정답이 포함된 8학년 기하학 문제 및 질문

이 페이지는 맞춤형 질문과 단계별 해답을 통해 학생, 학부모, 교사가 필수적인 기하학 개념을 연습할 수 있도록 설계되었습니다. 각 질문 아래에 숨겨진 해답을 펼쳐 모든 해답의 근거가 되는 공식과 사고 과정을 확인해 보세요.

이 페이지의 문제는 다음과 같은 핵심 8학년 기하학 주제를 다룹니다:

연습 문제

  1. 원기둥 공식: 반지름이 5 cm이고 높이가 34 cm인 닫힌 원기둥 모양 용기의 총 겉넓이와 부피를 구하시오.
    힌트: 넓이 \( A = 2\pi r^2 + 2\pi rh \), 부피 \( V = \pi r^2 h \)
    단계별 해답 보기

    1단계: 총 겉넓이 계산하기

    • \( A = 2\pi(5)^2 + 2\pi(5)(34) \) (\( r=5 \) 및 \( h=34 \) 대입)
    • \( A = 2\pi(25) + 2\pi(170) \)
    • \( A = 50\pi + 340\pi \)
    • 넓이 = \( 390\pi \text{ cm}^2 \)

    2단계: 부피 계산하기

    • \( V = \pi(5)^2(34) \)
    • \( V = \pi(25)(34) \)
    • 부피 = \( 850\pi \text{ cm}^3 \)
  2. 원뿔 공식: 반지름이 5 cm이고 높이가 15 cm인 닫힌 원뿔 모양 용기의 총 겉넓이와 부피를 구하시오. (정답을 가장 가까운 정수로 반올림하시오).
    힌트: 넓이 \( A = \pi r^2 + \pi r\sqrt{r^2 + h^2} \), 부피 \( V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h \)
    단계별 해답 보기

    1단계: 총 겉넓이 계산하기

    • 먼저 모선의 길이를 구합니다: \( \sqrt{5^2 + 15^2} = \sqrt{25 + 225} = \sqrt{250} \approx 15.81 \) cm.
    • \( A = \pi(5)^2 + \pi(5)(15.81) \)
    • \( A = 25\pi + 79.05\pi = 104.05\pi \)
    • \( 104.05 \times 3.14159 \approx 326.88 \)
    • 넓이 \(\approx 327 \text{ cm}^2 \)

    2단계: 부피 계산하기

    • \( V = \dfrac{1}{3}\pi(5)^2(15) \)
    • \( V = \dfrac{1}{3}\pi(25)(15) = \pi(25)(5) = 125\pi \)
    • \( 125 \times 3.14159 \approx 392.69 \)
    • 부피 \(\approx 393 \text{ cm}^3 \)
  3. 거꾸로 계산하기 (정육면체): 어떤 정육면체의 여섯 면의 총 겉넓이가 150제곱피트입니다. 이 정육면체의 부피는 얼마입니까?
    힌트: 넓이 \( A = 6s^2 \), 부피 \( V = s^3 \) (여기서 \( s \)는 한 변의 길이)
    단계별 해답 보기

    1단계: 한 변의 길이(\( s \)) 구하기

    • 총 겉넓이는 동일한 정사각형 면 6개의 합입니다.
    • \( 6s^2 = 150 \)
    • \( s^2 = 25 \) (6으로 나누기)
    • \( s = 5 \text{ 피트} \) (제곱근 구하기)

    2단계: 부피 계산하기

    • \( V = s^3 = 5^3 = 5 \times 5 \times 5 \)
    • 부피 = \( 125 \text{ 세제곱피트} \)
  4. 여각: 다음 중 여각 관계인 두 각은 어느 것입니까?
    1. 21\(^{\circ} \)와 78\(^{\circ} \)
    2. 58\(^{\circ} \)와 22\(^{\circ} \)
    3. 67\(^{\circ} \)와 23\(^{\circ} \)
    4. 140\(^{\circ} \)와 40\(^{\circ} \)
    정의: 여각의 합은 90\(^{\circ} \)입니다.
    단계별 해답 보기

    합이 정확히 90\(^{\circ} \)가 되는 쌍을 찾아야 합니다:

    • A) 21 + 78 = 99\(^{\circ} \)
    • B) 58 + 22 = 80\(^{\circ} \)
    • C) 67 + 23 = 90\(^{\circ} \) (이들은 여각 관계입니다)
    • D) 140 + 40 = 180\(^{\circ} \) (이들은 보각 관계입니다)

    정답: C

  5. 보각: 다음 중 보각 관계가 아닌 두 각은 어느 것입니까?
    1. 30\(^{\circ} \)와 150\(^{\circ} \)
    2. 5\(^{\circ} \)와 175\(^{\circ} \)
    3. 89\(^{\circ} \)와 91\(^{\circ} \)
    4. 23\(^{\circ} \)와 177\(^{\circ} \)
    정의: 보각의 합은 180\(^{\circ} \)입니다.
    단계별 해답 보기

    합이 정확히 180\(^{\circ} \)가 되지 않는 쌍을 찾아야 합니다:

    • A) 30 + 150 = 180\(^{\circ} \)
    • B) 5 + 175 = 180\(^{\circ} \)
    • C) 89 + 91 = 180\(^{\circ} \)
    • D) 23 + 177 = 200\(^{\circ} \) (이들은 180이 되지 않습니다)

    정답: D

  6. 사다리꼴 넓이: 사다리꼴의 넓이가 400제곱센티미터가 되도록 하는 높이 \( h \)를 구하시오. Trapezoid with top base 10cm, bottom base 30cm, and height h
    힌트: \( A_{\text{사다리꼴}} = \dfrac{1}{2}h(b_1 + b_2) \)
    단계별 해답 보기
    • 주어진 밑변은 \( b_1 = 27 \) 및 \( b_2 = 13 \)입니다. 넓이는 400입니다.
    • \( 400 = \dfrac{1}{2}h(27 + 13) \) (알려진 값 대입하기)
    • \( 400 = \dfrac{1}{2}h(40) \)
    • \( 400 = 20h \)
    • \( h = \dfrac{400}{20} \)
    • \( h = 20 \text{ cm} \)
  7. 평행사변형 넓이: 평행사변형의 넓이가 600제곱피트가 되도록 하는 너비 \( w \)를 구하시오. Parallelogram with height 20 feet and base w
    힌트: \( A_{\text{평행사변형}} = \text{밑변} \times \text{높이} \)
    단계별 해답 보기
    • 주어진 높이는 20피트입니다. 넓이는 600입니다. 밑변은 \( w \)로 표시되어 있습니다.
    • \( 600 = w \times 20 \)
    • \( w = \dfrac{600}{20} \)
    • \( w = 30 \text{ 피트} \)
  8. 복합 도형의 넓이: 제공된 시각적 치수를 바탕으로 색칠된 도형의 넓이를 구하시오. Complex geometric shape
    단계별 해답 보기
    • 색칠된 영역의 넓이는 40 by 25 크기의 큰 직사각형 넓이에서 14 by 12 크기의 작은 흰색 직사각형 넓이(왼쪽)와 높이 10, 너비 25인 흰색 삼각형 넓이(오른쪽)를 뺀 것과 같습니다.
    • \( \text{색칠된 영역의 넓이} = 40 \times 25 - 14 \times 12 - \dfrac{1}{2} \times 10 \times 25 = 707 \; \text {cm}^2 \)
  9. 윗면이 뚫린 상자의 겉넓이: 윗면이 열려 있는 상자의 총 겉넓이를 구하시오. Open rectangular box dimensions
    단계별 해답 보기

    윗면이 열린 상자의 겉넓이를 구하려면 밑면(12 by 9)의 넓이에 앞면(12 by 11)의 넓이의 2배와 오른쪽 면(11 by 9)의 넓이의 2배를 더합니다. 윗면은 포함하지 않습니다.

    • 그래프에 제공된 치수를 사용하여 개별 직사각형 면들의 넓이를 계산합니다.
    • \( \text{총 겉넓이} = 12 \times 9 + 2 \times 11 \times 9 + 2 \times 11 \times 12 = 570 \; \text{cm}^2 \).
  10. 좌표 기하학: 사각형 ABCD가 평행사변형일 때, 점 D의 좌표는 무엇입니까? Coordinate grid showing points A, B, and C
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    ABCD가 평행사변형이 되려면 마주 보는 변들이 평행하고 길이가 같아야 합니다. 벡터를 이용할 때 ABCD가 평행사변형이 되려면 벡터 \( \vec{AB} \)와 \( \vec{DC} \)가 같아야 합니다.

    • \( \vec{AB} \)의 성분 = \( \lt 8-2 , 6 - 6 \gt = \lt 6 , 0 \gt \).
    • 점 D의 좌표를 \( (a,b) \)라고 합시다.
    • \( \vec{DC} \)의 성분 = \( \lt 7-a , 2 - b \gt \).
    • 벡터는 성분이 같을 때 서로 같으므로, 방정식 \( 7 - a = 6 \) 및 \( 2 - b = 0 \)이 성립합니다.
    • 방정식을 풀면 \( a = 1 \) 및 \( b = 2 \)를 얻습니다.
    • 점 D의 위치는 (1, 2)입니다.
  11. 직각삼각형: 제시된 삼각형 중 직각삼각형은 어느 것입니까? Four triangles labeled A, B, C, D
    힌트: 직각삼각형에서는 \( a^2 + b^2 = c^2 \) (피타고라스 정리)가 성립하며 한 각이 반드시 90\(^{\circ} \)여야 합니다.
    단계별 해답 보기
    • A: 삼각형 A에 각도가 주어져 있습니다. 세 번째 각은 \(180-62-28 = 90^{\circ} \)이므로 삼각형 A는 직각삼각형입니다.
    • B: 삼각형 B에 변들이 주어져 있습니다. 길이 \( 5 \)인 가장 긴 변이 빗변이라고 가정하고 피타고라스 정리를 사용합니다: \( 3^2 + 3.9^2 = 24.21 \)은 \( 5^2 \)과 같지 않으므로 삼각형 B는 직각삼각형이 아닙니다.
    • C: 삼각형 C에 변들이 주어져 있습니다. 길이 \( 15 \)인 가장 긴 변이 빗변이라고 가정하고 피타고라스 정리를 사용합니다: \( 9^2 + 12^2 = 225 \)는 \( 15^2 = 225 \)와 같으므로 삼각형 C는 직각삼각형입니다.
    • 삼각형 A와 C는 직각삼각형입니다.
  12. 삼각형의 각: 삼각형 ABC가 각 B = 90\(^{\circ} \)인 직각삼각형일 때, 외각 \( x \)를 구하시오. Right triangle with an exterior angle x
    힌트: 내각의 합은 180\(^{\circ} \)입니다. 외각과 그와 인접한 내각은 보각 관계(합이 180\(^{\circ} \))입니다.
    단계별 해답 보기
    • 먼저 삼각형 ABC에서 내각의 합이 180\(^{\circ} \)라는 규칙을 사용하여 빠진 내각을 결정합니다.
    • \( x \)와 인접한 내각은 \( 180^{\circ} - 90^{\circ} - 47^{\circ} = 43^{\circ} \)입니다.
    • \( x \)가 해당 내각 및 \( 35^{\circ} \) 각과 함께 직선을 이루므로 이들의 합은 180\(^{\circ} \)가 되어야 합니다.
    • \( x + 43 + 35 = 180^{\circ} \)
    • \( x \)에 대해 풀기: \( x = 102^{\circ} \)
  13. 닮은 삼각형: 세 삼각형이 모두 닮음일 때, 모든 미지의 변 \( x, y, z, \) 및 \( w \)를 구하시오. Three similar triangles of increasing scale
    힌트: 두 삼각형이 닮음일 때, 대응하는 변은 비례합니다: \( \dfrac{a}{a'} = \dfrac{b}{b'} = \dfrac{c}{c'} \)
    단계별 해답 보기

    빠진 변을 찾으려면 닮은 삼각형의 대응변을 사용하여 비례식을 세웁니다.

    • \( \dfrac{12}{36} = \dfrac{17}{y} = \dfrac{3}{x} \)
    • \( \dfrac{12}{z} = \dfrac{17}{204} = \dfrac{3}{w} \)
    • 방정식 \( \dfrac{12}{36} = \dfrac{17}{y} \), \( \dfrac{12}{36} = \dfrac{3}{x} \), \( \dfrac{12}{z} = \dfrac{17}{204} \), 그리고 \( \dfrac{17}{204} = \dfrac{3}{w} \)를 풀어서 값을 구합니다.
    • \( x = 9 \)
    • \( y = 51 \)
    • \( z = 144 \)
    • \( w = 36 \)
  14. 좌표 대칭: 꼭짓점이 (-2,6), (6,8), (9,2), (4,-1)인 사각형을 x축에 대해 대칭 이동했습니다. 대칭 이동 후 꼭짓점들의 좌표는 무엇입니까?
    힌트: x축 대칭 이동: \( (x,y) \to (x,-y) \)
    단계별 해답 보기

    점을 x축에 대해 대칭 이동할 때 x-좌표는 그대로 유지되고 y-좌표는 부호가 바뀝니다.

    • \( (-2, 6) \to \) \( (-2, -6) \)
    • \( (6, 8) \to \) \( (6, -8) \)
    • \( (9, 2) \to \) \( (9, -2) \)
    • \( (4, -1) \to \) \( (4, 1) \)
  15. 부피의 비: 정육면체 A의 한 변은 정육면체 B의 한 변의 3배입니다. 정육면체 A의 부피는 3,375 세제곱피트입니다. 정육면체 B의 부피를 구하시오.
    힌트: \( V = s^3 \)
    단계별 해답 보기

    방법 1: 축척

    • 한 변의 길이 비가 3:1이면 부피 비는 세제곱이 됩니다: \( 3^3 : 1^3 = 27:1 \).
    • 즉, 정육면체 A는 정육면체 B보다 부피가 27배 큽니다.
    • \( 3375 \div 27 = \) \( 125 \text{ 세제곱피트} \).

    방법 2: 대수학

    • \( V_A = (s_A)^3 = 3375 \)이므로 \( s_A = \sqrt[3]{3375} = 15 \text{ 피트} \)입니다.
    • \( s_A = 3 \times s_B \)이므로 \( 15 = 3 \times s_B \)이고, 따라서 \( s_B = 5 \text{ 피트} \)입니다.
    • \( V_B = (5)^3 = \) \( 125 \text{ 세제곱피트} \).
  16. 넓이의 비 (닮은 직사각형): 직사각형 A의 길이는 24 cm이고 직사각형 B의 길이는 96 cm입니다. 두 직사각형은 닮음입니다. A의 넓이와 B의 넓이의 비를 구하시오.
    힌트: 닮은 도형의 넓이 비는 대응하는 변의 길이 비의 제곱입니다.
    단계별 해답 보기
    • 대응하는 길이의 비를 구합니다: \( \dfrac{24}{96} \).
    • 변의 비를 약분합니다: \( \dfrac{24}{96} = \dfrac{1}{4} \).
    • 넓이 비를 구하려면 변의 비를 제곱합니다: \( \left(\dfrac{1}{4}\right)^2 = \dfrac{1^2}{4^2} = \dfrac{1}{16} \).
    • A의 넓이와 B의 넓이의 비는 1:16입니다.

링크 및 참고 자료

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