6학년 수학 문제 및 해답

수열 규칙을 단계별로 따릅니다:

• 1번째 숫자: 2
• 2번째 숫자: \(2 \times 3 + 2 = 8\)
• 3번째 숫자: \(8 \times 3 + 2 = 26\)
• 4번째 숫자: \(26 \times 3 + 2 = 80\)
• 5번째 숫자: \(80 \times 3 + 2 = 242\)

5번째 숫자는 242입니다.

먼저 판지의 원래 넓이를 계산합니다:

\[ \text{넓이} = \text{가로} \times \text{세로} = 12 \times 8 = 96 \text{ cm}^2 \]

다음으로, 모서리에서 잘라낸 정사각형 한 개의 넓이를 구합니다:

\[ \text{넓이} = 2 \times 2 = 4 \text{ cm}^2 \]

모서리가 4개이므로, 잘라낸 총넓이는 다음과 같습니다:

\[ 4 \times 4 = 16 \text{ cm}^2 \]

원래 넓이에서 잘라낸 넓이를 빼서 남은 넓이를 구합니다:

\[ 96 - 16 = \mathbf{80 \text{ cm}^2} \]

두 정수의 곱은 항상 그들의 LCM과 GCF의 곱과 같습니다. 따라서:

\[ 16 \times N = 48 \times 8 \]

\( N \)에 대해 풉니다:

\[ N = \dfrac{48 \times 8}{16} = 3 \times 8 = \mathbf{24} \]

먼저 각 숫자의 소인수분해를 씁니다:

• \( 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3 \)
• \( 40 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5 \)
• \( 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5 \)

가장 작은 지수를 가진 공통 소인수를 식별합니다. 세 숫자 모두에 공통인 소인수는 2뿐이며, 세 숫자 모두에 공통인 2의 가장 작은 거듭제곱은 \(2^2\)입니다.

\[ \text{GCF} = 2^2 = \mathbf{4} \]

a) 여학생 대 남학생의 비:

\[ \dfrac{260}{240} \]

분자와 분모를 20으로 나누어 분수를 약분합니다: \( \dfrac{13}{12} \). 비는 13:12입니다.

b) 남학생 대 전체 학생의 비:

전체 학생 수 = \( 240 + 260 = 500 \).

\[ \dfrac{240}{500} \]

분자와 분모를 20으로 나누어 분수를 약분합니다: \( \dfrac{12}{25} \). 비는 12:25입니다.

팁은 점심값의 20%입니다. 팁을 계산합니다:

\[ \text{팁} = 50.50 \text{의 } 20\% = \left( \dfrac{20}{100} \right) \times 50.50 = 10.10 \]

원래 점심값에 팁을 더합니다:

\[ \text{총합} = 50.50 + 10.10 = \mathbf{\$60.60} \]

나눗셈은 곱셈과 관련이 있습니다. 이 방정식을 곱셈으로 다시 쓸 수 있습니다:

\[ 64 = 4k \]

\( k \)를 구하기 위해 이 곱셈을 다시 나눗셈으로 바꿉니다:

\[ k = \dfrac{64}{4} = \mathbf{16} \]

방정식에 \( y = 3 \)을 대입합니다:

\[ x + 2(3) = 10 \]

\[ x + 6 = 10 \]

\( x \)를 고립시키기 위해 양쪽에서 6을 뺍니다:

\[ x = \mathbf{4} \]

비용 \( C \)는 고정 기본 요금(0.50달러)과 변동 요금(0.11 곱하기 분 수 \( N \))으로 구성됩니다.

\[ C = \mathbf{0.50 + 0.11N} \]

40킬로미터마다 1갤런이 필요합니다. 총 거리를 갤런당 거리로 나누어 40km 구간의 수를 구합니다:

\[ \dfrac{180}{40} = 4.5 \]

자동차는 휘발유 4.5갤런이 필요합니다.

먼저 675개에 150개짜리 묶음이 몇 개 들어가는지 구합니다:

\[ \dfrac{675}{150} = 4.5 \text{ 그룹} \]

각 그룹마다 8분이 소요되므로 그룹 수에 8을 곱합니다:

\[ 4.5 \times 8 = \mathbf{36 \text{분}} \]

거리 공식을 사용합니다:

\[ \text{거리} = \text{시간} \times \text{속력} \]

\[ \text{거리} = 5 \times 65 = \mathbf{325 \text{마일}} \]

직사각형들이 닮음이므로 대응하는 변의 비가 같습니다:

\[ \dfrac{L_2}{L_1} = \dfrac{W_2}{W_1} \]

\[ \dfrac{30}{10} = \dfrac{W_2}{5} \]

\[ 3 = \dfrac{W_2}{5} \quad \Rightarrow \quad W_2 = 15 \text{ cm} \]

이제 직사각형 \( B \)의 넓이를 구합니다:

\[ \text{넓이}_B = 30 \times 15 = \mathbf{450 \text{ cm}^2} \]

한 학급에 등록된 학생 수를 \( x \)라고 합시다. 결석한 학생을 \( x \)에 대한 분수로 표현해야 합니다:

• 5개 반이 반만 찼음(즉 \( \frac{1}{2} \) 결석): \( 5 \times \left(\dfrac{1}{2}x\right) = \dfrac{5}{2}x \)
• 3개 반이 \( \frac{3}{4} \)만 찼음(즉 \( \frac{1}{4} \) 결석): \( 3 \times \left(\dfrac{1}{4}x\right) = \dfrac{3}{4}x \)
• 2개 반에 \( \frac{1}{8} \) 결석: \( 2 \times \left(\dfrac{1}{8}x\right) = \dfrac{2}{8}x = \dfrac{1}{4}x \)

결석의 합을 70과 같다고 둡니다:

\[ \dfrac{5}{2}x + \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{4}x = 70 \]

공통분모(4)를 찾습니다:

\[ \dfrac{10}{4}x + \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{4}x = \dfrac{14}{4}x = \dfrac{7}{2}x = 70 \]

\( x \)에 대해 풉니다:

\[ x = 70 \times \dfrac{2}{7} = 20 \text{ (반당 학생 수)} \]

학급이 10개 있으므로 총 등록 학생 수는 \( 10 \times 20 = \mathbf{200 \text{명}} \입니다.

4가지 다른 크기의 정사각형이 있습니다. 체계적으로 세어봅니다:

• \( 1 \times 1 \) 크기의 정사각형 16개.
• \( 2 \times 2 \) 크기의 정사각형 9개.
• \( 3 \times 3 \) 크기의 정사각형 4개.
• \( 4 \times 4 \) 크기의 정사각형 1개.

정사각형의 총 개수 = \( 16 + 9 + 4 + 1 = \mathbf{30} \)

존이 처음 가지고 있던 우표 수를 \( x \)라고 합시다.

짐이 받은 수: \( \dfrac{1}{2}x \)

카를라가 받은 수: \( \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{2}x\right) = \dfrac{1}{4}x \)

카를라가 \( \frac{1}{4} \)을 주었으므로, 그녀는 받은 것의 \( \frac{3}{4} \)을 가졌습니다:

\[ \text{카를라가 가진 수} = \dfrac{3}{4} \times \left(\dfrac{1}{4}x\right) = \dfrac{3}{16}x \]

그녀가 12장을 가졌다고 하였습니다. 따라서:

\[ \dfrac{3}{16}x = 12 \]

\[ x = 12 \times \dfrac{16}{3} = \mathbf{64 \text{장}} \]

먼저 각 공이 *한* 바퀴를 완전히 도는 데 걸리는 시간을 구합니다.

공 A: \( \dfrac{120}{4} = 30 \text{초/회전} \)

공 B: \( \dfrac{60}{3} = 20 \text{초/회전} \)

두 공은 회전 시간의 최소공배수(LCM)에서 시작점에서 다시 만납니다.

\[ \text{LCM}(30, 20) = \mathbf{60 \text{초}} \]

3단위 선분이 9개의 등분으로 나누어져 있다면, 1개 부분의 길이는:

\[ 1 \text{개 부분} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} \text{단위} \]

따라서 2개 부분은 다음과 같습니다:

\[ 2 \times \dfrac{1}{3} = \mathbf{\dfrac{2}{3} \text{단위}} \]

킬로미터를 미터로, 시간을 분으로 변환합니다:

\[ 1 \text{킬로미터} = 1000 \text{미터} \]

\[ 1 \text{시간} = 60 \text{분} \]

이제 변환을 속력에 적용합니다:

\[ 75 \text{ km/h} = \dfrac{75 \times 1000 \text{미터}}{60 \text{분}} \]

\[ = \dfrac{75000}{60} = \mathbf{1250 \text{미터/분}} \]

그녀의 총저축액을 \( x \)라고 합시다. 저축액의 \( \frac{3}{4} \)를 썼다면 \( \frac{1}{4} \)이 남았습니다.

남은 금액의 절반을 냉장고에 썼고 그것이 150달러였습니다:

\[ \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{4}x\right) = 150 \]

\[ \dfrac{1}{8}x = 150 \]

양쪽에 8을 곱합니다:

\[ x = 150 \times 8 = \mathbf{\$1200} \]

정사각형 A의 한 변의 길이를 \( x \), 정사각형 B의 한 변의 길이를 \( y \)라고 합시다. 그들의 둘레는 \( 4x \)와 \( 4y \)입니다.

\[ 4x = 3(4y) \quad \Rightarrow \quad 4x = 12y \quad \Rightarrow \quad x = 3y \]

넓이의 비는 다음과 같습니다:

\[ \dfrac{\text{넓이}_A}{\text{넓이}_B} = \dfrac{x^2}{y^2} \]

\( x = 3y \)를 대입합니다:

\[ \dfrac{(3y)^2}{y^2} = \dfrac{9y^2}{y^2} = \mathbf{9} \] (비는 9:1입니다).

상자의 높이는 잘라낸 정사각형의 크기(\( 3 \text{ cm} \))가 됩니다.

새 가로는 원래 가로에서 양쪽에서 잘라낸 두 정사각형을 뺀 것입니다:

\[ \text{가로} = 15 - 3 - 3 = 9 \text{ cm} \]

새 세로는 원래 세로에서 양쪽에서 잘라낸 두 정사각형을 뺀 것입니다:

\[ \text{세로} = 10 - 3 - 3 = 4 \text{ cm} \]

부피를 계산합니다:

\[ V = \text{가로} \times \text{세로} \times \text{높이} = 9 \times 4 \times 3 = \mathbf{108 \text{ cm}^3} \]

원래 직사각형의 총넓이를 구합니다:

\[ A_{\text{rect}} = \text{가로} \times \text{세로} = 20 \times 10 = 200 \]

잘라낸 작은 정사각형의 넓이를 구합니다:

\[ A_{\text{square}} = (2x) \times (2x) = 4x^2 \]

남은 넓이는 직사각형의 넓이에서 정사각형의 넓이를 뺀 것입니다:

\[ \text{남은 넓이} = \mathbf{200 - 4x^2} \]

원의 넓이는 \( \pi r^2 \)으로 주어집니다:

\[ \pi r^2 = 81\pi \]

양쪽을 \( \pi \)로 나눕니다:

\[ r^2 = 81 \quad \Rightarrow \quad r = 9 \text{ 피트} \]

둘레는 \( 2\pi r \)입니다:

\[ C = 2\pi(9) = \mathbf{18\pi \text{ 피트}} \]

피터의 현재 나이를 \( P \)라고 합시다. 그러면 짐의 현재 나이는 \( P - 13 \)입니다.

1년 전 그들의 나이는 다음과 같습니다:

• 피터: \( P - 1 \)
• 카를라: \( 5 - 1 = 4 \)
• 짐: \( (P - 13) - 1 = P - 14 \)

1년 전의 조건을 바탕으로 방정식을 세웁니다:

\[ P - 1 = 2 \times [4 + (P - 14)] \]

\[ P - 1 = 2(P - 10) \]

\[ P - 1 = 2P - 20 \]

양쪽에서 \( P \)를 빼고 20을 더합니다:

\[ P = \mathbf{19} \]

피터는 19살, 짐은 6살(\(19 - 13\)), 카를라는 5살입니다.

이미 달린 거리를 더합니다:

\[ 2.4 + 1.75 = 4.15 \text{ km} \]

전체 목표에서 이를 뺍니다:

\[ 6 - 4.15 = \mathbf{1.85 \text{ km}} \]

밀가루의 양을 \( x \)라고 합시다. 비를 세웁니다:

\[ \dfrac{x}{4} = \dfrac{3}{2} \]

대각선으로 곱합니다:

\[ 2x = 12 \]

\[ x = \mathbf{6 \text{컵}} \]

삼각형의 각의 합은 항상 \( 180^\circ \)입니다. 세 번째 각을 \( x \)라고 합시다.

\[ x + 47 + 58 = 180 \]

\[ x + 105 = 180 \]

\[ x = 180 - 105 = \mathbf{75^\circ} \]

양쪽에서 4를 뺍니다:

\[ 3x = 19 - 4 \]

\[ 3x = 15 \]

3으로 나눕니다:

\[ x = \dfrac{15}{3} = \mathbf{5} \]

\( -4^\circ\text{C} \)에서 시작하여 기온 상승분을 더합니다:

\[ -4 + 11 = 7^\circ\text{C} \]

기온 하락분을 뺍니다:

\[ 7 - 6 = \mathbf{1^\circ\text{C}} \]

원래 가격을 \( x \)라고 합시다. 30% 할인은 원래 가격의 70%를 지불했다는 뜻입니다:

\[ 100\% - 30\% = 70\% \]

\[ 0.70x = 84 \]

0.70으로 나눕니다:

\[ x = \dfrac{84}{0.70} = \mathbf{\$120} \]

두 사람이 서로를 향해 걷고 있으므로, 결합 속력은 개개인의 속력의 합입니다:

\[ \text{결합 속력} = 40 + 60 = 100 \text{ m/min} \]

두 사람이 만나는 데 걸리는 시간은 거리를 결합 속력으로 나눈 것입니다:

\[ \text{시간} = \dfrac{2500}{100} = 25 \text{분} \]

개는 그 25분 동안 분당 120미터의 속도로 계속해서 달립니다. 개가 이동한 총거리는 다음과 같습니다:

\[ \text{거리} = 120 \text{ m/min} \times 25 \text{ min} = \mathbf{3000 \text{미터}} \]