집합 이론에 관한 7학년 수학 문제
단계별 해답 포함

7학년 집합 이론 학습 페이지에 오신 것을 환영합니다. 이 플랫폼은 학생, 교사, 그리고 학부모가 집합의 기초 규칙을 익힐 수 있도록 구성되었습니다. 아래에서는 집합의 기수(원소 개수), 원소 포함 관계, 부분집합, 합집합, 교집합을 다루는 연습 문제와 함께 포괄적인 단계별 해답을 확인할 수 있습니다.

연습 문제

  1. 다음으로 정의된 집합 $A$와 집합 $B$의 기수를 구하시오:

    $A = \{a, b, c, d\}$  및  $B = \{1, 4, 7, 9, 10, 12, 23\}$

    해답 보기

    집합의 기수는 해당 집합에 포함된 서로 다른 원소의 개수와 같습니다. 이를 나타내기 위해 표기법 $|A|$ 또는 $\text{Card}(A)$를 사용합니다.

    • 집합 $A$는 $4$개의 서로 다른 원소를 가지므로, $\mathbf{|A| = 4}$ 입니다.
    • 집합 $B$는 $7$개의 서로 다른 원소를 가지므로, $\mathbf{|B| = 7}$ 입니다.
  2. 다음 각 집합의 기수를 구하시오:
    • 글자 "M"으로 시작하는 1년 중 모든 달의 집합.
    • 영어 알파벳의 모든 모음 집합.
    해답 보기

    a) "M"으로 시작하는 달의 집합:
    이 집합을 $S$라고 합시다. 원소를 나열하면 다음과 같습니다: $S = \{\text{March (3월)}, \text{May (5월)}\}$.
    따라서 기수는 $\mathbf{|S| = 2}$ 입니다.

    b) 영어 알파벳의 모든 모음 집합:
    이 집합을 $V$라고 합시다. 원소를 나열하면 다음과 같습니다: $V = \{a, e, i, o, u\}$.
    따라서 기수는 $\mathbf{|V| = 5}$ 입니다.

  3. 집합 $A$와 $B$는 다음과 같이 정의됩니다:

    $A = \{3, 5, 7, 8\}$  및  $B = \{x, y, z\}$

    참 또는 거짓으로 답하시오:
    • $3 \in A$
    • $3 \in B$
    • $x \notin A$
    • $z \in B$
    • $8 \in B$
    해답 보기

    기호 $\in$은 "~의 원소이다"(포함됨)를 의미하며, $\notin$은 "~의 원소는 아니다"를 의미합니다.

    • 참; $3$은 집합 $A$ 내부에 원소로 명확히 존재합니다.
    • 거짓; $3$은 집합 $B$의 원소가 아닙니다.
    • 참; 원소 $x$는 집합 $A$에 속하지 않습니다.
    • 참; $z$는 명백히 집합 $B$의 원소입니다.
    • 거짓; $8$은 집합 $A$에 속하지만, 집합 $B$의 원소는 아닙니다.
  4. 다음 각 집합에 속하는 모든 원소를 나열하시오:
    • $10$보다 작거나 같은 모든 양의 짝수 집합.
    • 단어 "AUSTRALIA"에 있는 모든 고유한 글자의 집합.
    • $3$보다 크고 $16$보다 작은 $3$의 배수인 모든 정수의 집합.
    • $5$보다 크고 $35$보다 작은 $5$의 배수인 모든 정수의 집합.
    • $3$으로 나누어떨어지는 모든 소수의 집합.
    • 절댓값이 $7$과 같은 모든 숫자의 집합.
    해답 보기
    • $\{2, 4, 6, 8, 10\}$ ($2$부터 시작하여 $10$을 포함하는 양의 짝수).
    • $\{A, U, S, T, R, L, I\}$ (원소나열법에서는 중복되는 글자 "A"를 한 번만 적습니다).
    • $\{6, 9, 12, 15\}$ ($3$과 $16$ 사이에 엄격히 위치하는 $3$의 배수).
    • $\{10, 15, 20, 25, 30\}$ ($5$와 $35$ 사이에 엄격히 위치하는 $5$의 배수).
    • $\{3\}$ ($3$으로 나누어떨어지는 유일한 소수는 $3$ 자신뿐입니다).
    • $\{-7, 7\}$ ($|-7| = 7$ 및 $|7| = 7$ 모두 성립).
  5. 다음 집합들이 주어져 있습니다:

    $A = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$
    $B = \{3, 5, 7\}$
    $C = \{3, 5, 7, 20, 25, 30\}$
    $D = \{20, 25, 30\}$

    참 또는 거짓으로 답하시오:
    • $A \subseteq B$
    • $B \subseteq A$
    • $B \nsubseteq C$
    • $C \subseteq D$
    • $D \nsubseteq A$
    해답 보기

    기호 $\subseteq$는 "~의 부분집합이다"(첫 번째 집합의 모든 원소가 두 번째 집합 안에 있어야 함)를 의미합니다. 기호 $\nsubseteq$는 "부분집합이 아니다"를 의미합니다.

    • 거짓; 원소 $2, 4, 6$은 $A$에 속하지만 $B$에는 없습니다.
    • 참; 집합 $B$의 모든 원소($3, 5, 7$)가 집합 $A$ 안에도 포함되어 있습니다.
    • 거짓; $B$의 모든 원소가 $C$ 안에 존재하므로, $B$는 부분집합입니다($B \subseteq C$).
    • 거짓; 원소 $3, 5, 7$은 집합 $C$에 있지만 집합 $D$에는 전혀 없습니다.
    • 참; 원소 $20, 25, 30$은 집합 $D$에 존재하지만 집합 $A$ 안에는 어디에도 존재하지 않습니다.
  6. 문제 5에서 정의된 집합 $A, B, C, D$를 사용하여 다음을 구하시오:
    • a) $A \cup B$
    • b) $A \cap B$
    • c) $B \cap C$
    • d) $C \cup B$
    • e) $D \cap C$
    • f) $(A \cap B) \cap C$
    • g) $(A \cup B) \cap (C \cup D)$
    • h) $(A \cup B) \cup (C \cup D)$
    해답 보기

    합집합 기호($\cup$)는 두 집합의 모든 원소를 합치고, 교집합 기호($\cap$)는 두 집합에 공통으로 속하는 원소만 추출한다는 점을 기억하세요.

    • $A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\} = A$ ($B$가 $A$에 완전히 포함되어 있으므로).
    • $A \cap B = \{3, 5, 7\} = B$ (집합 $A$와 $B$ 사이의 공통 원소).
    • $B \cap C = \{3, 5, 7\} = B$ (집합 $B$와 $C$ 사이의 공통 원소).
    • $C \cup B = \{3, 5, 7, 20, 25, 30\} = C$ ($B$가 $C$에 완전히 포함되어 있으므로).
    • $D \cap C = \{20, 25, 30\} = D$ ($D \subseteq C$ 이므로).
    • $(A \cap B) \cap C = B \cap C = \{3, 5, 7\} = B$ (먼저 $A \cap B = B$를 구한 후, $C$와 교집합을 구함).
    • $(A \cup B) \cap (C \cup D) = A \cap C = \{3, 5, 7\} = B$ (괄호 안을 먼저 계산하면 $(A \cup B) = A$ 이고 $(C \cup D) = C$가 되므로, 결국 $A \cap C$가 됨).
    • $(A \cup B) \cup (C \cup D) = A \cup C = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 20, 25, 30\}$ ($A$와 $C$의 모든 고유 원소를 함께 결합).