이 페이지는 삼각함수 항등식과 단위원 성질에 대한 이해를 높이기 위해 상세한 단계별 풀이와 그래픽 해석이 포함된 삼각방정식 풀이의 효과적인 방법을 제시합니다.
단계별 연습 문제
문제 1: 기본 사인 방정식
구간 \([0 , 2\pi)\)에서 방정식 \(\sin(x) = \dfrac{1}{2}\)의 모든 해를 구하고 그래프로 설명하세요.
풀이:
\(\sin(x)\)는 제1사분면과 제2사분면에서 양수입니다. 제1사분면의 해는 \(x = \dfrac{\pi}{6}\)입니다. 제2사분면의 해는 \(x = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}\)입니다.
문제 2: 일차 삼각방정식
\([0 , 2\pi)\)에서 방정식 \(\sin(x) + \cos(x) = 0\)의 모든 해를 구하세요.
풀이:
\(\sin(x) = -\cos(x) \implies \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} = -1 \implies \tan(x) = -1\).
\(\tan(x)\)는 제2사분면과 제4사분면에서 음수입니다. 해는 \(x = \dfrac{3\pi}{4}\) 및 \(x = \dfrac{7\pi}{4}\)입니다.
Problem 3: 합성 각
풀기: \( \sin\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) - \cos\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 0 \).
풀이:
\(\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B\)를 사용하면 방정식은 \(\sin\left(\dfrac{\pi x}{2} - \dfrac{\pi}{3}\right) = 0\)으로 간단해집니다.
\(\dfrac{\pi x}{2} - \dfrac{\pi}{3} = k\pi \implies x = 2k + \dfrac{2}{3}\).
문제 4: 이차형식 (사인)
방정식을 푸세요: \(2 \sin^2(x) + \cos(x) = 1\).
풀이:
\(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\)를 사용하면 \(2(1-\cos^2(x)) + \cos(x) = 1 \implies -2\cos^2(x) + \cos(x) + 1 = 0\)이 됩니다.
\(u = \cos(x)\)로 놓으면 \(-2u^2 + u + 1 = 0 \implies (u-1)(-2u-1) = 0\)이 됩니다.
\(\cos(x) = 1 \implies x = 0, 2\pi\); \(\cos(x) = -1/2 \implies x = 2\pi/3, 4\pi/3\).
문제 5: 반각 형식
풀기: \(6 \cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right) - \cos(x) = 4\).
풀이:
\(\cos(x) = 2\cos^2(x/2) - 1\)을 사용합니다. 방정식은 \(4\cos^2(x/2) = 3 \implies \cos(x/2) = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)가 됩니다.
\(x\)에 대해 풀면 \(x = \dfrac{\pi}{3} + 4k\pi, \dfrac{11\pi}{3} + 4k\pi, \dfrac{5\pi}{3} + 4k\pi, \dfrac{7\pi}{3} + 4k\pi\)가 됩니다.
문제 6: 시컨트 & 탄젠트
풀기: \([0 , 2\pi)\)에서 \(\tan^2(x) + 2 \sec(x) + 1 = 0\).
풀이:
\(\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1\)을 사용하면 \(\sec^2(x) + 2\sec(x) = 0 \implies \sec(x)(\sec(x)+2) = 0\)이 됩니다.
\(\sec(x) = 0\) (불가능); \(\sec(x) = -2 \implies \cos(x) = -1/2\). 해: \(2\pi/3, 4\pi/3\).
문제 7: 합과 차 항등식
풀기: \(\cos(3x) + \sin(2x) = \cos(x)\).
풀이:
\(\cos(3x) = \cos^3(x) - 3\cos(x)\sin^2(x)\) 및 \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\)를 사용하여 다시 씁니다.
\(\cos(x)\)를 묶어낸 후, \(2\sin(x)\cos(x)(1 - 2\sin(x)) = 0\)을 얻습니다. 해에는 \(x = k\pi, \pi/2 + k\pi, \pi/6 + 2k\pi, 5\pi/6 + 2k\pi\)가 포함됩니다.
문제 8: 코사인 등식
풀기: \(\cos(3x) = \cos\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right)\).
풀이:
규칙 적용: \(\cos(A) = \cos(B)\)이면 \(A = B + 2k\pi\) 또는 \(A = -B + 2k\pi\)입니다.
\(3x = 2x + \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \implies x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\).
\(3x = -(2x + \dfrac{\pi}{4}) + 2k\pi \implies 5x = -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \implies x = -\dfrac{\pi}{20} + \dfrac{2k\pi}{5}\).
도전 문제
도전 문제 1: 사인의 이차형식
\(x \in [0, 2\pi]\)에 대하여 풀기: \(2\sin^2(x) + 3\cos(x) = 0\).
풀이:
\(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \implies -2\cos^2(x) + 3\cos(x) + 2 = 0\)을 사용합니다.
\((2\cos(x) + 1)(\cos(x) - 2) = 0\)으로 인수분해합니다.
\(\cos(x) = -1/2 \implies x = 2\pi/3, 4\pi/3\). (\(\cos(x) = 2\)는 불가능합니다).
도전 문제 2: 합-곱 공식 증명
증명하세요: \(\sin(3x) + \sin(x) = 2\sin(2x)\cos(x)\).
풀이:
\(\sin(A) + \sin(B) = 2\sin\left(\dfrac{A+B}{2}\right)\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right)\)를 사용합니다.
\(2\sin\left(\dfrac{3x+x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{3x-x}{2}\right) = 2\sin(2x)\cos(x)\). 항등식이 증명되었습니다.