이 페이지에서는 수학에서 비례식을 세우고 푸는 방법을 배웁니다. 도입부 학습 내용 아래에서, 풀이 과정을 검증하는 데 도움이 되는 단계별 해답이 포함된 7학년 연습 문제 시리즈를 확인할 수 있습니다.
아래 표는 자동차가 킬로미터(km) 단위로 이동한 거리와 그 거리를 이동하는 데 필요한 시간(시간)을 보여줍니다. 자동차는 일정한 속력으로 달린다고 가정합니다. 500킬로미터를 이동하는 데 몇 시간이 걸릴까요?
| 거리 (km) | 50 | 100 | 150 | 500 |
|---|---|---|---|---|
| 시간 (시간) | 1 | 2 | 3 | $t$ |
처음 세 열에 대해 거리를 시간으로 나누면 일정한 비율이 얻어집니다:
$$\frac{50}{1} = 50, \quad \frac{100}{2} = 50, \quad \frac{150}{3} = 50$$
이 비율은 $50 \text{ km/hr}$의 일정한 속력입니다. 거리가 시간에 비례한다고 말합니다. 자동차가 동일한 속력을 유지하므로, 이 비례 규칙은 $500 \text{ km}$ 거리에도 적용됩니다:
$$\frac{150}{3} = \frac{500}{t}$$
비례식을 풀 때 주된 어려움은 분모($3$과 $t$)가 존재한다는 것입니다. 비례식을 풀려면 이 분모들을 없애야 합니다. 양쪽에 분모들의 곱($3 \times t = 3t$)을 곱하여 이를 해결합니다.
1단계: 양쪽에 $3t$를 곱합니다:
$$3t \times \frac{150}{3} = 3t \times \frac{500}{t}$$
2단계: 각 변의 공통 항을 소거하여 간단히 합니다:
$$t \times 150 = 3 \times 500$$
$$150t = 1500$$
3단계: 양쪽을 $150$으로 나누어 $t$를 고립시킵니다:
$$t = \frac{1500}{150} = \mathbf{10 \text{ 시간}}$$
$$\frac{x}{2} = \frac{4}{8}$$
비례식의 양쪽에 분모들의 곱($2 \times 8 = 16$)을 곱합니다:
$$16 \times \frac{x}{2} = 16 \times \frac{4}{8}$$
공통 인수를 소거하여 간단히 합니다:
$$8x = 2 \times 4$$
$$8x = 8$$
양쪽을 $8$로 나눕니다:
$$\frac{8x}{8} = \frac{8}{8} \implies \mathbf{x = 1}$$
$$\frac{3}{p} = \frac{1}{5}$$
비례식의 양쪽에 분모들의 곱($5 \times p = 5p$)을 곱합니다:
$$5p \times \frac{3}{p} = 5p \times \frac{1}{5}$$
공통 인수를 소거하여 간단히 합니다:
$$5 \times 3 = p \times 1$$
$$\mathbf{15 = p}$$
비례식의 양쪽에 분모들의 곱($5 \times 15 = 75$)을 곱합니다:
$$75 \times \frac{31}{5} = 75 \times \frac{w}{15}$$
나눗셈을 계산하여 간단히 합니다:
$$15 \times 31 = 5 \times w$$
$$465 = 5w$$
양쪽을 $5$로 나누어 $w$를 고립시킵니다:
$$w = \frac{465}{5} \implies \mathbf{w = 93}$$
대체 지름길 방법: $w$만 고립시키면 되므로, 양쪽에 간단히 $15$를 곱해도 됩니다:
$$15 \times \frac{31}{5} = w \implies 3 \times 31 = w \implies \mathbf{w = 93}$$
$$\frac{2k}{3} = \frac{20}{6}$$
비례식의 양쪽에 분모들의 곱($3 \times 6 = 18$)을 곱합니다:
$$18 \times \frac{2k}{3} = 18 \times \frac{20}{6}$$
먼저 나눗셈을 수행하여 간단히 합니다:
$$6 \times 2k = 3 \times 20$$
$$12k = 60$$
양쪽을 $12$로 나눕니다:
$$\frac{12k}{12} = \frac{60}{12} \implies \mathbf{k = 5}$$
$$\frac{3}{7} = \frac{y}{0}$$
해 없음. 수학에서 0으로 나누는 것은 정의되지 않으므로, 오른쪽에 있는 분수가 유효한 수값을 가질 수 없습니다.
$$\frac{1}{4} = \frac{0}{x}$$
해 없음. 만약 $x = 0$이면 우변은 정의되지 않습니다. $x \neq 0$인 다른 값에 대해서는 우변이 $0$으로 간단히 정리됩니다. 그러나 좌변은 $\frac{1}{4}$로 $0$과 같지 않습니다. 따라서 이 비례식은 유효한 해가 없습니다.
먼저 우변의 분수를 가장 간단한 형태로 약분합니다:
$$\frac{3}{12} = \frac{3 \div 3}{12 \div 3} = \frac{1}{4}$$
비례식을 다시 씁니다:
$$\frac{m}{4} = \frac{1}{4}$$
분모가 서로 같으므로 분자도 같아야 합니다. 따라서:
$$\mathbf{m = 1}$$
$$\frac{6}{14} = \frac{2t}{14}$$
양쪽의 분모가 이미 $14$로 같으므로, 비례식이 참이 되려면 분자가 서로 같아야 합니다:
$$6 = 2t$$
양쪽을 $2$로 나누어 $t$를 고립시킵니다:
$$\frac{6}{2} = \frac{2t}{2} \implies \mathbf{3 = t}$$