분수가 포함된 대수 방정식을 풀고 두 분수가 동등한지 확인하기 위해 대각선 곱하기(Cross Multiply)하는 법을 배우세요. 이 페이지는 학생, 학부모, 교사들이 이 중요한 수학 기술을 마스터할 수 있도록 명확한 예제, 단계별 설명, 그리고 상세한 해답이 포함된 연습 문제를 제공합니다.
다음 방정식을 생각해 봅시다:
\[ \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \]
위와 같은 분수가 포함된 방정식은 분모 때문에 풀기 까다로운 경우가 있습니다. 분모가 없는 동등한 방정식을 찾아봅시다.
분수가 있는 방정식을 분수가 없는 방정식으로 변환하는 위 방법을 대각선 곱하기(cross multiplication)라고 합니다.
예제 1: 방정식 \[ \dfrac{x}{3} = \dfrac{10}{6} \]을 푸세요.
1단계: 대각선 곱하기를 사용하여 분모를 없앱니다:
\[ 6 \times x = 3 \times 10 \]
2단계: 양변을 \( x \)의 계수(즉, 6)로 나눕니다:
\[ \dfrac{6 \times x}{6} = \dfrac{30}{6} \]
3단계: 간소화하여 \( x \)를 찾습니다:
\[ x = 5 \]
예제 2: 분수 \( \dfrac{4}{3} \)과 \( \dfrac{12}{9} \)는 동등합니까?
1단계: 대각선으로 곱합니다:
\[ 4 \times 9 = 36 \qquad \text{그리고} \qquad 3 \times 12 = 36 \]
2단계: 결과를 비교합니다. 두 곱이 모두 같으므로 두 분수는 동등합니다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\[ \dfrac{4}{3} = \dfrac{12}{9} \]
아래의 연습 문제들은 모두 대각선 곱하기를 사용하여 미지수를 구하고 분수의 동등성을 확인하는 것에 관한 것입니다.
방정식을 푸세요: \( \dfrac{x}{6} = \dfrac{3}{2} \)
대각선 곱하기를 사용하여 방정식을 다시 씁니다:
\[ 2 \times x = 3 \times 6 \]
간소화:
\[ 2x = 18 \]
양변을 2로 나눕니다:
\[ \frac{2x}{2} = \frac{18}{2} \implies \mathbf{x = 9} \]
방정식을 푸세요: \( \dfrac{1}{3x} = \dfrac{2}{24} \)
분모와 분자를 대각선으로 곱합니다:
\[ 1 \times 24 = 3x \times 2 \]
간소화:
\[ 24 = 6x \]
양변을 6으로 나눕니다:
\[ x = \frac{24}{6} \implies \mathbf{x = 4} \]
방정식을 푸세요: \( \dfrac{3}{2} = \dfrac{12}{4x} \)
대각선 곱하기를 사용합니다:
\[ 3 \times 4x = 2 \times 12 \]
간소화:
\[ 12x = 24 \]
양변을 12로 나눕니다:
\[ x = \frac{24}{12} \implies \mathbf{x = 2} \]
방정식을 푸세요: \( \dfrac{4}{6} = \dfrac{x}{9} \)
대각선 곱하기:
\[ 4 \times 9 = 6 \times x \]
간소화하고 \(x\)에 대해 풉니다:
\[ 36 = 6x \implies x = \frac{36}{6} \implies \mathbf{x = 6} \]
방정식을 푸세요: \( 2 = \dfrac{x}{14} \)
2를 분수(\(\frac{2}{1}\))로 표현하고 대각선으로 곱합니다:
\[ \frac{2}{1} = \frac{x}{14} \]
대각선 곱하기:
\[ 2 \times 14 = 1 \times x \]
간소화:
\[ \mathbf{28 = x} \]
방정식을 푸세요: \( \dfrac{2}{x+2} = \dfrac{1}{7} \)
대각선 곱하기:
\[ 2 \times 7 = (x + 2) \times 1 \]
간소화하고 \(x\)에 대해 풉니다:
\[ 14 = x + 2 \]
\[ x = 14 - 2 \implies \mathbf{x = 12} \]
다음 분수 쌍 중 동등한(같은) 것은 무엇입니까?
정의: 두 분수가 동등하려면 대각선 곱하기 양이 같아야 합니다.
a) \( \dfrac{5}{6} \) 과 \( \dfrac{15}{18} \)
\( A = 5 \times 18 = 90 \)
\( B = 6 \times 15 = 90 \)
\(A = B\)이므로, 이 분수들은 동등합니다 (\( \frac{5}{6} = \frac{15}{18} \)).
b) \( \dfrac{5}{3} \) 과 \( \dfrac{20}{13} \)
\( A = 5 \times 13 = 65 \)
\( B = 3 \times 20 = 60 \)
\(A \neq B\)이므로, 이 분수들은 동등하지 않습니다.
c) \( \dfrac{25}{35} \) 과 \( \dfrac{5}{7} \)
\( A = 25 \times 7 = 175 \)
\( B = 35 \times 5 = 175 \)
\(A = B\)이므로, 이 분수들은 동등합니다 (\( \frac{25}{35} = \frac{5}{7} \)).
d) \( \dfrac{23}{7} \) 과 \( \dfrac{46}{17} \)
\( A = 23 \times 17 = 391 \)
\( B = 7 \times 46 = 322 \)
\(A \neq B\)이므로, 이 분수들은 동등하지 않습니다.