9학년 대수: 연습 문제 및 해답

이 페이지는 상세한 단계별 해답이 포함된 종합적인 9학년 대수 연습 문제 모음을 제공합니다. 각 질문 블록 아래에 숨겨진 해답을 펼쳐 상세한 대수적 추론을 확인해 보세요.

이 연습 세트에서 다루는 주제는 다음과 같습니다:

대수 연습 문제

  1. 대수식 간소화하기: 다음 대수식을 간소화하시오.
    1. \( -6x + 5 + 12x - 6 \)
    2. \( 2(x - 9) + 6(-x + 2) + 4x \)
    3. \( 3x^2 + 12 + 9x - 20 + 6x^2 - x \)
    4. \( (x + 2)(x + 4) + (x + 5)(-x - 1) \)
    5. \( 1.2(x - 9) - 2.3(x + 4) \)
    6. \( (x^2y)(xy^2) \)
    7. \( (-x^2y^2)(xy^2) \)
    단계별 해답 보기

    1. 동류항을 묶고 간소화합니다:

      • \( (-6x + 12x) + (5 - 6) \)
      • \( = 6x - 1 \)

    2. 괄호를 전개한 후 동류항을 묶습니다:

      • \( 2x - 18 - 6x + 12 + 4x \)
      • \( (2x - 6x + 4x) + (-18 + 12) \)
      • \( = -6 \)

    3. 동류항을 묶고 간소화합니다:

      • \( (3x^2 + 6x^2) + (9x - x) + (12 - 20) \)
      • \( = 9x^2 + 8x - 8 \)

    4. 괄호를 전개하고 동류항을 모읍니다:

      • \( (x^2 + 4x + 2x + 8) + (-x^2 - x - 5x - 5) \)
      • \( x^2 + 6x + 8 - x^2 - 6x - 5 \)
      • \( (x^2 - x^2) + (6x - 6x) + (8 - 5) \)
      • \( = 3 \)

    5. 소수를 전개하고 묶습니다:

      • \( 1.2x - 10.8 - 2.3x - 9.2 \)
      • \( (1.2x - 2.3x) + (-10.8 - 9.2) \)
      • \( = -1.1x - 20 \)

    6. 지수 법칙을 사용하여 다시 씁니다(밑이 같은 항들의 지수를 더함):

      • \( (x^2 \cdot x^1)(y^1 \cdot y^2) \)
      • \( = x^3y^3 \)

    7. 지수 법칙을 적용하고 마이너스 부호를 유지합니다:

      • \( -(x^2 \cdot x^1)(y^2 \cdot y^2) \)
      • \( = -x^3y^4 \)
  2. 유리식: 다음 대수적 분수를 간소화하시오.
    1. \( \dfrac{(a b^2)(a^3 b)}{a^2 b^3} \)
    2. \( \dfrac{21 x^5}{3 x^4} \)
    3. \( \dfrac{(6 x^4)(4 y^2)}{(3 x^2)(16 y)} \)
    4. \( \dfrac{4x - 12}{4} \)
    5. \( \dfrac{-5x - 10}{x + 2} \)
    6. \( \dfrac{x^2 - 4x - 12}{x^2 - 2x - 24} \)
    단계별 해답 보기

    1. 먼저 분자를 간소화한 후 나눕니다:

      • 분자: \( a^1 \cdot a^3 = a^4 \), 및 \( b^2 \cdot b^1 = b^3 \) \(\rightarrow a^4b^3\)
      • 분수: \( \dfrac{a^4 b^3}{a^2 b^3} = \left(\dfrac{a^4}{a^2}\right) \cdot \left(\dfrac{b^3}{b^3}\right) \)
      • \( = a^2 \)

    2. 계수를 나누고 지수 몫 법칙을 적용합니다:

      • \( \left(\dfrac{21}{3}\right) \cdot \left(\dfrac{x^5}{x^4}\right) \)
      • \( = 7x \)

    3. 분자와 분모의 항들을 곱한 후 간소화합니다:

      • \( \dfrac{24 x^4 y^2}{48 x^2 y} \)
      • \( \left(\dfrac{24}{48}\right) \cdot \left(\dfrac{x^4}{x^2}\right) \cdot \left(\dfrac{y^2}{y^1}\right) \)
      • \( = \dfrac{1}{2} x^2 y \)

    4. 분자에서 공통인수를 묶어냅니다:

      • \( \dfrac{4(x - 3)}{4} \)
      • \( = x - 3 \)

    5. 분자에서 -5를 묶어냅니다:

      • \( \dfrac{-5(x + 2)}{x + 2} \)
      • 공통인수 \( (x + 2) \)를 소거합니다 (\( x \neq -2 \) 가정)
      • \( = -5 \)

    6. 분자와 분모를 모두 인수분해합니다:

      • 분자: \( (x - 6)(x + 2) \)
      • 분모: \( (x - 6)(x + 4) \)
      • \( \dfrac{(x - 6)(x + 2)}{(x - 6)(x + 4)} \)
      • \( = \dfrac{x + 2}{x + 4} \) (\( x \neq 6 \) 및 \( x \neq -4 \)일 때)
  3. 일차 방정식: 다음 방정식에서 \( x \)를 구하시오.
    1. \( 2x = 6 \)
    2. \( 6x - 8 = 4x + 4 \)
    3. \( 4(x - 2) = 2(x + 3) + 7 \)
    4. \( 0.1x - 1.6 = 0.2x + 2.3 \)
    5. \( -\dfrac{x}{5} = 2 \)
    6. \( \dfrac{x - 4}{-6} = 3 \)
    7. \( \dfrac{-3x + 1}{x - 2} = -3 \)
    8. \( \dfrac{x}{5} + \dfrac{x - 1}{3} = \dfrac{1}{5} \)
    단계별 해답 보기
      • 양변을 2로 나눕니다: \( x = \dfrac{6}{2} \)
      • \( x = 3 \)
      • 양변에서 \(4x\)를 빼고 \(8\)을 더합니다:
      • \( 6x - 4x = 4 + 8 \)
      • \( 2x = 12 \)
      • \( x = 6 \)
      • 괄호를 전개합니다: \( 4x - 8 = 2x + 6 + 7 \)
      • 우변을 간소화합니다: \( 4x - 8 = 2x + 13 \)
      • \(2x\)를 빼고 \(8\)을 더합니다: \( 4x - 2x = 13 + 8 \)
      • \( 2x = 21 \)
      • \( x = \dfrac{21}{2} \)
      • \(0.2x\)를 빼고 \(1.6\)을 더합니다:
      • \( 0.1x - 0.2x = 2.3 + 1.6 \)
      • \( -0.1x = 3.9 \)
      • -0.1로 나눕니다: \( x = \dfrac{3.9}{-0.1} \)
      • \( x = -39 \)
      • 양변에 -5를 곱합니다:
      • \( x = -10 \)
      • 양변에 -6을 곱합니다: \( x - 4 = -18 \)
      • 4를 더합니다: \( x = -18 + 4 \)
      • \( x = -14 \)
      • 양변에 \( (x - 2) \)를 곱합니다:
      • \( -3x + 1 = -3(x - 2) \)
      • 우변을 전개합니다: \( -3x + 1 = -3x + 6 \)
      • 양변에 \(3x\)를 더합니다: \( 1 = 6 \)
      • 이는 거짓 명제입니다. 실근이 존재하지 않습니다.
      • 모든 항에 최소공배수(15)를 곱합니다:
      • \( 15\left(\dfrac{x}{5}\right) + 15\left(\dfrac{x - 1}{3}\right) = 15\left(\dfrac{1}{5}\right) \)
      • 간소화: \( 3x + 5(x - 1) = 3 \)
      • 전개: \( 3x + 5x - 5 = 3 \)
      • 동류항 결합: \( 8x - 5 = 3 \)
      • 5를 더하고 8로 나눕니다: \( 8x = 8 \)
      • \( x = 1 \)
  4. 이차 방정식: 다음 방정식의 모든 실근을 구하시오.
    1. \( 2x^2 - 8 = 0 \)
    2. \( x^2 = -5 \)
    3. \( 2x^2 + 5x - 7 = 0 \)
    4. \( (x - 2)(x + 3) = 0 \)
    5. \( (x + 7)(x - 1) = 9 \)
    6. \( x(x - 6) = -9 \)
    단계별 해답 보기
      • 2로 나눕니다: \( x^2 - 4 = 0 \)
      • 합차 공식으로 인수분해합니다: \( (x - 2)(x + 2) = 0 \)
      • 해집합: \( \{-2, 2\} \)
      • 실수의 제곱은 음수가 될 수 없습니다.
      • 실근이 존재하지 않습니다.
      • 좌변을 인수분해합니다: \( (2x + 7)(x - 1) = 0 \)
      • 인수를 0으로 놓습니다: \( 2x + 7 = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{7}{2} \)
      • \( x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \)
      • 해집합: \( \left\{-\dfrac{7}{2}, 1\right\} \)
      • 이미 인수분해되어 있습니다. 인수를 0으로 놓습니다:
      • \( x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \)
      • \( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \)
      • 해집합: \( \{-3, 2\} \)
      • 좌변을 전개합니다: \( x^2 + 6x - 7 = 9 \)
      • 0으로 정리합니다: \( x^2 + 6x - 16 = 0 \)
      • 인수분해: \( (x + 8)(x - 2) = 0 \)
      • 해집합: \( \{-8, 2\} \)
      • 전개: \( x^2 - 6x = -9 \)
      • 0으로 정리합니다: \( x^2 - 6x + 9 = 0 \)
      • 완전제곱식으로 인수분해합니다: \( (x - 3)^2 = 0 \)
      • 해집합: \( \{3\} \)
  5. 기타 비선형 방정식: 다음 방정식의 실근을 구하시오.
    1. \( x^3 - 1728 = 0 \)
    2. \( x^3 = -64 \)
    3. \( \sqrt{x} = -1 \)
    4. \( \sqrt{x} = 5 \)
    5. \( \sqrt{\dfrac{x}{100}} = 4 \)
    6. \( \sqrt{\dfrac{200}{x}} = 2 \)
    단계별 해답 보기
      • 다시 씁니다: \( x^3 = 1728 \)
      • 세제곱근을 취합니다: \( x = \sqrt[3]{1728} \)
      • \( x = 12 \)
      • 세제곱근을 취합니다: \( x = \sqrt[3]{-64} \)
      • \( x = -4 \)
      • 실수의 주제곱근은 결코 음수가 될 수 없습니다.
      • 실근이 존재하지 않습니다.
      • 양변을 제곱합니다: \( (\sqrt{x})^2 = 5^2 \)
      • \( x = 25 \)
      • 양변을 제곱합니다: \( \dfrac{x}{100} = 16 \)
      • 100을 곱합니다: \( x = 16 \times 100 \)
      • \( x = 1600 \)
      • 양변을 제곱합니다: \( \dfrac{200}{x} = 4 \)
      • \( x \)를 곱하고 4로 나눕니다: \( x = \dfrac{200}{4} \)
      • \( x = 50 \)
  6. 대수식 값 구하기: 주어진 \( a \)와 \( b \)의 값에 대해 대수식의 값을 구하시오.
    1. \( a^2 + b^2 \) (\( a = 2 \), \( b = 2 \)일 때)
    2. \( |2a - 3b| \) (\( a = -3 \), \( b = 5 \)일 때)
    3. \( 3a^3 - 4b^4 \) (\( a = -1 \), \( b = -2 \)일 때)
    단계별 해답 보기
      • 값을 대입합니다: \( (2)^2 + (2)^2 \)
      • \( = 4 + 4 \)
      • \( = 8 \)
      • 값을 대입합니다: \( |2(-3) - 3(5)| \)
      • \( = |-6 - 15| \)
      • \( = |-21| \)
      • \( = 21 \) (절댓값은 음수를 제거합니다)
      • 값을 대입합니다: \( 3(-1)^3 - 4(-2)^4 \)
      • 먼저 지수를 계산합니다: \( 3(-1) - 4(16) \)
      • \( = -3 - 64 \)
      • \( = -67 \)
  7. 부등식: 다음 부등식을 푸시오.
    1. \( x + 3 < 0 \)
    2. \( x + 1 > -x + 5 \)
    3. \( 2(x - 2) < -(x + 7) \)
    단계별 해답 보기
      • 양변에서 3을 뺍니다:
      • \( x < -3 \)
      • 양변에 \( x \)를 더합니다: \( 2x + 1 > 5 \)
      • 1을 뺍니다: \( 2x > 4 \)
      • 2로 나눕니다: \( x > 2 \)
      • 양변을 전개합니다: \( 2x - 4 < -x - 7 \)
      • \( x \)를 더합니다: \( 3x - 4 < -7 \)
      • 4를 더합니다: \( 3x < -3 \)
      • 3으로 나눕니다: \( x < -1 \)
  8. 판별식: 이차 방정식 \( x^2 + 2x = -2k \)가 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 상수 \( k \)의 값의 범위는 무엇입니까?
    단계별 해답 보기
    • 먼저 방정식을 표준형(\(ax^2 + bx + c = 0\))으로 씁니다:
      \( x^2 + 2x + 2k = 0 \)
    • 계수를 식별합니다: \( a = 1, b = 2, c = 2k \)
    • 판별식 \( D = b^2 - 4ac \)를 계산합니다:
      \( D = (2)^2 - 4(1)(2k) = 4 - 8k \)
    • 서로 다른 두 실근을 가지려면 판별식이 엄격히 양수여야 합니다(\( D > 0 \)):
      \( 4 - 8k > 0 \)
    • 부등식을 풉니다: \( 4 > 8k \)
    • \( k < \dfrac{1}{2} \)
  9. 일차 방정식의 기울기: 일차 방정식 \( 2x + by = 2 \)의 기울기가 2가 되도록 하는 상수 \( b \)의 값은 무엇입니까?
    단계별 해답 보기
    • 기울기-절편 형태(\( y = mx + c \))로 만들기 위해 \( y \)에 대해 풉니다:
    • \( by = -2x + 2 \)
    • \( y = -\dfrac{2}{b}x + \dfrac{2}{b} \)
    • 기울기 \( m \)은 \( -\dfrac{2}{b} \)입니다. 이를 2와 같다고 놓습니다:
    • \( -\dfrac{2}{b} = 2 \)
    • \( b \)를 곱합니다: \( -2 = 2b \)
    • \( b = -1 \)
  10. 절편: 직선 \( -4x + 6y = -12 \)의 y절편은 무엇입니까?
    단계별 해답 보기
    • y절편을 구하려면 \( x = 0 \)을 대입하고 \( y \)에 대해 풉니다:
    • \( -4(0) + 6y = -12 \)
    • \( 6y = -12 \)
    • \( y = -2 \)
    • y절편: \( (0, -2) \)
  11. 절편: 직선 \( -3x + y = 3 \)의 x절편은 무엇입니까?
    단계별 해답 보기
    • x절편을 구하려면 \( y = 0 \)을 대입하고 \( x \)에 대해 풉니다:
    • \( -3x + 0 = 3 \)
    • \( -3x = 3 \)
    • \( x = -1 \)
    • x절편: \( (-1, 0) \)
  12. 연립일차방정식: 직선 \( x - y = 3 \)과 \( -5x - 2y = -22 \)의 교점은 어디입니까?
    단계별 해답 보기
    • 교점은 두 방정식을 동시에 만족합니다. 대입법을 사용합니다.
    • 첫 번째 방정식을 \( x \)에 대해 풉니다:
      \( x = 3 + y \)
    • 두 번째 방정식의 \( x \) 자리에 \( (3 + y) \)를 대입합니다:
      \( -5(3 + y) - 2y = -22 \)
    • 전개하고 간소화합니다:
      \( -15 - 5y - 2y = -22 \)
      \( -7y - 15 = -22 \)
    • 양변에 15를 더합니다:
      \( -7y = -7 \)
      \( y = 1 \)
    • \( y = 1 \)을 \( x = 3 + y \)에 다시 대입합니다:
      \( x = 3 + 1 = 4 \)
    • 교점: \( (4, 1) \)
  13. 직선 위의 점: 직선 \( -4x + ky = 2 \)가 점 \( (2, -3) \)을 지날 때, 상수 \( k \)의 값은 무엇입니까?
    단계별 해답 보기
    • 직선이 점을 지난다면, 그 좌표는 방정식을 만족합니다. \( x = 2 \)와 \( y = -3 \)을 대입합니다:
    • \( -4(2) + k(-3) = 2 \)
    • \( -8 - 3k = 2 \)
    • 양변에 8을 더합니다: \( -3k = 10 \)
    • \( k = -\dfrac{10}{3} \)
  14. 특수한 직선의 기울기: 방정식이 \( y - 4 = 10 \)인 직선의 기울기는 얼마입니까?
    단계별 해답 보기
    • 방정식을 기울기-절편 형태(\( y = mx + c \))로 간소화합니다:
    • \( y = 14 \)
    • 이는 수평선을 나타냅니다. \( x \)항이 누락되어 있으므로 \( m = 0 \)입니다.
    • 기울기 = 0
  15. 특수한 직선의 기울기: 방정식이 \( 2x = -8 \)인 직선의 기울기는 얼마입니까?
    단계별 해답 보기
    • 방정식을 간소화합니다:
    • \( x = -4 \)
    • 이는 수직선을 나타냅니다. 수직선은 수평 변화량이 0이므로(0으로 나누기) 정의된 기울기를 갖지 않습니다.
    • 기울기가 정의되지 않음
  16. 특수한 직선의 절편: 방정식이 \( x = -3 \)인 직선의 \( x \)절편과 \( y \)절편을 구하시오.
    단계별 해답 보기
    • \( x = -3 \)은 y축에 평행한 수직선입니다.
    • x축과 -3에서 만나므로, x절편은 \( (-3, 0) \)입니다.
    • y축에 평행하므로 y축과 결코 만나지 않습니다. y절편이 없습니다.
  17. 특수한 직선의 절편: 방정식이 \( 3y - 6 = 3 \)인 직선의 \( x \)절편과 \( y \)절편을 구하시오.
    단계별 해답 보기
    • 방정식을 간소화합니다:
      \( 3y = 9 \Rightarrow y = 3 \)
    • \( y = 3 \)은 x축에 평행한 수평선입니다.
    • y축과 3에서 만나므로, y절편은 \( (0, 3) \)입니다.
    • x축에 평행하므로 x축과 결코 만나지 않습니다. x절편이 없습니다.
  18. 기울기와 축: x축에 평행한 직선의 기울기는 얼마입니까?
    단계별 해답 보기
    • x축에 평행한 직선은 수평선입니다.
    • 수평선은 올라가지도 내려가지도 않으므로, 기울기는 0입니다.
  19. 기울기와 축: x축에 수직인 직선의 기울기는 얼마입니까?
    단계별 해답 보기
    • x축에 수직인 직선은 수직선입니다(y축에 평행).
    • \( x \)의 변화량이 0이므로, 기울기를 계산하려면 0으로 나누어야 합니다.
    • 기울기가 정의되지 않습니다.

링크 및 참고 자료