연습 문제 및 해답
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다음 식을 계산하시오:
a) \([-2 \times (-4) + 3] \times [3 \times (-4) - 4]\)
b) \([-2 \times (-3 + 1) + 3] \times [2 \times (-3 - 5) - 4]\)단계별 해답 보기
a)
\([-2 \times (-4) + 3] \times [3 \times (-4) - 4]\)
\(= [8 + 3] \times [-12 - 4]\)
\(= 11 \times (-16) = -176\)b)
\([-2 \times (-3 + 1) + 3] \times [2 \times (-3 - 5) - 4]\)
\(= [-2 \times (-2) + 3] \times [2 \times (-8) - 4]\)
\(= [4 + 3] \times [-16 - 4]\)
\(= 7 \times (-20) = -140\) -
다음 중 유리수가 아닌 것은 무엇입니까?
a) \(0.2\) b) \(\pi\) c) \(\dfrac{2}{5}\)단계별 해답 보기
정답: b) \(\pi\)
\(\pi\)는 두 정수의 간단한 분수로 표현할 수 없으므로 유리수가 아닙니다.
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숫자 34.6597에서 숫자 5의 자릿값은 얼마입니까?
단계별 해답 보기
숫자 5는 소수점 아래 둘째 자리(백분의 일의 자리)에 있으므로, 그 값은 \(0.05\) 또는 \(\dfrac{5}{100}\)입니다.
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수열의 다음 항은 무엇입니까? \(3, 6, 9, 12, \ldots\)
단계별 해답 보기
항이 진행될 때마다 \(3\)을 더한다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 다음 항은 \(12 + 3 = 15\)입니다.
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수열의 다음 항은 무엇입니까? \(1, 3, 9, 27, \ldots\)
단계별 해답 보기
항이 진행될 때마다 \(3\)을 곱한다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 다음 항은 \(27 \times 3 = 81\)입니다.
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수열이 \(n = 1, 2, 3, \ldots\)에 대해 \(2n + 1\)로 정의됩니다.
a) \(n = 1\)부터 시작하여 수열의 첫 다섯 항을 구하시오.
b) 이 수열은 등차수열(산술수열), 등비수열(기하수열), 또는 둘 다 아닌 것 중 어느 것입니까?단계별 해답 보기
a) 식 \(2n + 1\)에 \(n = 1, 2, 3, 4, 5\)를 대입합니다:
\(n=1\)일 때, \(2(1)+1 = 3\)
\(n=2\)일 때, \(2(2)+1 = 5\)
\(n=3\)일 때, \(2(3)+1 = 7\)
\(n=4\)일 때, \(2(4)+1 = 9\)
\(n=5\)일 때, \(2(5)+1 = 11\)b) 한 항에서 다음 항으로 넘어갈 때 2를 더하므로, 공차가 2인 등차수열입니다.
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수열이 \(n = 1, 2, 3, \ldots\)에 대해 \(3 \times 2^{n-1}\)로 정의됩니다.
a) \(n = 1\)부터 시작하여 수열의 첫 다섯 항을 구하시오.
b) 이 수열은 등차수열(산술수열), 등비수열(기하수열), 또는 둘 다 아닌 것 중 어느 것입니까?단계별 해답 보기
a) 식 \(3 \times 2^{n-1}\)에 \(n = 1, 2, 3, 4, 5\)를 대입합니다:
\(n=1\)일 때, \(3 \times 2^{1-1} = 3 \times 2^0 = 3\)
\(n=2\)일 때, \(3 \times 2^{2-1} = 3 \times 2^1 = 6\)
\(n=3\)일 때, \(3 \times 2^{3-1} = 3 \times 2^2 = 12\)
\(n=4\)일 때, \(3 \times 2^{4-1} = 3 \times 2^3 = 24\)
\(n=5\)일 때, \(3 \times 2^{5-1} = 3 \times 2^4 = 48\)b) 한 항에서 다음 항으로 넘어갈 때 2를 곱하므로, 공비가 2인 등비수열입니다.
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집합 \(S_1\)과 \(S_2\)가 각각 \(S_1 = \{0, 2, 9, 12\}\) 및 \(S_2 = \{2, 9, 10, 11, 12\}\)로 정의됩니다. 다음의 원소들을 구하시오:
a) \(S_1 \cap S_2\)
b) \(S_1 \cup S_2\)단계별 해답 보기
a) 두 집합의 교집합은 두 집합 모두에 공통으로 속하는 원소들의 집합입니다. 따라서 \(S_1 \cap S_2 = \{2, 9, 12\}\)입니다.
b) 두 집합의 합집합은 두 집합에 있는 모든 원소들의 집합입니다(중복 제외). 따라서 \(S_1 \cup S_2 = \{0, 2, 9, 10, 11, 12\}\)입니다.
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\(Q\) = 모든 유리수, \(P\) = 모든 무리수, \(R\) = 모든 실수라고 할 때, 다음 중 옳은 것은 무엇입니까?
a) \(Q \cap P = R\) b) \(Q \cup P = R\) c) \(Q \cup P = \text{공집합}\) d) \(Q \cap P = \text{공집합}\)단계별 해답 보기
모든 실수는 유리수이거나 무리수이지만 둘 다일 수는 없으므로, \(Q \cap P = \text{공집합}\)이 참입니다. 모든 실수의 집합은 유리수와 무리수의 합집합이므로, \(Q \cup P = R\)이 참입니다.
따라서 b)와 d)가 참입니다.
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소인수의 곱으로 나타내시오: a) 345 b) 150 c) 210
단계별 해답 보기
a) \(345 = 3 \times 5 \times 23\)
b) \(150 = 2 \times 3 \times 5 \times 5\)
c) \(210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7\)
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100과 180의 최대공약수(GCF)는 얼마입니까?
단계별 해답 보기
100과 180의 최대공약수는 20입니다.
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100과 15의 최소공배수(LCM)는 얼마입니까?
단계별 해답 보기
100과 15의 최소공배수는 300입니다.
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다음 중 3으로 나누어떨어지는 것은 무엇입니까? a) 101899 b) 900234 c) 134567280
단계별 해답 보기
각 자리 숫자의 합이 3으로 나누어떨어지면 그 수는 3으로 나누어떨어집니다.
a) 101899: 합 = \(1+0+1+8+9+9 = 28\). (나누어떨어지지 않음)
b) 900234: 합 = \(9+0+0+2+3+4 = 18\). (예, 나누어떨어짐)
c) 134567280: 합 = \(1+3+4+5+6+7+2+8+0 = 36\). (예, 나누어떨어짐)
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다음 중 4로 나누어떨어지는 것은 무엇입니까? a) 189001 b) 1005612 c) 1003456024
단계별 해답 보기
끝의 두 자리로 이루어진 수가 4로 나누어떨어지면 그 수는 4로 나누어떨어집니다.
a) 189001: 끝 두 자리 \(01\). (나누어떨어지지 않음)
b) 1005612: 끝 두 자리 \(12\). (예, 나누어떨어짐)
c) 1003456024: 끝 두 자리 \(24\). (예, 나누어떨어짐)
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다음 중 6으로 나누어떨어지는 것은 무엇입니까? a) 234 b) 12345 c) 12114290910
단계별 해답 보기
어떤 수가 6으로 나누어떨어지려면 2(짝수)와 3 모두로 나누어떨어져야 합니다.
a) 234: 짝수이며, 자리수의 합 \(2+3+4=9\) (예, 나누어떨어짐)
b) 12345: 홀수 (2로 나누어떨어지지 않으므로 6으로도 나누어떨어지지 않음)
c) 12114290910: 짝수이며, 자리수의 합 \(30\) (예, 나누어떨어짐)
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다음 중 서로 크기가 같은(동치인) 분수 쌍은 무엇입니까?
a) \(\dfrac{10}{15}, \dfrac{7}{3}\) b) \(\dfrac{8}{12}, \dfrac{2}{3}\) c) \(\dfrac{7}{12}, \dfrac{21}{36}\)단계별 해답 보기
기약분상태에서 일정한 배수를 곱하여 두 번째 분수가 되는지 확인합니다.
a) \(\dfrac{7}{3}\)의 분자와 분모에 5를 곱하면 \(\dfrac{35}{15}\)가 됩니다. 이는 \(\dfrac{10}{15}\)와 일치하지 않습니다. (치환 불가)
b) \(\dfrac{2}{3}\)의 분자와 분모에 4를 곱하면 \(\dfrac{8}{12}\)가 됩니다. (동치)
c) \(\dfrac{7}{12}\)의 분자와 분모에 3을 곱하면 \(\dfrac{21}{36}\)이 됩니다. (동치)
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계산하시오:
a) \(\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{10} - \dfrac{1}{15}\) b) \(\dfrac{7}{16} \times \dfrac{4}{14}\) c) \(\dfrac{11}{2} \div 4\)
d) \(4\dfrac{3}{4} - 1\dfrac{1}{2} + 1\dfrac{1}{8}\) e) \(1\dfrac{3}{4} \div \left(3 + \dfrac{1}{3}\right)\)단계별 해답 보기
a) \(5, 10, 15\)의 최소공배수는 \(30\)입니다. \(\dfrac{12}{30} + \dfrac{9}{30} - \dfrac{2}{30} = \dfrac{19}{30}\)
b) \(\dfrac{7}{16} \times \dfrac{4}{14}\). 인수분해하여 표현: \(\dfrac{7 \times 4}{(4 \times 4) \times (2 \times 7)}\). 공통 인수를 소거하여 \(\dfrac{1}{8}\)을 얻습니다.
c) 역수를 곱합니다: \(\dfrac{11}{2} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{11}{8}\)
d) 정수 부분과 분수 부분을 따로 모읍니다: \((4-1+1) + (\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8}) = 4 + (\dfrac{6}{8} - \dfrac{4}{8} + \dfrac{1}{8}) = 4\dfrac{3}{8}\)
e) 분수로 변환합니다: \(\dfrac{7}{4} \div \dfrac{10}{3} = \dfrac{7}{4} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{21}{40}\)
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약분된 분수 형태로 나타내시오: a) \(0.2 \div 0.6\) b) \(1 \div 0.4\)
단계별 해답 보기
a) \(0.2 \div 0.6 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)
b) \(1 \div 0.4 = \dfrac{10}{4} = \dfrac{8+2}{4} = 2\dfrac{1}{2}\)
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달리아(Dalia)는 급여의 4분의 1을 식음료비로 씁니다. 그중 5분의 1은 청량음료에, 6분의 1은 쿠키에 씁니다. 그녀의 급여 중 청량음료와 쿠키에 쓰인 금액의 비율은 얼마입니까?
단계별 해답 보기
청량음료: 급여의 \(\dfrac{1}{4}\) 중 \(\dfrac{1}{5}\).
쿠키: 급여의 \(\dfrac{1}{4}\) 중 \(\dfrac{1}{6}\).
합계: \(\dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} \left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6}\right) = \dfrac{1}{4} \left(\dfrac{11}{30}\right) = \dfrac{11}{120}\)
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제임스(James)는 월요일부터 금요일까지 매일 2시간씩 숙제를 합니다. 벤(Ben)은 그만큼의 \(\dfrac{3}{4}\)을, 린다(Linda)는 그만큼의 \(\dfrac{5}{4}\)를 합니다. 이들이 일주일 동안 숙제하는 총 시간은 각각 얼마입니까?
단계별 해답 보기
제임스: 주중 숙제 시간 = \(2 \times 5 = 10\)시간.
벤: 주중 숙제 시간 = \(\dfrac{3}{4} \times 10 = 7.5\)시간.
린다: 주중 숙제 시간 = \(\dfrac{5}{4} \times 10 = 12.5\)시간.
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사라(Sara)는 1.5 L의 주스를 만들었습니다. 그녀의 컵은 \(\dfrac{1}{6}\) L를 담을 수 있습니다. 컵을 몇 개나 채울 수 있습니까?
단계별 해답 보기
대분수를 이용하면 1.5 L는 \(1\dfrac{1}{2}\) 또는 \(\dfrac{3}{2}\) L입니다.
채울 수 있는 컵의 개수 = \(\dfrac{3}{2} \div \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{2} \times 6 = 9\)개.
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계산하시오:
a) \((-2)^3 - 5^3 + (-3)^4\)
b) \((-1)^{-3} - 5^0 + \dfrac{4^2}{(-2)^4}\)
c) \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{4}{3}\right)^{-2}\)단계별 해답 보기
a) \(-8 - 125 + 81 = -52\)
b) \(\dfrac{1}{(-1)^3} - 1 + \dfrac{16}{16} = -1 - 1 + 1 = -1\)
c) \(\dfrac{3^2}{4^2} + \dfrac{4^{-2}}{3^{-2}} = \dfrac{9}{16} + \dfrac{3^2}{4^2} = \dfrac{9}{16} + \dfrac{9}{16} = \dfrac{18}{16} = \dfrac{9}{8}\)
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밑이 10인 지수 형태로 나타내시오: a) 10000 b) 0.0000001 c) \(\dfrac{1}{100000}\)
단계별 해답 보기
a) \(10^4\) b) \(10^{-7}\) c) \(\dfrac{1}{10^5} = 10^{-5}\)
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표준 표기법(과학적 표기법)으로 나타내시오: a) \(12.4 \times 10^3\) b) \(0.0023 \times 10^{-2}\) c) \(\dfrac{12}{100000}\)
단계별 해답 보기
a) \(1.24 \times 10^4\) b) \(2.3 \times 10^{-5}\) c) \(\dfrac{12}{10^5} = 12 \times 10^{-5} = 1.2 \times 10^{-4}\)
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간단히 하시오: a) \(\sqrt{16}\) b) \(\sqrt{9}\) c) \(\sqrt[3]{8}\)
단계별 해답 보기
a) \(4^2=16\)이므로 4 b) \(3^2=9\)이므로 3 c) \(2^3=8\)이므로 2
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가장 간단한 형태로 나타내시오: a) \(\sqrt{3 \times 25}\) b) \(\sqrt{36 \times 5}\) c) \(\sqrt[3]{8 \times 7}\)
단계별 해답 보기
a) \(\sqrt{3} \times \sqrt{25} = 5\sqrt{3}\) b) \(\sqrt{36} \times \sqrt{5} = 6\sqrt{5}\) c) \(\sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{7} = 2\sqrt[3]{7}\)
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릴라(Leila)가 5시간 동안 걸었습니다. 그래프는 거리 \(d\)와 시간 \(t\)의 관계를 나타냅니다.
a) 방정식 \(d = kt\)를 작성하시오.
b) 오전 8시에 출발했다면, 10 km 떨어진 곳에 도착한 시간은 언제입니까?
단계별 해답 보기
a) 그래프 위의 한 점을 이용합니다. 예를 들어 \(t = 1\)일 때 \(d = 4\)입니다. 방정식 \(d = k \times t\)에 \(t = 1, d = 4\)를 대입하면 \(4 = k \times 1\)이므로 \(k = 4\)입니다. 따라서 관계식은 \(d = 4t\)입니다.
b) 방정식 \(10 = 4t\)를 풀면 릴라가 \(d = 10\) km를 걷는 데 걸리는 시간은 \(t = 10 \div 4 = 2.5\)시간입니다. 2.5시간은 2시간 30분입니다. 따라서 10 km 떨어진 곳에 도착한 시간은 8:00 + 2:30 = 오전 10:30입니다.
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표의 값에 따르면 \(y\)가 \(x\)에 비례합니까?
a) 그렇다면 \(y = kx\)를 만족하는 \(k\)를 구하시오.
b) \(x = 10.2\)일 때의 \(y\)를 구하시오.단계별 해답 보기
비율 \(y / x\)를 포함하는 열이 추가되었으며, \(y / x\)가 일정하고 3과 같음을 보여줍니다. 따라서 \(y\)는 \(x\)에 비례합니다.
a) \(y / x = 3\)이므로 \(y = 3x\)로 쓸 수 있습니다. 따라서 \(k = 3\)입니다.
b) \(y = 3 \times 10.2 = 30.6\).
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수도가 2분에 10 L, 4분에 20 L, 6분에 30 L를 채웁니다.
a) 수직축에 \(V\), 수평축에 \(t\)를 두고 점들을 그리시오.
b) \(V\)가 \(t\)에 비례합니까?
c) 그렇다면 \(V = kt\)를 만족하는 \(k\)를 구하시오.
d) 100 L를 채우는 데 걸리는 시간을 구하시오.단계별 해답 보기
a) 주어진 정보로부터 세 점 \((V, t)\): \((2,10)\), \((4,20)\), \((6,30)\)을 얻을 수 있으며 아래와 같이 그려집니다.
b) 세 점이 원점을 지나는 동일한 직선 위에 있으므로 \(V\)와 \(t\) 사이에는 비례 관계가 성립합니다.
c) 비례 상수 \(k\)는 \(V \div t\)입니다. \(k = 10 \div 2 = 5\). 따라서 \(V = 5t\)입니다.
d) 방정식에 \(V=100\)을 대입합니다: \(100 = 5t \rightarrow t = 100 \div 5 = 20\)분.
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어떤 물건의 가격이 $120인데 12% 올랐습니다. 새로운 가격은 얼마입니까?
단계별 해답 보기
인상 후 가격 = $120 + $120의 12%.
수식으로 표현: \(120 + \dfrac{12}{100} \times 120 = 120 + 14.4 = \$134.40\).
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지미(Jimmy)는 급여의 50%를 월세와 공과금으로 쓰고, 그 금액의 15%를 공과금으로 씁니다. 전체 급여 중 공과금으로 쓰이는 비율은 몇 %입니까?
단계별 해답 보기
공과금으로 지출되는 비율 = 급여의 50% 중 15%.
수식으로 표현: \(\dfrac{15}{100} \times \dfrac{50}{100} = \dfrac{750}{10000} = \dfrac{7.5}{100} = 7.5\%\).
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식사 비용이 $40입니다. 세금은 15%이며 팁은 세금이 포함된 금액의 5%입니다. 총비용은 얼마입니까?
단계별 해답 보기
세금 포함 비용 = \(40 + \dfrac{15}{100} \times 40 = \$46\).
팁 포함 총비용 = \(46 + \dfrac{5}{100} \times 46 = \$48.30\).
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카멜레아(Kamelea)는 \( \$5000 \)를 벌어 옷에 \( \$400 \), 월세 \( \$1200 \), 공과금 \( \$200 \), 식비/유흥비 \( \$1200 \), 자동차 \( \$600 \)를 쓰고 나머지를 저축합니다. 저축하는 비율은 몇 %입니까?
단계별 해답 보기
카멜레아의 총 지출 = \(\$400 + \$1200 + \$200 + \$1200 + \$600 = \$3600\).
저축액 = 급여 - 지출 = \(\$5000 - \$3600 = \$1400\).
급여 대비 저축액의 비율 = \(\dfrac{1400}{5000} = 0.28 = 28\%\).
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어떤 수의 3분의 1의 10%가 3입니다. 그 수는 무엇입니까?
단계별 해답 보기
모르는 수를 \(x\)라고 합시다. \(\dfrac{10}{100} \times \dfrac{1}{3} \times x = 3\).
\(\dfrac{10x}{300} = 3\). 양쪽에 300을 곱하면 \(10x = 900 \rightarrow x = 90\)이 됩니다.
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미국에서는 휘발유 가격이 갤런당 \( \$3 \)에서 \( \$4 \)로 올랐고, 프랑스에서는 리터당 €1.5에서 €2로 올랐습니다. 어느 나라의 백분율 인상 폭이 더 큽니까?
단계별 해답 보기
미국 휘발유 가격 인상률 = \(\dfrac{4 - 3}{3} = 0.33333 = 33.33\%\).
프랑스 휘발유 가격 인상률 = \(\dfrac{2 - 1.5}{1.5} = 0.33333 = 33.33\%\).
두 나라 모두 정확히 같은 백분율 인상률을 기록했습니다.
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1 m = 3.28084 ft일 때, 10.5 ft를 미터로 환산하시오.
단계별 해답 보기
등식의 양변을 3.28084 ft로 나누어 \(\dfrac{1 \text{ m}}{3.28084 \text{ ft}} = 1\)을 얻습니다.
\(10.5 \text{ ft} \times \dfrac{1 \text{ m}}{3.28084 \text{ ft}} = 3.20039 \text{ m}\).
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1 km = 1093.61 yd일 때, 1.3 km를 야드로 환산하시오.
단계별 해답 보기
\(1.3 \text{ km} = 1.3 \times 1093.61 \text{ yd} = 1421.69 \text{ yd}\).
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1 m = 1.09361 yd일 때, \(1.2 \text{ m}^2\)를 \(\text{yd}^2\)로 환산하시오.
단계별 해답 보기
주어진 등식의 양변을 제곱하여 \(1 \text{ m}^2 = (1.09361)^2 \text{ yd}^2 = 1.19598 \text{ yd}^2\)를 얻습니다.
\(1.2 \text{ m}^2 = 1.2 \times 1.19598 \text{ yd}^2 = 1.435176 \text{ yd}^2\).
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100 km/hr를 m/s로 환산하시오.
단계별 해답 보기
\(1 \text{ km} = 1000 \text{ m}\)이고 \(1 \text{ hr} = 3600 \text{ 초}\)입니다.
\(\dfrac{100 \text{ km}}{1 \text{ hr}} = \dfrac{100 \times 1000 \text{ m}}{1 \times 3600 \text{ 초}} \approx 27.77777 \text{ m/s}\).
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\(x=1\)일 때, \(\dfrac{1}{x+2} - \dfrac{1}{x-2}\)의 값을 구하시오.
단계별 해답 보기
\(x\)에 1을 대입합니다: \(\dfrac{1}{(1)+2} - \dfrac{1}{(1)-2} = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{-1} = \dfrac{1}{3} + 1 = 1\dfrac{1}{3}\).
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\(x=-5\)일 때, \(\left|\dfrac{-x+1}{-6}\right| + x^2 - 1\)의 값을 구하시오.
단계별 해답 보기
\(x\)에 -5를 대입합니다: \(\left|\dfrac{-(-5)+1}{-6}\right| + (-5)^2 - 1 = \left|\dfrac{5+1}{-6}\right| + 25 - 1 = |-1| + 25 - 1 = 1 + 25 - 1 = 25\).
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\(a=2, b=-2\)일 때, \(2^a - \sqrt{b^2}\)의 값을 구하시오.
단계별 해답 보기
\(a\)에 2, \(b\)에 -2를 대입합니다: \(2^{(2)} - \sqrt{(-2)^2} = 4 - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2\).
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간단히 하시오: a) \(3(x+2) + x - 12\) b) \(\dfrac{1}{5}(15x+20) + 2x + 4\) c) \(0.2(5x+10) + 3x - 4\)
단계별 해답 보기
a) \(3x + 6 + x - 12 = (3x+x) + (6-12) = 4x - 6\)
b) \(\dfrac{1}{5} \times 15x + \dfrac{1}{5} \times 20 + 2x + 4 = 3x + 4 + 2x + 4 = 5x + 8\)
c) \(0.2 \times 5x + 0.2 \times 10 + 3x - 4 = x + 2 + 3x - 4 = 4x - 2\)
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간단히 하시오: a) \(2x \cdot 3x\) b) \(\dfrac{1}{2}x \cdot \dfrac{4}{5}x\) c) \(3x^2 \cdot 5x^3\)
단계별 해답 보기
a) \((2 \times 3) \times (x \times x) = 6x^2\)
b) \(\left(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{5}\right) \times (x \times x) = \dfrac{2}{5}x^2\)
c) \((3 \times 5) \times (x^2 \times x^3) = 15x^5\)
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인수분해하시오: a) \(21x + 7\) b) \(24 - 20x\) c) \(8b - 4a + 32\)
단계별 해답 보기
a) 21과 7의 최대공약수는 7입니다. \(7(3x + 1)\)
b) 24와 20의 최대공약수는 4입니다. \(4(6 - 5x)\)
c) 8, 4, 32의 최대공약수는 4입니다. \(4(2b - a + 8)\)
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방정식을 푸시오:
a) \(3(x - 2 ) = 3\)
b) \(2(9 - x) = - (x + 5)\)
c) \(\dfrac{x+1}{3} = 6\)
d) \(4\left(x + \dfrac{1}{4}\right) = -15\)
e) \(x - \dfrac{x}{2} = 3\)단계별 해답 보기
a) \(3x - 6 = 3 \rightarrow 3x = 9 \rightarrow x = 3\)
b) \(18 - 2x = -x - 5 \rightarrow 18 = x - 5 \rightarrow x = 23\)
c) 양쪽에 3을 곱합니다: \(x + 1 = 18 \rightarrow x = 17\)
d) \(4x + 1 = -15 \rightarrow 4x = -16 \rightarrow x = -4\)
e) 양쪽에 2를 곱합니다: \(2x - x = 6 \rightarrow x = 6\)
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직사각형 모양의 정원이 길이 12m, 너비 8m입니다. 정원 주위에 너비가 \(x\)인 산책로를 만들어 바깥쪽 둘레가 원래 둘레의 2배가 되도록 하였습니다.
a) \(x\)에 대한 방정식을 작성하시오.
b) \(x\)를 구하시오.
c) 바깥쪽 둘레의 길이와 너비를 구하시오.
d) 전체 넓이(정원 + 산책로)를 구하시오.
e) 정원의 넓이를 구하시오.
f) 산책로의 넓이를 구하시오.단계별 해답 보기
a) 바깥쪽 둘레의 길이: \(L = 12 + 2x\). 너비: \(W = 8 + 2x\). 바깥쪽 둘레 = \(2(12 + 2x) + 2(8 + 2x) = 40 + 8x\). 정원의 둘레(흰색) = \(2(12) + 2(8) = 40\). 바깥쪽 둘레가 정원의 2배이므로 \(40 + 8x = 2 \times 40\)입니다.
b) \(40 + 8x = 80 \rightarrow 8x = 40 \rightarrow x = 5 \text{ m}\).
c) 길이 = \(12 + 2(5) = 22 \text{ m}\), 너비 = \(8 + 2(5) = 18 \text{ m}\).
d) 전체 넓이 = \(22 \times 18 = 396 \text{ m}^2\).
e) 정원 넓이 = \(12 \times 8 = 96 \text{ m}^2\).
f) 산책로 넓이 = 전체 넓이 - 정원 넓이 = \(396 - 96 = 300 \text{ m}^2\).
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어떤 수의 2배에서 10을 뺀 결과에 2분의 1을 곱했더니 5가 되었습니다. 원래 수는 무엇입니까?
단계별 해답 보기
원래 수를 \(x\)라고 합시다. "어떤 수의 2배에서 10을 뺀 것"은 \(2x - 10\)입니다. "결과에 2분의 1을 곱함"은 \(\dfrac{1}{2}(2x - 10)\)입니다. 이 값이 5이므로 \(\dfrac{1}{2}(2x - 10) = 5\)입니다.
양쪽에 2를 곱합니다: \(2x - 10 = 10 \rightarrow 2x = 20 \rightarrow x = 10\).
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부등식을 푸시오: a) \(x + 2 < 4\) b) \(2(x + 3) \ge 2\) c) \(-3x + 2 \le 11\) d) \(\dfrac{4x+1}{2} \ge x + 3\)
단계별 해답 보기
a) \(x < 2\)
b) \(2x + 6 \ge 2 \rightarrow 2x \ge -4 \rightarrow x \ge -2\)
c) \(-3x \le 9 \rightarrow x \ge -3\) (-3이 음수이므로 부등호 방향이 바뀝니다).
d) \(4x + 1 \ge 2x + 6 \rightarrow 2x \ge 5 \rightarrow x \ge 5/2\)
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다음 순서쌍 중 함수를 나타내는 것은 무엇입니까?
a) \(\{(1,2), (3,4), (5,7), (5,9)\}\)
b) \(\{(-1,-2), (3,4), (5,7), (7,9)\}\)
c) \(\{(3,3), (9,4), (5,7), (9,0)\}\)단계별 해답 보기
함수는 각 입력값에 대해 하나의 출력값만이 대응하는 두 집합 사이의 관계입니다.
관계 b)가 함수입니다. a)는 입력값 5가 7과 9에 각각 대응합니다. c)는 입력값 9가 4와 0에 각각 대응합니다.
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다음 그래프 중 일차함수의 그래프일 수 있는 것은 어느 것입니까? 그 방정식을 구하시오.
단계별 해답 보기
그래프 (3)은 직선이므로 일차함수의 그래프입니다.
두 점 (0,2)와 (2,6)을 찾아 기울기를 구합니다: \( m = \dfrac{6-2}{2-0} = 2 \)
직선의 기울기-절편 형태의 방정식을 작성합니다: \( y = 2 + 2x \)
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\(y = 2x + 1\)이 주어졌을 때:
a) \(x = 0\) 및 \(x = 1\)일 때의 \(y\)를 구하시오.
b) 이 값들을 이용하여 \(y = 2x + 1\)의 그래프를 그리시오.단계별 해답 보기
a) \(x=0\)일 때, \(y = 2(0)+1 = 1\). \(x=1\)일 때, \(y = 2(1)+1 = 3\). 순서쌍은 \((0, 1)\)과 \((1, 3)\)입니다.
b) 일차함수의 그래프는 직선입니다. 구한 두 순서쌍을 사용하여 아래와 같이 함수 그래프를 그릴 수 있습니다.
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두 함수가 아래에 그려져 있습니다.
a) 계산 없이, 어느 것의 변화율이 더 큽니까?
b) 각각의 그래프에서 두 점의 좌표를 찾으시오.
c) 각각의 변화율을 계산하여 (a)를 확인하시오.단계별 해답 보기
a) 그래프 (1)에 해당하는 함수는 \(x\)가 증가할 때 더 빨리 증가하므로 변화율이 더 큽니다.
b) 그래프 (1) 위의 점: \((0,1)\) 및 \((3,7)\). 그래프 (2) 위의 점: \((0,3)\) 및 \((8,8)\).
c) 변화율 1: \(\dfrac{7-1}{3-0} = \dfrac{6}{3} = 2\). 변화율 2: \(\dfrac{8-3}{8-0} = 5/8\). 계산 결과 (1)의 변화율이 더 크다는 것을 확인할 수 있습니다.
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직각삼각형의 두 변(밑변과 높이)이 6 cm와 8 cm입니다. 빗변의 길이는 얼마입니까?
단계별 해답 보기
빗변을 \(h\)라고 합시다. 피타고라스 정리를 이용합니다: \(h^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\). \(h = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}\).
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세 직선이 점 \(O\)에서 만납니다. \(\angle AOB = 31^\circ\) 및 \(\angle AOC = 79^\circ\)일 때, \(\angle EOF\)를 구하시오.
단계별 해답 보기
\(\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC\)임을 유의하세요. 따라서 \(79^\circ = 31^\circ + \angle BOC\)입니다. 즉 \(\angle BOC = 79^\circ - 31^\circ = 48^\circ\)입니다.
각 \(\angle BOC\)와 \(\angle EOF\)는 맞꼭지각이므로 크기가 같습니다. 따라서 \(\angle EOF = 48^\circ\)입니다.
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정사각형은 대칭의 축(선대칭)이 몇 개 있습니까?
단계별 해답 보기
정사각형은 아래와 같이 4개의 대칭축을 가집니다.
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\(m\angle 1 = 40^\circ\)일 때, 평행선이 교차하는 그림에서 8개 각의 크기를 모두 구하시오.
단계별 해답 보기
각 \(m\angle 1\)과 \(m\angle 2\)는 보각 관계이며 합이 \(180^\circ\)입니다. 따라서 \(m\angle 2 = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\)입니다.
\(m\angle 1\)과 \(m\angle 3\)은 맞꼭지각입니다(같음). \(m\angle 3 = 40^\circ\).
\(m\angle 2\)와 \(m\angle 4\)는 맞꼭지각입니다(같음). \(m\angle 4 = 140^\circ\).
\(m\angle 1\)과 \(m\angle 5\)는 동위각입니다(같음). \(m\angle 5 = 40^\circ\).
\(m\angle 2\)와 \(m\angle 6\)은 동위각입니다(같음). \(m\angle 6 = 140^\circ\).
\(m\angle 4\)와 \(m\angle 8\)은 동위각입니다(같음). \(m\angle 8 = 140^\circ\).
\(m\angle 3\)과 \(m\angle 7\)은 동위각입니다(같음). \(m\angle 7 = 40^\circ\).
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지름이 20 cm인 원의 넓이를 구하시오.
단계별 해답 보기
반지름 \(r = \text{지름} \div 2 = 20 \div 2 = 10 \text{ cm}\). 넓이 \(= \pi \times r^2 = 3.14 \times 10^2 = 314 \text{ cm}^2\).
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한 변이 16 cm이고 빗변이 20 cm인 직각삼각형의 넓이를 구하시오.
단계별 해답 보기
피타고라스 정리를 사용하여 다른 한 변 \(b\)를 구합니다: \(b^2 + 16^2 = 20^2 \rightarrow b^2 = 400 - 256 = 144 \rightarrow b = 12 \text{ cm}\).
넓이 \(= \dfrac{1}{2} \times 16 \times 12 = 96 \text{ cm}^2\).
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그림에서 ABDE는 정사각형이고 FC는 대칭축입니다. 파란색 화살표의 넓이를 구하시오.
단계별 해답 보기
대칭성에 의해 사다리꼴 모양인 화살표의 아랫부분 넓이를 구합니다.
사다리꼴의 넓이 \(= \dfrac{1}{2}(\overline{FG} + \overline{ED}) \times \overline{HE}\).
\(\overline{FG} = 12 + 16 - 4 = 24\). \(\overline{ED} = 16\). \(\overline{HE} = \dfrac{1}{2} \overline{AE} = 8\).
넓이 \(= \dfrac{1}{2}(24 + 16) \times 8 = 160\).
화살표의 전체 넓이는 사다리꼴 넓이의 2배입니다: \(2 \times 160 = 320 \text{ unit}^2\).
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반원(지름 DE)과 이등변삼각형 ABG로 이루어진 도형의 넓이를 구하시오. 소수점 둘째 자리까지 반올림하시오.
단계별 해답 보기
주어진 도형을 공식으로 쉽게 넓이를 구할 수 있는 기본 도형들로 나눕니다.
이등변삼각형 ABG의 넓이 \(= \dfrac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8\)
사다리꼴 BCFG의 넓이 \(= \dfrac{1}{2} \times 2 \times (4+1) = 5\)
사다리꼴 CDEF의 넓이 \(= \dfrac{1}{2} \times 3 \times (1+3) = 6\)
지름이 DE인 반원의 넓이 \(= \dfrac{1}{2} \times \pi \times 1.5^2 \approx 3.53\)
총넓이 \(= 8 + 5 + 6 + 3.53 = 22.53 \text{ mm}^2\).
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원기둥(\(h = 10\) m)과 그 위에 올려진 반구(\(r = 6\) m)로 이루어진 사일로의 부피와 겉넓이(밑면 제외)를 구하시오.
단계별 해답 보기
구의 절반의 부피 \(= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3} \pi r^3 = \dfrac{4}{6} \times 3.14 \times 6^3 = 452.16 \text{ m}^3\)
원기둥의 부피 \(= \pi \times r^2 \times h = 3.14 \times 6^2 \times 10 = 1130.4 \text{ m}^3\)
구의 절반의 겉넓이 \(= \dfrac{1}{2} \times 4 \times \pi \times r^2 = 2 \times 3.14 \times 6^2 = 226.08 \text{ m}^2\)
원기둥의 겉넓이(밑면 제외) \(= 2 \times \pi \times r \times h = 2 \times 3.14 \times 6 \times 10 = 376.8 \text{ m}^2\)
사일로의 총부피 \(= 452.16 + 1130.4 = 1582.56 \text{ m}^3\)
사일로의 총겉넓이 \(= 226.08 + 376.8 = 602.88 \text{ m}^2\)
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직육면체를 대각선 방향으로 잘라 합동인 두 삼각기둥을 만들었습니다. 삼각기둥 하나의 부피와 겉넓이를 구하시오.
단계별 해답 보기
대칭성에 의해 삼각기둥의 부피는 직육면체 부피의 절반입니다.
직육면체의 부피 \(= 6 \times 3 \times 4 = 72 \text{ unit}^3\). 삼각기둥의 부피 \(= 36 \text{ unit}^3\).
겉넓이는 직육면체 겉넓이의 절반에 빨간색 대각선으로 만들어진 직사각형의 넓이를 더한 것입니다.
직육면체의 겉넓이 \(= 2 \times (6 \times 3 + 3 \times 4 + 6 \times 4) = 108 \text{ unit}^2\).
피타고라스 정리를 사용하여 대각선의 길이 \(d\)를 구합니다: \(d^2 = 3^2 + 4^2 = 25 \rightarrow d=5\).
직사각형 단면의 넓이 \(= 5 \times 6 = 30 \text{ unit}^2\).
삼각기둥의 겉넓이 \(= \dfrac{1}{2} \times 108 + 30 = 84 \text{ unit}^2\).
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선그래프는 오타와(Ottawa)의 12개월 평균 최고 기온(°C)을 보여줍니다.
a) 가장 추운 달의 평균 최고 기온은?
b) 가장 더운 달의 평균 최고 기온은?
c) 가장 추운 달과 가장 더운 달의 기온 차이는?
d) 연속된 두 달 사이의 가장 작은 기온 상승 폭은?
e) 연속된 두 달 사이의 가장 작은 기온 하락 폭은?
단계별 해답 보기
a) 1월이 평균 최고 기온 \(-5^\circ\)C로 가장 추운 달입니다.
b) 7월이 평균 최고 기온 \(26^\circ\)C로 가장 더운 달입니다.
c) 기온 차 \(= 26 - (-5) = 31^\circ\)C.
d) 가장 작은 기온 상승은 1월에서 2월 사이, 그리고 6월에서 7월 사이입니다.
e) 가장 작은 기온 하락은 7월에서 8월 사이입니다.
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시험 점수: 31, 44, 54, 69, 45, 55, 91, 76, 76, 77, 78, 70, 79, 67, 60, 85, 84, 89, 56, 67, 86, 64, 97, 88, 92.
a) 작은 수부터 큰 수 순서로 정렬하시오.
b) 범위를 구하시오.
c) 30–39로 시작하는 도수분포표를 작성하시오.
d) 히스토그램을 그리시오.
e) 60점 미만이 낙제라면, 낙제한 학생의 비율은 몇 %입니까?단계별 해답 보기
a) 정렬된 점수: \(31, 44, 45, 54, 55, 56, 60, 64, 67, 67, 69, 70, 76, 76, 77, 78, 79, 84, 85, 86, 88, 89, 91, 92, 97\).
b) 범위 = 최댓값 - 최솟값 \(= 97 - 31 = 66\).
c) 30-39 계급으로 시작하고 계급 크기(10)를 더하여 나머지 계급들을 구합니다.
d) 수직축에는 학생 수를, 수평축에는 계급을 사용하여 히스토그램을 그립니다.
e) 30-39, 40-49, 50-59의 세 계급에 속하는 점수가 60점 미만입니다. \(1 + 2 + 3 = 6명이 낙제했습니다\). 비율 \(= \dfrac{6}{25} = 0.24 = 24\%\).
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\(\{9, 4, 3, 2, 3, 0, 2, 3, 1, 9, 10\}\)의 중앙값, 제1사분위수(하위 사분위수), 제3사분위수(상위 사분위수)를 구하시오.
단계별 해답 보기
정렬된 데이터: \(\{0, 1, 2, 2, 3, \textbf{3}, 3, 4, 9, 9, 10\}\)
중앙값: 정중앙에 위치한 값은 3입니다.
제1사분위수: 중앙값보다 작은 데이터 값들 \(\{0, 1, \textbf{2}, 2, 3\}\)의 중앙값은 2입니다.
제3사분위수: 중앙값보다 큰 데이터 값들 \(\{3, 4, \textbf{9}, 9, 10\}\)의 중앙값은 9입니다.
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마크(Mark)는 첫 네 번의 퀴즈에서 83점, 94점, 97점, 93점을 받았습니다. 평균을 최소 90점으로 맞추려면 다섯 번째 퀴즈에서 몇 점을 받아야 합니까?
단계별 해답 보기
다섯 번째 퀴즈 점수를 \(x\)라고 합시다. 평균이 최소 90점: \(\dfrac{83 + 94 + 97 + 93 + x}{5} \ge 90\)
양쪽에 5를 곱합니다: \(367 + x \ge 450\).
\(x\)에 대해 풉니다: \(x \ge 450 - 367 \rightarrow x \ge 83\). 마크는 최소 83점을 받아야 합니다.
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공정한 6면체 주사위를 던질 때, 짝수가 나올 확률은 얼마입니까?
단계별 해답 보기
표본 공간 = \(\{1,2,3,4,5,6\}\). 짝수의 집합 = \(\{2,4,6\}\).
확률 \(= \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\).
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동전을 던지고 주사위를 던질 때: a) 동전은 뒷면이 나오고 주사위는 4가 나올 확률은? b) 동전은 앞면이 나오고 주사위는 홀수가 나올 확률은?
단계별 해답 보기
a) 뒷면이 나올 확률은 \(1/2\), 4가 나올 확률은 \(1/6\)입니다. 독립 사건이므로 \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{12}\).
b) 앞면이 나올 확률은 \(1/2\), 홀수가 나올 확률은 \(3/6 = 1/2\)입니다. 독립 사건이므로 \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\).
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벤(Ben)이 (1), (2), (3)이 적힌 3장의 카드 중에서 하나를 뽑고, 다시 넣은 후 다시 뽑습니다. a) 두 번 모두 3을 뽑을 확률은? b) 두 번 모두 같은 숫자를 뽑을 확률은?
단계별 해답 보기
a) 두 번 모두 3을 뽑는 경우는 \((3,3)\)으로 전체 \(3 \times 3 = 9가지\) 결과 중 1가지입니다. 확률 \(= \dfrac{1}{9}\).
b) 두 번 모두 같은 숫자를 뽑는 경우는 \((1,1), (2,2), (3,3)\)으로 3가지입니다. 확률 \(= \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\).
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어느 설문조사에서 전체 20명 중 5명이 파란색을 선호하고 6명이 갈색을 선호한다고 했습니다. 무작위로 선택된 학생이 둘 다 선호하지 않을 확률은 얼마입니까?
단계별 해답 보기
5명이 파란색, 6명이 갈색을 선호했다면 \(20 - 5 - 6 = 11명은 둘 다 선택하지 않았습니다\).
확률은 \(\dfrac{11}{20}\)입니다.