개변수
치역: $(- \infty , +\infty)$
주기: 탄젠트 기본 주기 $\pi$를 사용하여 계산합니다:
$$ \dfrac{\pi}{|k|} = \dfrac{\pi}{2} $$
수직 점근선: 탄젠트 함수의 내부가 기본 점근선 $\dfrac{\pi}{2} + k\pi$와 같아지는 곳에서 발생합니다:
$$ 2x + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi $$
간단히 정리하면:
$$ 2x = k\pi \implies x = \dfrac{k\pi}{2}, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$
수평 이동: $\dfrac{\pi}{2}$에 의한 수평 이동은 $2$를 묶어내어 함수를 다시 쓸 수 있게 합니다:
$$ y = \tan \left[ 2 \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) \right] $$
이는 그래프가 왼쪽으로 $\dfrac{\pi}{4}$단위만큼 이동함을 의미합니다.
함수 $y = \tan\left( 2x + \dfrac{\pi}{2} \right)$의 그래프를 그리는 두 단계:
1) $0$부터 $\dfrac{\pi}{2}$까지 한 주기 동안 $\tan(2x)$를 스케치합니다(아래 파란색 그래프).
2) 그런 다음 이전 그래프를 왼쪽으로 $\dfrac{\pi}{4}$만큼 평행이동하여 $y = \tan \left[ 2 \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) \right]$를 스케치합니다(아래 빨간색 그래프). 주기가 $- \dfrac{\pi}{4}$에서 시작하여 $\dfrac{\pi}{4}$에서 끝나며, 이는 $\dfrac{\pi}{2}$의 한 전체 주기가 됩니다.
예제 2: 변환된 코탄젠트 함수 그래프 그리기
한 주기 동안 $y = \cot \left( 4x - \dfrac{\pi}{4} \right)$의 그래프를 스케치하세요.
풀이:
그래프 매개변수
치역: $(- \infty , +\infty)$
주기: 코탄젠트 기본 주기 $\pi$를 사용하여 계산합니다:
$$ \dfrac{\pi}{|k|} = \dfrac{\pi}{4} $$
수직 점근선: 코탄젠트 함수의 내부가 $k\pi$와 같아지는 지점을 풀어 구합니다:
$$ 4x - \dfrac{\pi}{4} = k \pi $$
결과는 다음과 같습니다:
$$ 4x = k\pi + \dfrac{\pi}{4} \implies x = \dfrac{k \pi + \dfrac{\pi}{4}}{4}, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$
수평 이동: $- \dfrac{\pi}{4}$에 의한 수평 이동은 $4$를 묶어내어 확인할 수 있습니다:
$$ y = \cot \left[ 4 \left( x - \dfrac{\pi}{16} \right) \right] $$
이는 오른쪽으로 $\dfrac{\pi}{16}$단위만큼 이동함을 나타냅니다.
함수 $y = \cot \left( 4x - \dfrac{\pi}{4} \right)$의 그래프를 그리는 두 단계:
1) $0$부터 $\dfrac{\pi}{4}$까지 한 주기 동안 $\cot(4x)$를 스케치하는 것으로 시작합니다(파란색 그래프).
2) 그런 다음 그래프를 오른쪽으로 $\dfrac{\pi}{16}$만큼 평행이동하여 $y = \cot \left[ 4 \left( x - \dfrac{\pi}{16} \right) \right]$를 스케치합니다(아래 빨간색 그래프). 주기가 $\dfrac{\pi}{16}$에서 시작하여 $\dfrac{5\pi}{16}$에서 끝나며, 이는 한 전체 주기가 됩니다.
