상세한 해답이 포함된 8학년 원 문제

이 페이지는 엄선된 활용 문제와 단계별 해답을 통해 학생, 학부모, 교사가 원 기하학을 마스터할 수 있도록 설계되었습니다. 각 질문 아래에 숨겨진 해답을 펼쳐 모든 단계에 담긴 수학적 사고 과정을 확인해 보세요.

이 페이지의 문제는 다음과 같은 필수적인 8학년 기하학 주제를 다룹니다:

연습 문제

  1. 넓이의 비: 세 원 \( C_1 \), \( C_2 \), \( C_3 \)의 중심 \( O_1 \), \( O_2 \), \( O_3 \)은 직선 \( L \) 위에 있으며 모두 같은 점에서 접합니다. 가장 큰 원의 지름이 20단위일 때, 가장 큰 원의 넓이와 가장 작은 원의 넓이의 비는 얼마입니까? Three tangent circles of decreasing sizes inside one another
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    1단계: 가장 큰 원 (\( C_1 \))의 넓이

    • 원 \( C_1 \)의 지름이 20단위이므로 반지름(\( r_1 \))은 10단위입니다.
    • 원 \( C_1 \)의 넓이 \( A \) = \( \pi(10)^2 = 100\pi \)입니다.

    2단계: 가장 작은 원 (\( C_3 \))의 넓이

    • 그림에 따르면 \( C_2 \)의 지름은 \( C_1 \)의 반지름(10단위)과 같습니다. 따라서 \( r_2 = 5 \)단위입니다.
    • \( C_3 \)의 지름은 \( C_2 \)의 반지름(5단위)과 같습니다. 따라서 \( C_3 \)의 반지름(\( r_3 \))은 2.5단위입니다.
    • 원 \( C_3 \)의 넓이 \( B \) = \( \pi(2.5)^2 \)입니다.

    3단계 찾기: 비 구하기

    • \( \dfrac{A}{B} = \dfrac{\pi(10)^2}{\pi(2.5)^2} \)
    • \( = \left(\dfrac{10}{2.5}\right)^2 = 4^2 = 16 \)
    • 비는 16:1입니다.
  2. 복합 도형: 파킨슨 부인(Mrs. Parkinson)의 정원은 아래와 같이 4개의 정사각형과 2개의 반원으로 이루어져 있습니다. 각 작은 정사각형의 넓이는 4제곱미터입니다. 정원의 총넓이를 구하시오. Garden layout with 4 central squares flanked by 2 semicircles
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    1단계: 정사각형들의 넓이

    • 4개 정사각형의 총넓이 = \( 4 \times 4 = 16 \text{ m}^2 \).

    2단계: 반원들의 치수 구하기

    • 한 작은 정사각형의 넓이가 \( 4 \text{ m}^2 \)이므로 한 변의 길이는 \( \sqrt{4} = 2 \text{ m} \)입니다.
    • 각 반원의 반지름은 정사각형의 한 변과 일치하므로 \( r = 2 \text{ m} \)입니다.

    3단계: 총넓이 계산하기

    • 두 반원이 합쳐져 하나의 온전한 원을 이룹니다.
    • 원의 넓이 = \( \pi \times 2^2 = 4\pi \text{ m}^2 \).
    • 총넓이 = \( 16 + 4\pi \approx 16 + 12.56 = \) \( 28.56 \text{ m}^2 \) (\(\pi \approx 3.14\) 사용).
  3. 실세계 응용 문제: 스프링클러가 모든 방향으로 최대 12미터 거리까지 물을 뿌릴 수 있습니다. 이 스프링클러가 물을 줄 수 있는 정원의 넓이는 얼마입니까? 정답을 가장 가까운 제곱미터로 반올림하시오.
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    • 스프링클러가 한 바퀴 회전하면 반지름이 12미터인 원형 구역에 물이 뿌려집니다.
    • 넓이 = \( \pi r^2 \)
    • 넓이 = \( \pi(12)^2 = 144\pi \)
    • \( 144 \times 3.14159 \approx 452.389 \)
    • 스프링클러는 약 452제곱미터 면적에 물을 줄 수 있습니다.
  4. 동심원: 반지름이 10미터인 원형 정원이 너비가 1미터인 산책로로 둘러싸여 있습니다. 산책로(색칠된 부분)의 넓이를 구하시오. Inner circle surrounded by a shaded outer ring representing a walkway
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    • 산책로는 안쪽의 작은 원과 바깥쪽의 큰 원 사이에 둘러싸여 있습니다.
    • 안쪽 반지름 = 10미터.
    • 바깥쪽 반지름 = \( 10 + 1 = 11 \)미터.
    • 산책로 넓이 = 바깥쪽 원의 넓이 - 안쪽 원의 넓이
    • 넓이 = \( (\pi \times 11^2) - (\pi \times 10^2) \)
    • 넓이 = \( 121\pi - 100\pi \) = \( 21\pi \text{ m}^2 \)
  5. 단위 비용 응용: 원형 피자의 가격이 $19.99입니다. 피자의 지름이 36 cm일 때, 1제곱센티미터당 가격은 얼마입니까?
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    • 먼저 반지름을 구합니다: \( 36 \div 2 = 18 \text{ cm} \).
    • 전체 넓이를 계산합니다: \( \pi \times 18^2 = 324\pi \approx 1017.87 \text{ cm}^2 \).
    • 전체 비용을 전체 넓이로 나누어 1제곱센티미터당 비용을 계산합니다.
    • \( \dfrac{19.99}{1017.87} \approx 0.0196 \text{ 달러} \)
    • 비용은 1제곱센티미터당 약 2센트입니다.
  6. 넓이로부터 거꾸로 계산하기: 넓이가 5제곱미터인 로빈슨 가족의 원형 화단에는 울타리가 얼마나 필요합니까? (정답을 가장 가까운 미터로 반올림하시오).
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    울타리는 바깥쪽을 두르므로 원주를 구해야 합니다. 먼저 반지름을 구해야 합니다.

    • \( \pi \times r^2 = 5 \)
    • \( r^2 = \dfrac{5}{\pi} \)
    • \( r = \sqrt{\dfrac{5}{\pi}} \approx 1.26 \text{ 미터} \)

    이제 원주를 계산합니다:

    • \( C = 2\pi r \)
    • \( C = 2 \times \pi \times 1.26 \approx 7.92 \text{ 미터} \)
    • 약 8미터의 울타리가 필요합니다.
  7. 백분율 증가: 원형 디스크의 반지름이 20% 증가했습니다. 디스크 넓이의 백분율 증가는 얼마입니까?
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    • 원래 넓이 = \( \pi r^2 \).
    • 반지름이 20% 증가하면 새로운 반지름은 \( r + 0.20r = 1.2r \)입니다.
    • 새로운 넓이 = \( \pi(1.2r)^2 = 1.44\pi r^2 \).
    • 넓이의 차이 구하기: \( 1.44\pi r^2 - 1\pi r^2 = 0.44\pi r^2 \).
    • 변화율을 구하려면 차이를 원래 넓이로 나누고 100을 곱합니다.
    • \( \left(\dfrac{0.44\pi r^2}{\pi r^2}\right) \times 100\% = 0.44 \times 100\% = \) \( 44\% \).
  8. 처마 장식(오버행) 응용: 원형 탁자의 지름이 100인치입니다. 원형 식탁보가 탁자 사방으로 15인치씩 처져 내려옵니다. 식탁보의 넓이는 얼마입니까?
    단계별 해답 보기
    • 탁자 지름이 100인치이고 식탁보가 양쪽으로 15인치씩 처져 내려오므로, 식탁보의 총지름은 \( 100 + 15 + 15 = 130 \text{ 인치} \)입니다.
    • 식탁보의 반지름은 \( 130 \div 2 = 65 \text{ 인치} \)입니다.
    • 넓이 = \( \pi r^2 = \pi(65)^2 \)
    • 넓이 = \( 4225\pi \approx \) \( 13,273 \text{ 제곱인치} \) (참고: \(\pi\)에 3.14를 사용하면 대략 13,267제곱인치로 반올림됨).
  9. 정사각형과 원: ABCD는 한 꼭짓점은 원의 중심에 있고 두 꼭짓점은 원 위에 있는 정사각형입니다. 원의 넓이가 100제곱센티미터일 때, 대각선 \( AC \)의 길이는 얼마입니까? Square inscribed partially in a circle with vertex A at the center
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    1단계: 반지름의 제곱 구하기

    • 넓이 = \( \pi r^2 = 100 \implies r^2 = \dfrac{100}{\pi} \).

    2단계: 피타고라스 정리 사용하기

    • 꼭짓점 A가 중심에 있고 B와 D가 원 위에 있으므로, 변 \( AB \)와 \( AD \)는 원의 반지름(\( r \))과 같습니다.
    • 직각삼각형 \( \triangle ABC \)에서 대각선 \( AC \)는 빗변입니다.
    • \( AC^2 = AB^2 + BC^2 = r^2 + r^2 = 2r^2 \)
    • \( r^2 \)의 값 대입하기: \( AC^2 = 2\left(\dfrac{100}{\pi}\right) = \dfrac{200}{\pi} \).
    • \( AC = \sqrt{\dfrac{200}{\pi}} = 10\sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \approx \) \( 8 \text{ cm} \).
  10. 둘레와 넓이의 비: 원 A의 둘레와 원 B의 둘레의 비가 3:1입니다. 원 A의 넓이와 원 B의 넓이의 비는 얼마입니까?
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    • 원 A의 반지름을 \( R_A \), 원 B의 반지름을 \( R_B \)라고 합시다.
    • 둘레(원주)의 비는 \( \dfrac{2\pi R_A}{2\pi R_B} = \dfrac{R_A}{R_B} = \dfrac{3}{1} \)입니다.
    • 따라서 \( R_A = 3R_B \)입니다.
    • 넓이의 비는 \( \dfrac{\pi R_A^2}{\pi R_B^2} \)입니다.
    • \( R_A \) 자리에 \( 3R_B \) 대입하기: \( \dfrac{\pi(3R_B)^2}{\pi R_B^2} = \dfrac{9\pi R_B^2}{\pi R_B^2} = 9 \).
    • 넓이의 비는 9:1입니다.
  11. 교차하는 현: 중심이 \( O \)인 원에서 현 \( AB \)가 반지름과 수직입니다. 반지름은 현의 중점 \( P \)에서 현과 만납니다. 원의 반지름의 길이가 10단위이고 중심에서 현까지의 거리(\( OP \))가 6단위일 때, 현 \( AB \)의 길이를 구하시오. A circle showing a chord intersected by a perpendicular radius
    단계별 해답 보기
    • 반지름이 현과 수직이므로, \( O \)는 중심, \( A \)는 현의 끝점, \( P \)는 중점인 직각삼각형 \( \triangle OAP \)를 형성합니다.
    • 빗변 \( OA \)는 반지름 = 10단위입니다.
    • 변 \( OP \)는 현까지의 거리 = 6단위입니다.

    1단계: 피타고라스 정리를 사용하여 \( AP \) 구하기

    • \( OA^2 = OP^2 + AP^2 \)
    • \( 10^2 = 6^2 + AP^2 \)
    • \( 100 = 36 + AP^2 \)
    • \( AP^2 = 100 - 36 = 64 \implies AP = 8 \text{ 단위} \).

    2단계: 현의 전체 길이 구하기

    • \( P \)가 현을 이등분하므로 \( AB = 2 \times AP \)입니다.
    • \( AB = 2 \times 8 = \) \( 16 \text{ 단위} \).

링크 및 참고 자료

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