유리부등식 풀이 예제 및 해답

부등식을 푸세요:

$$ \dfrac{x-2}{x+1} \ge 0 $$

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풀이:

1단계: 임계점 식별하기 (분자와 분모의 영점)

임계점은 식이 0이 되거나 정의되지 않는 곳에서 발생합니다.

• 분자: $x - 2 = 0 \implies x = 2$
• 분모: $x + 1 = 0 \implies x = -1$

따라서 임계점은 $x = -1$ (정의되지 않음)과 $x = 2$ (0)입니다.

2단계: 수직선을 구간으로 나누기

임계점을 사용하여 수직선을 나눕니다:

• 구간 1: $(-\infty, -1)$
• 구간 2: $(-1, 2)$
• 구간 3: $(2, \infty)$

3단계: 각 구간에서 테스트 값 대입하기

각 구간에서 값을 선택하고 식의 부호를 테스트합니다.

구간 1: $x = -2$

$$ \dfrac{-2 - 2}{-2 + 1} = \dfrac{-4}{-1} = 4 > 0 \quad (\text{양수}) $$

구간 2: $x = 0$

$$ \dfrac{0 - 2}{0 + 1} = \dfrac{-2}{1} = -2 < 0 \quad (\text{음수}) $$

구간 3: $x = 3$

$$ \dfrac{3 - 2}{3 + 1} = \dfrac{1}{4} > 0 \quad (\text{양수}) $$

4단계: 임계점 포함 또는 제외하기

$x = -1$은 분모를 0으로 만드므로 제외됩니다.

$x = 2$는 분자를 0으로 만들어 $\ge 0$을 만족하므로 포함됩니다.

최종 해답: 주어진 부등식의 해집합은 다음과 같습니다:

$$ (-\infty, -1) \cup [2, \infty) $$

부등식을 푸세요:

$$ \dfrac{x+1}{x+3} \le 2 $$

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풀이:

1단계: 한쪽에 0이 오도록 부등식 다시 쓰기

$$ \dfrac{x + 1}{x + 3} - 2 \le 0 $$

공통분모로 다시 씁니다:

$$ \dfrac{x + 1 - 2(x + 3)}{x + 3} \le 0 $$

분자를 정리합니다:

$$ \dfrac{x + 1 - 2x - 6}{x + 3} = \dfrac{-x - 5}{x + 3} $$

따라서 부등식은 다음과 같이 됩니다:

$$ \dfrac{-x - 5}{x + 3} \le 0 $$

2단계: 임계점 식별하기

• 분자: $-x - 5 = 0 \implies x = -5$
• 분모: $x + 3 = 0 \implies x = -3$

따라서 임계점은 $x = -5$ (0)와 $x = -3$ (정의되지 않음)입니다.

3단계: 수직선을 구간으로 나누기

• 구간 1: $(-\infty, -5)$
• 구간 2: $(-5, -3)$
• 구간 3: $(-3, \infty)$

4단계: 각 구간에서 테스트 값 대입하기

구간 1: $x = -6$

$$ \dfrac{-(-6) - 5}{-6 + 3} = \dfrac{6 - 5}{-3} = \dfrac{1}{-3} = -\dfrac{1}{3} < 0 $$

구간 2: $x = -4$

$$ \dfrac{-(-4) - 5}{-4 + 3} = \dfrac{4 - 5}{-1} = \dfrac{-1}{-1} = 1 > 0 $$

구간 3: $x = 0$

$$ \dfrac{-0 - 5}{0 + 3} = \dfrac{-5}{3} < 0 $$

5단계: 임계점 포함 또는 제외하기

$x = -3$은 분모를 0으로 만드므로 제외됩니다.

$x = -5$는 분자를 0으로 만들어 $\le 0$을 만족하므로 포함됩니다.

최종 해답: 주어진 부등식의 해집합은 다음과 같습니다:

$$ (-\infty, -5] \cup (-3, \infty) $$

부등식을 푸세요:

$$ \dfrac{4x^2+5x-9}{x^2-x-6} \ge 0 $$

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풀이:

1단계: 분자와 분모 인수분해하기

$$ 4x^2 + 5x - 9 = (4x + 9)(x - 1) $$

$$ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) $$

따라서 부등식은 다음과 같이 됩니다:

$$ \dfrac{(4x + 9)(x - 1)}{(x - 3)(x + 2)} \ge 0 $$

2단계: 임계점 식별하기

분자:

• $4x + 9 = 0 \implies x = -\dfrac{9}{4}$
• $x - 1 = 0 \implies x = 1$

분모:

• $x - 3 = 0 \implies x = 3$
• $x + 2 = 0 \implies x = -2$

따라서 임계점은 $x = -\dfrac{9}{4}, x = -2, x = 1, x = 3$입니다.

3단계: 수직선에 임계점 배열하기

수직선상에서 왼쪽부터 오른쪽으로: $-\infty, -\dfrac{9}{4}, -2, 1, 3, +\infty$. 따라서 구간은 다음과 같습니다:

• 구간 1: $(-\infty, -\dfrac{9}{4})$
• 구간 2: $(-\dfrac{9}{4}, -2)$
• 구간 3: $(-2, 1)$
• 구간 4: $(1, 3)$
• 구간 5: $(3, \infty)$

4단계: 각 구간에서 테스트 값 대입하기

구간 1: $x = -3$

$$ \dfrac{(4(-3) + 9)(-3 - 1)}{(-3 - 3)(-3 + 2)} = \dfrac{(-3)(-4)}{(-6)(-1)} = \dfrac{12}{6} = 2 > 0 $$

구간 2: $x = -2.1$

$$ \dfrac{(4(-2.1) + 9)(-2.1 - 1)}{(-2.1 - 3)(-2.1 + 2)} \approx -3.64705\dots < 0 $$

구간 3: $x = 0$

$$ \dfrac{(4(0) + 9)(0 - 1)}{(0 - 3)(0 + 2)} = \dfrac{(9)(-1)}{(-3)(2)} = \dfrac{-9}{-6} = 1.5 > 0 $$

구간 4: $x = 2$

$$ \dfrac{(4(2) + 9)(2 - 1)}{(2 - 3)(2 + 2)} = \dfrac{(17)(1)}{(-1)(4)} = \dfrac{17}{-4} = -4.25 < 0 $$

구간 5: $x = 4$

$$ \dfrac{(4(4) + 9)(4 - 1)}{(4 - 3)(4 + 2)} = \dfrac{(25)(3)}{(1)(6)} = \dfrac{75}{6} > 0 $$

5단계: 임계점 포함 또는 제외하기

• $x = -\dfrac{9}{4}$ 및 $x = 1$ $\to$ 분자의 영점 $\to$ $\ge 0$ 만족 $\to$ 포함
• $x = -2$ 및 $x = 3$ $\to$ 분모를 0으로 만듦 $\to$ 제외

6단계: 식이 $\ge 0$인 곳 결정하기

• $(-\infty, -\dfrac{9}{4}]$: 양수 $\to$ 포함
• $(-\dfrac{9}{4}, -2)$: 음수 $\to$ 제외
• $(-2, 1]$: 양수 $\to$ 포함
• $(1, 3)$: 음수 $\to$ 제외
• $(3, \infty)$: 양수 $\to$ 포함

최종 해답:

$$ (-\infty, -\dfrac{9}{4}] \cup (-2, 1] \cup (3, \infty) $$

부등식을 푸세요:

$$ \dfrac{x^3+1}{x^2-9} < 0 $$

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풀이:

1단계: 식 인수분해하기

• 분자: $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$
• 분모: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

따라서 부등식은 다음과 같이 됩니다:

$$ \dfrac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{(x - 3)(x + 3)} < 0 $$

2단계: 임계점 식별하기

• $x + 1 = 0 \implies x = -1$
• $x - 3 = 0 \implies x = 3$
• $x + 3 = 0 \implies x = -3$

참고: $x^2 - x + 1$은 판별식이 음수이므로 실근이 없습니다($\Delta = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3$). 게다가 최고차항의 계수가 양수이므로, 이 항은 모든 실수 $x$에 대해 항상 양수이며 부호표에 영향을 주지 않습니다.

따라서 임계점은 $x = -3$ (정의되지 않음), $x = -1$ (0), $x = 3$ (정의되지 않음)입니다.

3단계: 수직선을 구간으로 나누기

• 구간 1: $(-\infty, -3)$
• 구간 2: $(-3, -1)$
• 구간 3: $(-1, 3)$
• 구간 4: $(3, \infty)$

4단계: 각 구간에서 테스트 값 대입하기

구간 1: $x = -4$

$$ \dfrac{(-3)(21)}{(-7)(-1)} = \dfrac{-63}{7} = -9 < 0 $$

구간 2: $x = -2$

$$ \dfrac{(-1)(7)}{(-5)(1)} = \dfrac{-7}{-5} = \dfrac{7}{5} > 0 $$

구간 3: $x = 0$

$$ \dfrac{(1)(1)}{(-3)(3)} = \dfrac{1}{-9} < 0 $$

구간 4: $x = 4$

$$ \dfrac{(5)(13)}{(1)(7)} = \dfrac{65}{7} > 0 $$

5단계: 임계점 포함 또는 제외하기

$x = -3$과 $x = 3$은 분모를 0으로 만들므로 제외됩니다.

$x = -1$은 분자를 0으로 만들지만 $< 0$ (엄격한 부등식)을 만족하지 않으므로 제외됩니다.

최종 해답: 주어진 부등식의 해집합은 다음과 같습니다:

$$ (-\infty, -3) \cup (-1, 3) $$

그래프를 이용하여 푸세요:

$$ \dfrac{x + 2}{x - 1} \ge \ln(x + 1) $$

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풀이:

부등식의 양변을 그래프로 그리고 두 그래프의 교점 좌표를 근사합니다. 그런 다음 $\dfrac{x + 2}{x - 1}$이 $\ln(x + 1)$보다 크거나 같아지는 구간을 결정합니다.

$\ln(x + 1)$은 $x > -1$에서 정의되므로 모든 해집합은 $x > -1$을 만족해야 합니다. 함수 $\dfrac{x + 2}{x - 1}$은 $x = 1$에서 수직 점근선을 갖습니다.

그래프에서 $\dfrac{x + 2}{x - 1}$ (초록색)이 $\ln(x + 1)$ (빨간색)보다 크거나 같은 구간은 다음과 같습니다:

$$ (-1, -0.59] \cup (1, 4.88] $$

다음 연립 유리부등식을 푸세요:

$$ -1 < \dfrac{2x - 1}{x + 2} \le 3 $$

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풀이:

연립 부등식은 두 개의 독립된 부등식으로 나누어 풀어야 합니다. 최종 해는 두 해집합의 교집합(공통 범위)입니다.

파트 1: 좌측 부등식

$$ -1 < \dfrac{2x - 1}{x + 2} \implies 0 < \dfrac{2x - 1}{x + 2} + 1 $$

공통분모를 찾습니다:

$$ 0 < \dfrac{2x - 1 + x + 2}{x + 2} \implies \dfrac{3x + 1}{x + 2} > 0 $$

임계점: $x = -\dfrac{1}{3}$ 및 $x = -2$.

$(-\infty, -2)$, $(-2, -1/3)$, $(-1/3, \infty)$에 대한 부호표는 바깥쪽 구간에서 양수 결과를 산출합니다.

해집합 1: $(-\infty, -2) \cup (-\dfrac{1}{3}, \infty)$

파트 2: 우측 부등식

$$ \dfrac{2x - 1}{x + 2} \le 3 \implies \dfrac{2x - 1}{x + 2} - 3 \le 0 $$

공통분모를 찾습니다:

$$ \dfrac{2x - 1 - 3(x + 2)}{x + 2} \le 0 \implies \dfrac{-x - 7}{x + 2} \le 0 $$

임계점: $x = -7$ 및 $x = -2$.

$(-\infty, -7)$, $(-7, -2)$, $(-2, \infty)$에 대한 부호표는 바깥쪽 구간에서 음수 결과를 산출합니다. $\le$ 부호 때문에 $-7$을 포함합니다.

해집합 2: $(-\infty, -7] \cup (-2, \infty)$

교집합:

해집합 1과 해집합 2가 겹치는 곳을 찾아야 합니다.

• 좌측 범위는 $(-\infty, -7]$에서 겹칩니다.
• 우측 범위는 $(-\dfrac{1}{3}, \infty)$에서 겹칩니다.

최종 해답:

$$ (-\infty, -7] \cup \left(-\dfrac{1}{3}, \infty\right) $$

부등식을 푸세요:

$$ \dfrac{(x - 3)^2 (x + 1)}{(x - 2)^3} \le 0 $$

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풀이:

이 문제는 중수(중복도) 개념을 소개합니다. 인수가 제곱되어 있거나(또는 짝수 거듭제곱인 경우) 그 임계점을 지날 때 식의 부호는 바뀌지 않습니다. 인수가 홀수 거듭제곱인 경우 부호가 바뀝니다.

1단계: 임계점 식별하기

• 분자: $x = 3$ (짝수 중복도), $x = -1$ (홀수 중복도)
• 분모: $x = 2$ (홀수 중복도, 제외됨)

2단계: 부호표

테스트할 구간: $(-\infty, -1), (-1, 2), (2, 3), (3, \infty)$

• $x = -2$ 테스트: $\dfrac{(+)(-)}{(-)} = (+) > 0$
• $x = 0$ 테스트: $\dfrac{(+)(+)}{(-)} = (-) \le 0$ (이 구간은 성립함)
• $x = 2.5$ 테스트: $\dfrac{(+)(+)}{(+)} = (+) > 0$
• $x = 4$ 테스트: $\dfrac{(+)(+)}{(+)} = (+) > 0$ ($x=3$을 건너뛸 때 부호가 바뀌지 않았음에 유의하세요)

3단계: 양 끝점 분석하기

함수가 음수이거나 정확히 0이 되는 곳을 찾아야 합니다.

• 구간 $(-1, 2)$는 음수입니다.
• $x = -1$은 값을 0으로 만듭니다 (포함).
• $x = 2$는 값을 정의되지 않게 합니다 (제외).
• $x = 3$은 값을 0으로 만듭니다 (포함).

$3$ 주변의 구간은 양수이지만, 정확히 점 $x=3$에서는 $0$이 되어 $\le 0$을 만족합니다. 이것이 고립된 해 점을 형성합니다.

최종 해답:

$$ [-1, 2) \cup \{3\} $$