7학년 대수 문제 및 해답

각 변수를 주어진 수치값으로 대체하고, 연산 순서를 적용한 후 간소화합니다.

1. \(12 (-1)^3 + 5 (-1)^2 + 4 (-1) - 6 = 12(-1) + 5(1) - 4 - 6 = -12 + 5 - 4 - 6 = \mathbf{-17}\)
2. \(2 (2)^2 + 3 (-2)^3 - 10 = 2(4) + 3(-8) - 10 = 8 - 24 - 10 = \mathbf{-26}\)
3. \(\dfrac{-2(2) - 1}{2 + 3} = \dfrac{-4 - 1}{5} = \dfrac{-5}{5} = \mathbf{-1}\)
4. \(2 + 2|(-4) - 4| = 2 + 2|-8| = 2 + 2 \times 8 = 2 + 16 = \mathbf{18}\)

분배 법칙 \(a(b + c) = ab + ac\)을 사용하여 식을 전개한 다음 동류항을 묶습니다.

1. \(-2(x - 8) + 3(x - 7) = -2x + 16 + 3x - 21\)
   \(= (-2x + 3x) + (16 - 21) = \mathbf{x - 5}\)
2. \(2(a + 1) + 5b + 3(a + b) + 3 = 2a + 2 + 5b + 3a + 3b + 3\)
   \(= (2a + 3a) + (5b + 3b) + (2 + 3) = \mathbf{5a + 8b + 5}\)
3. \(a(b + 3) + b(a - 2) + 2a - 5b + 8 = ab + 3a + ba - 2b + 2a - 5b + 8\)
   \(= (ab + ba) + (3a + 2a) + (-2b - 5b) + 8 = \mathbf{2ab + 5a - 7b + 8}\)
4. \(\dfrac{1}{2}(4x + 4) + \dfrac{1}{3}(6x + 12) = 2x + 2 + 2x + 4\)
   \(= (2x + 2x) + (2 + 4) = \mathbf{4x + 6}\)
5. \(4(-x + 2 - 3(x - 2)) = -4x + 8 - 12x + 24\)
   \(= (-4x - 12x) + (8 + 24) = \mathbf{-16x + 32}\)

분수 규칙(덧셈, 곱셈, 나눗셈)을 사용하여 간소화합니다.

1. \(\dfrac{x}{y} + \dfrac{4}{y} = \mathbf{\dfrac{x + 4}{y}}\)
2. \(\left(\dfrac{2x}{4}\right) \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{2x \times 1}{4 \times 2} = \dfrac{2x}{8} = \mathbf{\dfrac{x}{4}}\)
3. \(\dfrac{3x}{5} \div \dfrac{x}{5} = \dfrac{3x}{5} \times \dfrac{5}{x} = \dfrac{15x}{5x} = \mathbf{3}\)

지수가 있는 곱셈과 나눗셈 규칙을 사용합니다(밑이 같을 때 곱할 때는 지수를 더하고, 나눌 때는 뺍니다).

1. \(3 x^{2} \times 5 x^{3} = (3 \times 5) x^{2 + 3} = \mathbf{15 x^{5}}\)
2. \(\dfrac{(2 y)^4 \cdot 9 x^3}{4 y^4 (3 x)^2} = \dfrac{16 y^4 \cdot 9 x^3}{4 y^4 \cdot 9 x^2} = \dfrac{16 \times 9}{4 \times 9} y^{4 - 4} x^{3 - 2} = \mathbf{4x}\)

최대공약수(GCF)를 찾고 분배 법칙의 역을 사용하여 식을 인수분해합니다.

1. \(9x - 3 = 3 \times 3x - 3 \times 1 = \mathbf{3(3x - 1)}\)
2. \(24x + 18y = 6 \times 4x + 6 \times 3y = \mathbf{6(4x + 3y)}\)
3. \(bx + dx = \mathbf{x(b + d)}\)

역연산을 수행하여 \(x\)를 고립시키며 단계별로 방정식을 풉니다.

1. \[ \begin{aligned} 2x + 5 &= 11 \\ 2x &= 6 \\ x &= \mathbf{3} \end{aligned} \]
2. \[ \begin{aligned} 3x &= \dfrac{6}{5} \\ 15x &= 6 \quad \text{(양변에 5를 곱함)} \\ x &= \dfrac{6}{15} = \mathbf{\dfrac{2}{5}} \end{aligned} \]
3. \[ \begin{aligned} 3(2x + 2) + 2 &= 20 \\ 6x + 6 + 2 &= 20 \\ 6x + 8 &= 20 \\ 6x &= 12 \\ x &= \mathbf{2} \end{aligned} \]

반복되는 곱셈을 지수를 사용하여 다시 씁니다.

\[3 \times a \times a \times a - 5 \times b \times b = \mathbf{3 a^3 - 5 b^2}\]

둘레 공식 \(P = 2 \times \text{가로} + 2 \times \text{세로}\)를 사용하고, 식과 알려진 둘레를 대입한 후 \(x\)에 대해 풉니다.

\[ \begin{aligned} 2(2x + 3) + 2(x + 1) &= 32 \\ 4x + 6 + 2x + 2 &= 32 \\ 6x + 8 &= 32 \\ 6x &= 24 \\ x &= \mathbf{4} \end{aligned} \]

넓이 공식 \(A = \text{세로} \times \text{가로}\)를 사용하고, 알려진 값을 대입한 후 풉니다.

\[ \begin{aligned} 3(2x - 1) &= 27 \\ 6x - 3 &= 27 \\ 6x &= 30 \\ x &= \mathbf{5} \end{aligned} \]

남학생이 45%이므로, \( 100\% - 45\% = 55\% \)가 여학생입니다.

여학생 대 남학생의 비를 계산합니다.

\[ \text{비} = \dfrac{55\%}{45\%} = \dfrac{55}{45} = \mathbf{\dfrac{11}{9}} \]

공식을 사용합니다: \(\text{거리} = \text{시간} \times \text{속력}\).

\[ \begin{aligned} 300 &= 3(x + 30) \\ 300 &= 3x + 90 \\ 210 &= 3x \\ x &= \mathbf{70} \end{aligned} \]

대각선 곱하기(비례식 풀이)를 사용하여 비례식을 풉니다.

\[ \begin{aligned} \dfrac{4}{5} &= \dfrac{a}{16} \\ 4 \times 16 &= 5 \times a \\ 64 &= 5a \\ a &= \dfrac{64}{5} = \mathbf{12.8} \end{aligned} \]

순서쌍 \(x = 2\)와 \(y = a + 2\)를 주어진 방정식에 대입하고 \(a\)에 대해 풉니다.

\[ \begin{aligned} 2(2) + 2(a + 2) &= 10 \\ 4 + 2a + 4 &= 10 \\ 2a + 8 &= 10 \\ 2a &= 2 \\ a &= \mathbf{1} \end{aligned} \]

25와 45의 모든 약수를 나열합니다.

25의 약수: 1, 5, 25

45의 약수: 1, 3, 5, 9, 15, 45

25와 45의 최대공약수는 \(5\)입니다.

\[ \mathbf{1,234,750,002} \]

삼백구십삼억, 이천삼백사십만, 삼십사 (three hundred ninety-three billion, two hundred thirty-four million, thirty-four)

공통인 배수가 나올 때까지 15와 35의 배수를 차례대로 구합니다:

15의 배수: \(15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, \ldots\)

35의 배수: \(35, 70, 105, 140, \ldots\)

가장 작은 공배수(LCM)를 선택합니다:

LCM은 \(105\)입니다.

\(x\)의 \(\dfrac{2}{3}\)가 30이라는 것은 수학적으로 다음과 같이 쓰입니다:

\[ \dfrac{2}{3} \times x = 30 \]

3을 곱하고 간소화합니다:

\[ 2x = 90 \]

\(x\)에 대해 풉니다:

\[ x = 90 \div 2 = \mathbf{45} \]

\(\dfrac{1}{3}\)의 20%는 다음과 같이 쓰입니다:

\[ 20\% \times \dfrac{1}{3} \]

분수 등가물 \( 20\% = \dfrac{20}{100} \)을 사용하여 간소화합니다:

\[ = \dfrac{20}{100} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{20}{300} = \mathbf{\dfrac{1}{15}} \]

작은 수를 \( x \)라고 합시다. 그러면 큰 수는 \( x + 17 \)입니다.

합이 69로 주어졌으므로: \[ x + (x + 17) = 69 \]

간소화: \[ 2x + 17 = 69 \]

양변에서 17을 뺍니다: \[ 2x = 52 \]

양변을 2로 나누어 \( x \)를 풉니다: \[ x = 26 \]

따라서 더 큰 수는 다음과 같습니다: \[ x + 17 = 26 + 17 = \mathbf{43} \]

모든 값을 소수로 변환하고 순서대로 정렬합니다:

\[ \begin{aligned} \dfrac{12}{5} &= 2.4 \\ 250\% = \dfrac{250}{100} &= 2.5 \\ \dfrac{21}{10} &= 2.1 \\ 2.3 &= 2.3 \end{aligned} \]

작은 것부터 큰 것 순으로 정렬 (2.1, 2.3, 2.4, 2.5):

\( \mathbf{\dfrac{21}{10}, 2.3, \dfrac{12}{5}, 250\%} \)

\( x \), \( x + 1 \), 그리고 \( x + 2 \)를 3개의 연속하는 정수라고 합시다.

세 연속 정수의 합이 96이므로:

\[ x + (x + 1) + (x + 2) = 96 \]

동류항 묶기:

\[ \begin{aligned} 3x + 3 &= 96 \\ 3x &= 93 \\ x &= 31 \end{aligned} \]

이 수들 중 가장 큰 수는 \( x + 2 \)입니다:

\[ x + 2 = 31 + 2 = \mathbf{33} \]

지리 점수를 \(x\)라고 합시다. 화학은 \(2x\)입니다. 4개 과목의 평균이 79점입니다:

\[ \dfrac{93 + 88 + x + 2x}{4} = 79 \]

분자의 동류항을 묶습니다:

\[ \dfrac{3x + 181}{4} = 79 \]

양변에 4를 곱하고 간소화합니다:

\[ \begin{aligned} 3x + 181 &= 316 \\ 3x &= 135 \\ x &= 45 \end{aligned} \]

지리 점수는 \(x = \mathbf{45}\)입니다.

화학 점수는 \(2x = 2(45) = \mathbf{90}\)입니다.

영어 점수를 \(x\)라고 합시다.

수학 점수는: \( x + 7 \)

물리학 점수는 수학보다 5점 높음: \( (x + 7) + 5 = x + 12 \).

린다의 총점은 265점입니다:

\[ x + (x + 7) + (x + 12) = 265 \]

동류항을 묶고 간소화합니다:

\[ \begin{aligned} 3x + 19 &= 265 \\ 3x &= 246 \\ x &= 246 \div 3 = 82 \end{aligned} \]

영어 점수는 \( x = \mathbf{82} \)

수학 점수는 \( x + 7 = 82 + 7 = \mathbf{89} \)

물리학 점수는 \( x + 12 = 82 + 12 = \mathbf{94} \)

각 자전거에는 바퀴가 2개 있으므로 자전거의 수는 다음과 같습니다:

\[ \dfrac{100}{2} = \mathbf{50} \text{ 대의 자전거} \]

자동차 바퀴 수는 전체 바퀴 수에서 자전거 바퀴 수를 뺀 것입니다:

\[ 300 - 100 = 200 \text{ 개의 자동차 바퀴} \]

각 자동차에는 바퀴가 4개 있으므로 자동차의 수는 다음과 같습니다:

\[ \dfrac{200}{4} = \mathbf{50} \text{ 대의 자동차} \]