삼각함수 문제 및 풀이

항등식을 증명하세요: $$ \tan^2(x) - \sin^2(x) = \tan^2(x) \sin^2(x) $$

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풀이:

주어진 항등식의 좌변에서 시작합니다.

$\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ 항등식을 사용하여 다음과 같이 씁니다:

$$ \tan^2(x) - \sin^2(x) = \left(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2 - \sin^2(x) $$

$$ = \dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} - \sin^2(x) $$

공통분모를 구합니다:

$$ = \dfrac{\sin^2(x) - \cos^2(x) \sin^2(x)}{\cos^2(x)} $$

분자에서 $\sin^2(x)$를 묶어냅니다:

$$ = \dfrac{\sin^2(x) \left(1 - \cos^2(x)\right)}{\cos^2(x)} $$

피타고라스 항등식 $1 - \cos^2(x) = \sin^2(x)$를 적용합니다:

$$ = \dfrac{\sin^2(x) \sin^2(x)}{\cos^2(x)} $$

$$ = \sin^2(x) \tan^2(x) $$

이 식은 주어진 항등식의 우변과 정확히 같습니다.

항등식을 증명하세요: $$ \dfrac{1 + \cos(x) + \cos(2x)}{\sin(x) + \sin(2x)} = \cot(x) $$

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풀이:

주어진 항등식의 좌변에서 배각 공식 $\cos(2x) = 2 \cos^2(x) - 1$ 및 $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$를 사용합니다:

$$ \dfrac{1 + \cos(x) + \cos(2x)}{\sin(x) + \sin(2x)} $$

$$ = \dfrac{1 + \cos(x) + 2 \cos^2(x) - 1}{\sin(x) + 2 \sin(x) \cos(x)} $$

분자에서 $1$과 $-1$을 소거하여 정리합니다:

$$ = \dfrac{\cos(x) + 2 \cos^2(x)}{\sin(x) + 2 \sin(x) \cos(x)} $$

분자에서 $\cos(x)$를, 분모에서 $\sin(x)$를 각각 묶어냅니다:

$$ = \dfrac{\cos(x) (1 + 2 \cos(x))}{\sin(x) (1 + 2 \cos(x))} $$

공통 이항 인수 $(1 + 2 \cos(x))$를 약분합니다:

$$ = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} $$

$$ = \cot(x) $$

이는 우변과 같습니다.

항등식을 증명하세요: $$ 4 \sin(x) \cos(x) = \dfrac{\sin(4x)}{\cos(2x)} $$

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풀이:

배각 공식 $\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta)$를 사용합니다. $\theta = 2x$를 대입하면 $\sin(4x)$를 $2 \sin(2x) \cos(2x)$로 다시 쓸 수 있습니다.

이를 주어진 항등식의 우변에 대입합니다:

$$ \dfrac{\sin(4x)}{\cos(2x)} = \dfrac{2 \sin(2x) \cos(2x)}{\cos(2x)} $$

$\cos(2x)$를 약분합니다:

$$ = 2 \sin(2x) $$

$\sin(2x)$에 대해 배각 공식을 다시 적용합니다:

$$ = 2 \times [2 \sin(x) \cos(x)] $$

$$ = 4 \sin(x) \cos(x) $$

이는 좌변과 같습니다.

삼각방정식을 푸세요:

$$ \sin(x) + \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) = 0 \quad \text{for} \quad 0 \le x \le 2\pi $$

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풀이:

$\theta = \dfrac{x}{2}$로 설정하여 $\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta)$ 항등식으로 $\sin(x)$를 다시 씁니다:

$$ \sin(x) = \sin\left(2 \left( \dfrac{x}{2} \right)\right) = 2 \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) $$

이를 주어진 방정식에 대입합니다:

$$ 2 \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) + \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) = 0 $$

$\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)$로 묶어냅니다:

$$ \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \left( 2 \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) + 1 \right) = 0 $$

이로부터 풀어야 할 두 개의 독립된 방정식이 나옵니다:

a) $\sin\left(\dfrac{x}{2}\right) = 0$

각에 대한 해는 $\dfrac{x}{2} = 0$ 및 $\dfrac{x}{2} = \pi$입니다.

$x$에 대해 풀면: $x = 0$ 및 $x = 2\pi$입니다.

b) $2 \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) + 1 = 0$

이는 $\cos\left(\dfrac{x}{2}\right) = -\dfrac{1}{2}$로 쓸 수 있습니다.

각에 대한 해는 $\dfrac{x}{2} = \dfrac{2\pi}{3}$ 및 $\dfrac{x}{2} = \dfrac{4\pi}{3}$입니다.

$x$에 대해 풀면: $x = \dfrac{4\pi}{3}$ 및 $x = \dfrac{8\pi}{3}$입니다.

$\dfrac{8\pi}{3}$은 주어진 구간 $2\pi$보다 크므로 제외됩니다.

최종 해: $\left\{ 0, \dfrac{4\pi}{3}, 2\pi \right\}$

삼각방정식을 푸세요:

$$ (2\sin(x) - 1)(\tan(x) - 1) = 0 \quad \text{for} \quad 0 \le x \le 2\pi $$

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풀이:

주어진 방정식은 이미 인수분해되어 있으므로 바로 두 개의 방정식으로 나뉩니다:

$$ 2\sin(x) - 1 = 0 \quad \text{and} \quad \tan(x) - 1 = 0 $$

위 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$$ \sin(x) = \dfrac{1}{2} \quad \text{and} \quad \tan(x) = 1 $$

구간 $[0, 2\pi]$에서 $\sin(x) = \dfrac{1}{2}$의 해는 다음과 같습니다:

$$ x = \dfrac{\pi}{6} \quad \text{and} \quad x = \dfrac{5\pi}{6} $$

구간 $[0, 2\pi]$에서 $\tan(x) = 1$의 해는 다음과 같습니다:

$$ x = \dfrac{\pi}{4} \quad \text{and} \quad x = \dfrac{5\pi}{4} $$

최종 해: $\left\{ \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{4} \right\}$

삼각방정식을 푸세요:

$$ \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x) = 0 \quad \text{for} \quad 0 \le x \le 2\pi $$

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풀이:

$\cos(A + B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B)$ 공식을 사용하여 식을 간단히 합니다. 여기서 $A = 2x$, $B = x$입니다:

$$ \cos(2x + x) = \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x) $$

따라서 주어진 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$$ \cos(3x) = 0 $$

$x \in [0, 2\pi]$이므로 $3x$의 정의역은 $[0, 6\pi]$입니다. 이 확장된 구간에서 코사인 함수의 모든 영점을 찾기 위해 $3x$에 대한 방정식을 풉니다:

$$ 3x = \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{2}, \dfrac{7\pi}{2}, \dfrac{9\pi}{2}, \dfrac{11\pi}{2} $$

각각을 $3$으로 나누어 $x$를 구합니다:

최종 해: $\left\{ \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{3\pi}{2}, \dfrac{11\pi}{6} \right\}$

삼각식을 간소화하세요:

$$ \dfrac{\sin(2x) - \cos(x)}{\cos(2x) + \sin(x) - 1} $$

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풀이:

$\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$ 및 $\cos(2x) = 1 - 2 \sin^2(x)$ 항등식을 사용하여 식을 다시 씁니다:

$$ \dfrac{2 \sin(x) \cos(x) - \cos(x)}{1 - 2 \sin^2(x) + \sin(x) - 1} $$

분모에서 $1$과 $-1$을 소거하여 정리합니다:

$$ = \dfrac{2 \sin(x) \cos(x) - \cos(x)}{-2 \sin^2(x) + \sin(x)} $$

분자에서 $\cos(x)$를, 분모에서 $\sin(x)$를 묶어냅니다:

$$ = \dfrac{\cos(x)(2 \sin(x) - 1)}{\sin(x)(-2 \sin(x) + 1)} $$

$(2 \sin(x) - 1)$과 $(-2 \sin(x) + 1)$은 서로 부호가 반대이므로 약분하면 $-1$이 남습니다:

$$ = - \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} $$

$$ = - \cot(x) $$

증명하세요:

$$ \sin(105^\circ) = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $$

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풀이:

$105^\circ$는 두 특수각의 합으로 쓸 수 있습니다:

$$ 105^\circ = 60^\circ + 45^\circ $$

따라서:

$$ \sin(105^\circ) = \sin(60^\circ + 45^\circ) $$

$\sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B)$ 항등식을 사용하여 씁니다:

$$ \sin(105^\circ) = \sin(60^\circ)\cos(45^\circ) + \cos(60^\circ)\sin(45^\circ) $$

특수각 표를 사용하여 정확한 값을 대입합니다:

$$ = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) $$

분수를 곱합니다:

$$ = \dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4} $$

$$ = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $$

$\sin(x) = \dfrac{2}{5}$이고 $x$가 예각일 때, 다음의 정확한 값을 구하세요:

1. $\cos(2x)$
2. $\cos(4x)$
3. $\sin(2x)$
4. $\sin(4x)$

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풀이:

$\sin(x) = \dfrac{2}{5}$이므로, 피타고라스 항등식 $\cos(x) = \sqrt{1 - \sin^2(x)}$를 사용하여 구합니다:

$$ \cos(x) = \sqrt{1 - \left(\dfrac{2}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \dfrac{4}{25}} = \sqrt{\dfrac{21}{25}} = \dfrac{\sqrt{21}}{5} $$

a) $\cos(2x)$ 구하기:

공식 $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$를 사용합니다:

$$ \cos(2x) = 1 - 2\left(\dfrac{4}{25}\right) = 1 - \dfrac{8}{25} = \dfrac{17}{25} $$

c) $\sin(2x)$ 먼저 구하기 (b와 d에서 필요):

공식 $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$를 사용합니다:

$$ \sin(2x) = 2 \left(\dfrac{2}{5}\right) \left(\dfrac{\sqrt{21}}{5}\right) = \dfrac{4\sqrt{21}}{25} $$

b) $\cos(4x)$ 구하기:

공식 $\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1$을 사용합니다:

$$ \cos(4x) = 2\left(\dfrac{17}{25}\right)^2 - 1 = 2\left(\dfrac{289}{625}\right) - 1 = \dfrac{578}{625} - \dfrac{625}{625} = -\dfrac{47}{625} $$

d) $\sin(4x)$ 구하기:

공식 $\sin(4x) = \sin(2(2x)) = 2 \sin(2x) \cos(2x)$를 사용합니다:

$$ \sin(4x) = 2 \left(\dfrac{4\sqrt{21}}{25}\right) \left(\dfrac{17}{25}\right) = \dfrac{136\sqrt{21}}{625} $$

아래 그림에서 변 $AB$의 길이를 구하세요. 소수점 아래 유효숫자 3자리까지 반올림하세요.

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풀이:

삼각형 $DAC$는 이등변삼각형입니다. 따라서 $D$에서 $AC$로 수선을 내리면 $AC$를 이등분하고 각 $D$를 이등분합니다.

빗변이 $AD$ ($10$단위)이고 각도가 $\dfrac{70^\circ}{2} = 35^\circ$인 직각삼각형을 이용하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$$ \sin(35^\circ) = \dfrac{\dfrac{1}{2}AC}{10} \implies \dfrac{1}{2}AC = 10 \sin(35^\circ) $$

결과:

$$ AC = 20 \sin(35^\circ) $$

다음으로, 삼각형 $ABC$의 내부 각도 $B$와 $C$의 합이 $90^\circ$이므로 세 번째 각(각 $A$)은 직각입니다.

따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$$ \tan(32^\circ) = \dfrac{AB}{AC} $$

결과:

$$ AB = AC \tan(32^\circ) $$

$AC$의 값을 방정식에 대입합니다:

$$ AB = 20 \sin(35^\circ)\tan(32^\circ) \approx 7.17 \quad \text{(유효숫자 3자리로 반올림)} $$

$x \in [0, 2\pi]$인 모든 실수 값에 대해 방정식을 푸세요:

$$ 2\sin^2(x) + 3\cos(x) = 0 $$

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풀이:

피타고라스 항등식 $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$을 사용하여 모든 식을 코사인으로 표현합니다:

$$ 2(1 - \cos^2(x)) + 3\cos(x) = 0 $$

$$ 2 - 2\cos^2(x) + 3\cos(x) = 0 $$

최고차항을 양수로 만들기 위해 $-1$을 곱합니다:

$$ 2\cos^2(x) - 3\cos(x) - 2 = 0 $$

$u = \cos(x)$로 놓아 이차형식을 드러냅니다:

$$ 2u^2 - 3u - 2 = 0 \implies (2u + 1)(u - 2) = 0 $$

이로부터 두 개의 방정식이 나옵니다:

$$ \cos(x) = -\dfrac{1}{2} \quad \text{and} \quad \cos(x) = 2 $$

코사인 함수의 치역은 $[-1, 1]$이므로 방정식 $\cos(x) = 2$는 실근이 없습니다.

도메인 $[0, 2\pi]$에서 $\cos(x) = -\dfrac{1}{2}$를 풉니다:

$$ x = \dfrac{2\pi}{3}, \ \dfrac{4\pi}{3} $$

다음 항등식을 증명하세요:

$$ \sin(3x) + \sin(x) = 2\sin(2x)\cos(x) $$

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풀이:

좌변에서 시작하여 합-곱(Sum-to-Product) 공식인 다음을 적용합니다:

$$ \sin(A) + \sin(B) = 2\sin\left(\dfrac{A+B}{2}\right)\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right) $$

$A = 3x$ 및 $B = x$로 놓고 공식을 대입합니다:

$$ \sin(3x) + \sin(x) = 2\sin\left(\dfrac{3x+x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{3x-x}{2}\right) $$

삼각함수 내부의 분수를 간단히 합니다:

$$ = 2\sin\left(\dfrac{4x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{2x}{2}\right) $$

$$ = 2\sin(2x)\cos(x) $$

항등식이 증명되었습니다.