기하학 연습 문제
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문제 1: 여각
각 \( A \)와 각 \( B \)는 여각 관계이며, 각 \( A \)의 크기는 각 \( B \) 크기의 두 배입니다. 각 \( A \)와 각 \( B \)의 크기를 구하시오.
단계별 해답 보기
각 \( A \)의 크기를 \( A \), 각 \( B \)의 크기를 \( B \)라고 합시다. 조건에 따라 다음 식이 성립합니다:
\[ A = 2B \]
각 \( A \)와 각 \( B \)는 여각이므로 그 합이 \( 90^\circ \)입니다:
\[ A + B = 90^\circ \]
식에 \( A \) 대신 \( 2B \)를 대입합니다:
\[ 2B + B = 90^\circ \]
\[ 3B = 90^\circ \]
\[ B = \dfrac{90^\circ}{3} = 30^\circ \]
이제 \( B \) 값을 다시 대입하여 \( A \)를 구합니다:
\[ A = 2(30^\circ) = 60^\circ \]
정답: 각 \( A = 60^\circ \), 각 \( B = 30^\circ \).
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문제 2: 평행사변형의 넓이
\( AB \)는 \( DC \)와 평행하고 \( DA \)는 \( CB \)와 평행한 평행사변형 \( ABCD \)가 있습니다. 변 \( AB \)의 길이는 \( 20 \text{ cm} \)입니다. 점 \( E \)는 \( AE \)의 길이가 \( 3 \text{ cm} \)가 되도록 \( A \)와 \( B \) 사이에 있습니다. 점 \( F \)는 점 \( D \)와 \( C \) 사이에 있습니다.
선분 \( EF \)가 평행사변형을 넓이가 같은 두 영역으로 나누도록 하는 \( DF \)의 길이를 구하시오.
단계별 해답 보기
사다리꼴 \( AEFD \)의 넓이를 \( A_1 \)이라 합시다. 그 넓이는 다음과 같습니다:
\[ A_1 = \dfrac{1}{2} h (AE + DF) = \dfrac{1}{2} h (3 + DF) \]
여기서 \( h \)는 평행사변형의 높이입니다.
사다리꼴 \( EBCF \)의 넓이를 \( A_2 \)라 합시다. 그 넓이는 다음과 같습니다:
\[ A_2 = \dfrac{1}{2} h (EB + FC) \]
평행사변형 변의 전체 길이가 \( 20 \)이므로 나머지 변들의 길이를 구할 수 있습니다:
\[ EB = 20 - AE = 20 - 3 = 17 \]
\[ FC = 20 - DF \]
\( EB \)와 \( FC \)를 \( A_2 \) 식에 대입합니다:
\[ A_2 = \dfrac{1}{2} h (17 + 20 - DF) = \dfrac{1}{2} h (37 - DF) \]
선분 \( EF \)가 평행사변형을 넓이가 같은 두 영역으로 나누려면 \( A_1 = A_2 \)여야 합니다:
\[ \dfrac{1}{2} h (3 + DF) = \dfrac{1}{2} h (37 - DF) \]
양변에 2를 곱하고 \( h \)로 나눕니다:
\[ 3 + DF = 37 - DF \]
\[ 2DF = 34 \]
\[ DF = 17 \text{ cm} \]
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문제 3: 삼각형의 내각
아래 그림에서 각 \( A \)의 크기를 구하시오.
단계별 해답 보기
각 \( A \)를 구하려면 먼저 보각인 외각들을 이용하여 삼각형의 다른 두 내각을 구해야 합니다.
첫 번째 내각(왼쪽 아래)은 \( 129^\circ \) 각과 보각 관계입니다. 직선은 \( 180^\circ \)이므로:
\[ 180^\circ - 129^\circ = 51^\circ \]
두 번째 내각(오른쪽 아래)은 \( 138^\circ \) 각과 보각 관계입니다:
\[ 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ \]
삼각형의 세 내각의 합은 항상 \( 180^\circ \)입니다. 따라서:
\[ A + 51^\circ + 42^\circ = 180^\circ \]
\[ A = 180^\circ - 51^\circ - 42^\circ = 87^\circ \]
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문제 4: 직각삼각형의 각도
\( ABC \)는 직각삼각형입니다. \( AM \)은 \( BC \)에 수직입니다. 각 \( ABC \)의 크기는 \( 55^\circ \)와 같습니다. 각 \( MAC \)의 크기를 구하시오.
단계별 해답 보기
큰 삼각형 \( \triangle ABC \)의 모든 각의 합은 \( 180^\circ \)입니다. \( A \)에서 직각을 이루는 직각삼각형이므로, 각도는 \( 90^\circ \), \( 55^\circ \) (\( \angle ABC \)), 그리고 \( \angle ACB \)입니다:
\[ \angle ABC + \angle ACB + 90^\circ = 180^\circ \]
\( \angle ABC = 55^\circ \)를 대입하고 \( \angle ACB \)를 풉니다:
\[ 55^\circ + \angle ACB + 90^\circ = 180^\circ \]
\[ \angle ACB = 180^\circ - 145^\circ = 35^\circ \]
이제 더 작은 삼각형 \( \triangle AMC \)를 살펴봅니다. 선분 \( AM \)은 \( BC \)에 수직이므로 \( \angle AMC = 90^\circ \)입니다. \( \triangle AMC \)의 각의 합은 \( 180^\circ \)입니다:
\[ \angle MAC + \angle ACM + 90^\circ = 180^\circ \]
\( \angle ACM \)은 \( \angle ACB \)와 정확히 같은 각입니다. \( 35^\circ \)를 식에 대입합니다:
\[ \angle MAC + 35^\circ + 90^\circ = 180^\circ \]
\[ \angle MAC = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ \]
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문제 5: 맞꼭지각
아래 그림에서 각 \( MBD \)의 크기를 구하시오.
단계별 해답 보기
먼저 왼쪽 삼각형 \( \triangle AMC \)의 누락된 각을 구합니다. 각의 합은 \( 180^\circ \)입니다:
\[ 56^\circ + 78^\circ + \angle AMC = 180^\circ \]
\[ \angle AMC = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ \]
각 \( \angle AMC \)와 각 \( \angle DMB \)는 맞꼭지각이므로 크기가 서로 같습니다:
\[ \angle DMB = \angle AMC = 46^\circ \]
이제 오른쪽 삼각형 \( \triangle DMB \)의 각의 합을 이용합니다. 역시 \( 180^\circ \)입니다:
\[ \angle MBD + \angle DMB + 62^\circ = 180^\circ \]
\( \angle DMB = 46^\circ \)를 대입합니다:
\[ \angle MBD + 46^\circ + 62^\circ = 180^\circ \]
\[ \angle MBD = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ \]
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문제 6: 교선과 각도
각 \( AOB \)의 크기는 \( 132^\circ \)이고 각 \( COD \)의 크기는 \( 141^\circ \)입니다. 각 \( DOB \)의 크기를 구하시오.
단계별 해답 보기
각 \( \angle AOB = 132^\circ \)이며, 각 \( \angle AOD \)와 각 \( \angle DOB \)의 합으로 이루어져 있습니다:
\[ \angle AOD + \angle DOB = 132^\circ \quad \text{(식 1)} \]
각 \( \angle COD = 141^\circ \)이며, 각 \( \angle COB \)와 각 \( \angle DOB \)의 합으로 이루어져 있습니다:
\[ \angle COB + \angle DOB = 141^\circ \quad \text{(식 2)} \]
식 1과 식 2를 더합니다:
\[ \angle AOD + \angle DOB + \angle COB + \angle DOB = 132^\circ + 141^\circ \]
\( A, O, C \)가 일직선을 이루므로, 각 \( \angle AOD, \angle DOB, \angle COB \)는 평각을 형성하여 다음이 성립합니다:
\[ \angle AOD + \angle DOB + \angle COB = 180^\circ \]
결합된 식에 \( 180^\circ \)를 대입합니다:
\[ 180^\circ + \angle DOB = 273^\circ \]
\[ \angle DOB = 273^\circ - 180^\circ = 93^\circ \]
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문제 7: 사각형의 각도
그림에서 각 \( x \)의 크기를 구하시오.
단계별 해답 보기
\( x \)를 구하려면 먼저 사각형의 모든 내각을 결정해야 합니다.
내각 중 두 개는 각각 \( 41^\circ \)와 \( 94^\circ \)로 주어져 있습니다.
외각 \( x \)와 보각을 이루는 내각은 \( 180^\circ - x \)입니다.
외각 \( 111^\circ \)와 보각을 이루는 내각은 \( 180^\circ - 111^\circ = 69^\circ \)입니다.
사각형의 모든 내각의 합은 \( 360^\circ \)입니다. 따라서:
\[ 41^\circ + 94^\circ + (180^\circ - x) + 69^\circ = 360^\circ \]
상수 값들을 더합니다:
\[ 384^\circ - x = 360^\circ \]
\[ x = 384^\circ - 360^\circ = 24^\circ \]
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문제 8: 격자 도형의 둘레와 넓이
아래 직사각형은 합동인(크기가 같은) 정사각형 12개로 이루어져 있습니다. 직사각형의 넓이가 \( 432 \text{ cm}^2 \)일 때, 이 직사각형의 둘레를 구하시오.
단계별 해답 보기
직사각형의 전체 넓이가 \( 432 \text{ cm}^2 \)이므로, 작은 정사각형 한 개의 넓이는 다음과 같습니다:
\[ \dfrac{432}{12} = 36 \text{ cm}^2 \]
작은 정사각형 한 변의 길이를 \( x \)라 합시다. 정사각형 하나의 넓이는 \( x^2 \)입니다:
\[ x^2 = 36 \implies x = 6 \text{ cm} \]
격자를 보면 직사각형은 세로 3칸, 가로 4칸으로 이루어져 있습니다. 큰 직사각형의 치수는 다음과 같습니다:
\[ \text{가로 (길이)} = 4 \times 6 = 24 \text{ cm} \]
\[ \text{세로 (너비)} = 3 \times 6 = 18 \text{ cm} \]
직사각형의 둘레 \( P \)는 다음과 같습니다:
\[ P = 2(\text{길이} + \text{너비}) = 2(24 + 18) = 2(42) = 84 \text{ cm} \]
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문제 9: 직각삼각형 안의 이등변삼각형
\( ABC \)는 각 \( ACB \)의 크기가 \( 74^\circ \)인 직각삼각형입니다. 선분 \( AM \), \( MQ \), \( QP \)의 길이는 모두 같습니다. 각 \( QPB \)의 크기를 구하시오.
단계별 해답 보기
직각이 \( B \)에 있다고 가정합시다(\(\angle ABC = 90^\circ\)). 직각삼각형 \( \triangle ACB \)에서 각 \( \angle CAB \)는 다음과 같습니다:
\[ \angle CAB = 90^\circ - 74^\circ = 16^\circ \]
선분 \( AM \)과 \( MQ \)의 길이가 같으므로 삼각형 \( \triangle AMQ \)는 이등변삼각형입니다. 따라서 밑각의 크기가 같습니다:
\[ \angle AQM = \angle QAM = 16^\circ \]
\( \triangle AMQ \)의 모든 내각의 합은 \( 180^\circ \)입니다:
\[ 16^\circ + 16^\circ + \angle AMQ = 180^\circ \implies \angle AMQ = 148^\circ \]
각 \( \angle QMP \)는 각 \( \angle AMQ \)와 보각 관계입니다(밑변 위에서 직선을 형성함):
\[ \angle QMP = 180^\circ - 148^\circ = 32^\circ \]
선분 \( QM \)과 \( QP \)의 길이가 같으므로 삼각형 \( \triangle QMP \)도 이등변삼각형입니다. 따라서:
\[ \angle QPM = \angle QMP = 32^\circ \]
각 \( \angle QPB \)는 각 \( \angle QPM \)과 보각 관계입니다(직선을 형성함):
\[ \angle QPB = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ \]
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문제 10: 넓이 빼기
주어진 복합 도형의 넓이를 구하시오.
단계별 해답 보기
주어진 도형의 넓이는 전체 직사각형의 넓이를 구한 뒤 우측 상단의 "빠진" 직각삼각형 넓이를 빼서 쉽게 구할 수 있습니다.
전체 직사각형의 치수는 \( 20 \text{ cm} \) 곱하기 \( 15 \text{ cm} \)입니다.
"빠진" 직각삼각형(그림의 빨간색)의 변의 길이는 다음과 같습니다:
\[ \text{밑변} = 20 - 8 = 12 \text{ cm} \]
\[ \text{높이} = 15 - 10 = 5 \text{ cm} \]
넓이 계산:
\[ \text{넓이} = \text{직사각형 넓이} - \text{삼각형 넓이} \]
\[ \text{넓이} = (20 \times 15) - \left( \dfrac{1}{2} \times 12 \times 5 \right) \]
\[ \text{넓이} = 300 - 30 = 270 \text{ cm}^2 \]
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문제 11: 색칠된 부분의 넓이
색칠된 영역의 넓이를 구하시오.
단계별 해답 보기
색칠된 도형의 넓이는 큰 바깥쪽 직사각형의 전체 넓이에서 왼쪽 위의 색칠되지 않은 직사각형의 넓이를 빼서 구할 수 있습니다.
먼저 왼쪽 위 색칠되지 않은 직사각형의 치수를 구합니다:
\[ \text{길이} = 30 - 8 = 22 \text{ cm} \]
\[ \text{너비} = 15 - 4 = 11 \text{ cm} \]
이제 넓이를 뺍니다:
\[ \text{넓이} = \text{큰 직사각형의 넓이} - \text{색칠되지 않은 직사각형의 넓이} \]
\[ \text{넓이} = (30 \times 15) - (22 \times 11) \]
\[ \text{넓이} = 450 - 242 = 208 \text{ cm}^2 \]
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문제 12: 내접하는 정사각형의 비율
내접하는(안쪽에 있는) 정사각형의 꼭짓점들이 바깥쪽 정사각형의 변들을 이등분합니다. 바깥쪽 정사각형의 넓이와 내접하는 정사각형의 넓이의 비를 구하시오.
단계별 해답 보기
바깥쪽 큰 정사각형의 한 변의 길이를 \( 2x \)라 합시다. 이는 변의 중점이 길이 \( x \)인 선분들로 나뉨을 의미합니다.
바깥쪽 큰 정사각형의 넓이는 다음과 같습니다:
\[ \text{넓이}_{\text{바깥쪽}} = (2x) \times (2x) = 4x^2 \]
내접하는 정사각형의 한 변의 길이를 \( y \)라 합시다. 그 넓이는 \( y^2 \)입니다.
꼭짓점들이 바깥쪽 정사각형을 이등분하므로 모서리에 밑변 \( x \), 높이 \( x \)인 직각삼각형 4개가 만들어집니다. 피타고라스 정리를 사용하여 \( y^2 \)를 구할 수 있습니다:
\[ y^2 = x^2 + x^2 = 2x^2 \]
바깥쪽 정사각형의 넓이와 안쪽 정사각형의 넓이의 비 \( R \)은 다음과 같습니다:
\[ R = \dfrac{\text{넓이}_{\text{바깥쪽}}}{\text{넓이}_{\text{안쪽}}} = \dfrac{4x^2}{2x^2} = \dfrac{4}{2} = \dfrac{2}{1} \]
정답: 비율은 2:1입니다.