수학의 거듭제곱 설명 | 7학년 예제 및 연습

거듭제곱은 밑이라고 불리는 숫자가 자기 자신과 몇 번 곱해지는지 보여주는 수학의 기본 개념입니다. 이 페이지에서는 명확하고 상세한 단계별 해답과 함께 거듭제곱과 관련된 7학년 수학 예제 및 대수 질문을 찾을 수 있습니다.

이 연습 문제들은 거듭제곱을 포함한 식 쓰기, 거듭제곱 평가, 그리고 거듭제곱 규칙을 사용한 간소화 등의 주제를 다룹니다.

수학에서 거듭제곱이란 무엇이며 어디에 사용됩니까?

거듭제곱은 숫자가 자기 자신과 반복해서 곱해지는 것을 나타내는 방법입니다. 공식은 다음과 같이 쓰입니다:

\[ \Large{a \times a \times a \times \cdots \times a \quad (n \text{ 번}) = a^n} \]

거듭제곱의 실생활 예제

예제 1: 기본 거듭제곱

\[ 5 \times 5 \times 5 = 5^3 \]

여기서:

  • 밑 (Base) = \(5\)
  • 지수 (Exponent) = \(3\)
  • 의미: 5를 자기 자신과 3번 곱합니다.

예제 2: 큰 수 표현

\[ 100{,}000 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^5 \]

예제 3: 작은 수 표현

\[ 0.00001 = \frac{1}{100{,}000} = \frac{1}{10^5} = 10^{-5} \]

음수 지수는 역수를 취하는 것을 의미합니다. 예를 들어:

\[ 10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} \]

예제 4 및 5: 넓이와 부피 단위

넓이: 한 변의 길이가 \(1\) 미터인 정사각형의 넓이는 다음과 같습니다:
\[ 1 \,\text{m} \times 1 \,\text{m} = 1 \,\text{m}^2 \] (읽는 법: 1 제곱미터)

부피: 한 변의 길이가 \(1\) 미터인 정육면체의 부피는 다음과 같습니다:
\[ 1 \,\text{m} \times 1 \,\text{m} \times 1 \,\text{m} = 1 \,\text{m}^3 \] (읽는 법: 1 세제곱미터)

예제 6: 과학적 접두사

  • 킬로 (Kilo, \(10^3\)): \( 1{,}000 = 10^3 \)
    (예: 1 킬로그램 = \(10^3\) 그램 = \(1{,}000\) 그램)
  • 메가 (Mega, \(10^6\)): \( 1{,}000{,}000 = 10^6 \)
    (예: 1 메가바이트 = \(10^6\) 바이트 = \(1{,}000{,}000\) 바이트)
  • 기가 (Giga, \(10^9\)): \( 1{,}000{,}000{,}000 = 10^9 \)
    (예: 1 기가바이트 = \(10^9\) 바이트 = \(1{,}000{,}000{,}000\) 바이트)

거듭제곱 연습 문제 및 해답

다음 거듭제곱 문제를 풀어보세요. 추론 과정과 최종 정답을 확인하려면 해답 블록을 펼치세요.

질문 1

거듭제곱을 사용하여 다음을 쓰세요:

  1. \( 8 \times 8 \times 8 \times 8 \)
  2. \( 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \)
  3. \( A \times A \times A \)
  4. \( \text{meter} \times \text{meter} \)
  5. \( \text{centimeter} \times \text{centimeter} \times \text{centimeter} \)
해답 보기

밑이 반복되는 인수이고 지수가 자기 자신과 곱해지는 횟수인 거듭제곱의 정의를 사용합니다.

  1. \( 8 \times 8 \times 8 \times 8 = \mathbf{8^4} \)
    (8이 자기 자신과 4번 곱해짐)
  2. \( 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = \mathbf{10^7} \)
  3. \( A \times A \times A = \mathbf{A^3} \)
  4. \( \text{meter} \times \text{meter} = \mathbf{\text{meter}^2} \)
  5. \( \text{centimeter} \times \text{centimeter} \times \text{centimeter} = \mathbf{\text{centimeter}^3} \)

질문 2

다음 값을 구하세요:

  1. \( 2^4 \)
  2. \( 10^4 \)
  3. \( (-2)^4 \)
  4. \( -2^4 \)
해답 보기

곱셈을 사용하여 각 거듭제곱을 전개하고 결과를 계산하세요. (c)와 (d)에서 마이너스 부호의 위치에 특별히 주의하세요.

  1. \( 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = \mathbf{16} \)
  2. \( 10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = \mathbf{10{,}000} \)
  3. \( (-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = \mathbf{16} \)
    (괄호 때문에 마이너스 부호가 밑에 포함됩니다. 네 개의 음수를 곱하면 양수가 됩니다.)
  4. \( -2^4 = -(2 \times 2 \times 2 \times 2) = \mathbf{-16} \)
    (괄호가 없으므로 지수는 2에만 적용됩니다. 마이너스 부호는 거듭제곱 계산 후에 적용됩니다.)

질문 3

거듭제곱을 사용하여 다음을 하나의 거듭제곱으로 나타내세요:

  1. \( 4 \times 8 \)
  2. \( 25 \times 5 \)
  3. \( 16 \times 4 \times 4^3 \)
  4. \( 2 \times 2 \times 8 \times 2^3 \)
  5. \( B \times B \times B^3 \)
해답 보기

하나의 거듭제곱으로 합치려면 숫자를 공통 밑으로 분해한 다음 지수를 더합니다.

  1. \( 4 \times 8 = (2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2) = 2^2 \times 2^3 = \mathbf{2^5} \)
  2. \( 25 \times 5 = (5 \times 5) \times 5 = 5^2 \times 5^1 = \mathbf{5^3} \)
  3. \( 16 \times 4 \times 4^3 = (4 \times 4) \times 4^1 \times 4^3 = 4^2 \times 4^1 \times 4^3 = \mathbf{4^6} \)
  4. \( 2 \times 2 \times 8 \times 2^3 = 2^1 \times 2^1 \times (2 \times 2 \times 2) \times 2^3 = 2^1 \times 2^1 \times 2^3 \times 2^3 = \mathbf{2^8} \)
  5. \( B \times B \times B^3 = B^1 \times B^1 \times B^3 = \mathbf{B^5} \)

질문 4

거듭제곱을 사용하여 다음 식을 간소화된 형태로 다시 쓰세요:

  1. \( 2^3 \times 2^4 \)
  2. \( 6 \times 6^3 \)
  3. \( 5 \times 5^2 \times 5^3 \)
해답 보기

밑이 같은 거듭제곱을 곱할 때는 단순히 지수를 더합니다 (곱셈 법칙: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)).

  1. \( 2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = \mathbf{2^7} \)
    (전개 증명: \((2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2 \times 2) = 2^7\))
  2. \( 6 \times 6^3 = 6^1 \times 6^3 = 6^{1+3} = \mathbf{6^4} \)
  3. \( 5 \times 5^2 \times 5^3 = 5^1 \times 5^2 \times 5^3 = 5^{1+2+3} = \mathbf{5^6} \)

추가 참고 자료 및 링크