연습 문제
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다음 식을 간소화하시오:
a) \( 2\sqrt{8} - 4\sqrt{2} \qquad \) b) \( \dfrac{2 + \sqrt{12}}{2} \qquad\) c) \( 2\sqrt{3} + \dfrac{6}{\sqrt{3}} \qquad \) d) \( 3\sqrt{5} - \dfrac{1}{\sqrt{5} - 2} \)동영상 해답 보기
이 문제는 제곱근과 근호가 포함된 식을 간소화하는 것과 관련이 있습니다.
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아래 다항식을 전개하고 간소화하시오:
a) \( -(-2x - 2)(-x + 3) - (3x^2 + x - 2) \qquad \) b) \( 3(-x - 5)^2 - 4x(-x - 7) \)동영상 해답 보기
이 문제는 분배법칙을 적용하고 동류항을 결합하는 것을 요구합니다.
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다음 식을 간소화하시오:
a) \( (2x^2)^2 (3x)^2 \qquad \) b) \( (10x^4)^0 (3x^4)^3 \qquad \) c) \( \dfrac{(-4x^4y^2)^2}{(2xy)^3} \)동영상 해답 보기
지수의 법칙(곱셈법칙, 나눗셈법칙, 거듭제곱의 거듭제곱 법칙)을 적용하여 간소화하세요.
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유리식을 간소화하시오:
a) \( \dfrac{-3x + 2}{x - 1} \cdot \dfrac{2x - 2}{3x - 2} \qquad \) b) \( \dfrac{(2n + 3)(3n + 15)}{(n - 5)(6n + 9)} \qquad \) c) \( \dfrac{2x^2 + x}{x(2x + 1)} \qquad \) d) \( \dfrac{x^2 + 2x - 3}{(x + 3)(2x - 2)} \)동영상 해답 보기
분자와 분모를 인수분해하여 소거할 수 있는 공통 인수를 찾으세요.
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주어진 변수의 값에 대해 식의 값을 구하고 간소화하시오:
a) \( \sqrt{x + 6} \), 조건: \( x = -2 \qquad \) b) \( |x + y - 10| \), 조건: \( x = -4 \) 및 \( y = 3 \qquad \) c) \( \dfrac{-x^3 + 1}{5} + \dfrac{x^2 - 2}{2} \), 조건: \( x = -2 \)동영상 해답 보기
주어진 값을 대수식에 대입하고 연산 순서에 따라 간소화하세요.
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대수식을 인수분해하시오:
a) \( 4x - 16 \qquad \) b) \( 6x^2 + 2x \qquad \) c) \( x^2 - 9\qquad \) d) \( 9x^2 - 16y^2 \qquad \) e) \( x^2 - 4x - 5 \qquad \) f) \( \dfrac{1}{2}x^2 + x + \dfrac{1}{2} \)동영상 해답 보기
최대공약수(GCF)를 찾거나 묶기 또는 합차 공식 같은 방법을 사용하세요.
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다음 방정식을 푸시오:
a) \( -2(x + 2) - x = 3(x + 2) + 2 \qquad \) b) \( \dfrac{x - 2}{3} = \dfrac{2x + 1}{2} \qquad \) c) \( \dfrac{3x + 1}{4} - 2 = \dfrac{-x + 3}{2} \)동영상 해답 보기
방정식 양변에 역연산을 수행하여 변수를 격리하세요.
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다음 이차방정식을 푸시오:
a) \( (x-1)(x+8) = 0 \)
b) \( x(x-1) = 1 \)
c) \( 2x^2 + 6x = 8 \)동영상 해답 보기
표준 이차방정식의 경우, 우변을 0으로 맞추고 인수분해하거나 근의 공식을 사용하세요.
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다음 방정식을 푸시오:
a) \( \sqrt{x} = 2 \)
b) \( \sqrt{x - 2} = 4 \)
c) \( \sqrt{\dfrac{x}{10}} = 2 \)동영상 해답 보기
근호 식을 격리한 후, 양변을 제곱하여 제곱근을 없애세요.
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다음 부등식을 풀고, 구간, 수직선 그래프, 부등호 기호를 사용하여 해집합을 나타내시오:
a) \( 3(x - 2) + 2x < -(x+2) \)
b) \( \dfrac{x + 5}{3} \ge \dfrac{-x+2}{2} \)
c) \( -(2x - 2) \le 3x + 12 \)동영상 해답 보기
음수로 곱하거나 나눌 때는 부등호 방향을 바꾸는 것을 잊지 마세요.
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좌표가 \( (a, 3) \)인 점이 \( 2x - 3y = 4 \)로 주어진 직선 위에 있을 때, 매개변수 \( a \)의 값은 얼마입니까?
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좌표를 방정식에 대입하고 미지의 매개변수를 구하세요.
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\( 2x + y = 5 \) 및 \( 3x - 2y = 4 \) 방정식으로 주어진 직선들의 교점은 어디입니까?
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대입법 또는 가감법 중 하나를 사용하여 연립방정식을 푸세요.
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다음 방정식으로 주어진 각 직선의 기울기는 얼마입니까?
a) \( 4x = -2y + 4 \)
b) \( 3y = -9 \)
c) \( -5x = 10 \)동영상 해답 보기
각 방정식을 기울기-절편 형태(\(y = mx + b\))로 다시 작성하여 기울기(\(m\))를 확인하세요.
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가능한 경우, 다음 방정식으로 주어진 직선의 x절편과 y절편을 구하시오:
a) \( -3x = 2y + 6 \)
b) \( 2y = 8 \)
c) \( -3x = 6 \)동영상 해답 보기
\( x = 0 \)을 대입하여 y절편을 구하고, \( y = 0 \)을 대입하여 x절편을 구하세요.
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a) 점 \( (-2 , s) \)와 \( (-4, 5) \)를 지나는 직선의 기울기가 \( -1 \)이 되도록 하는 매개변수 \( s \)의 값을 구하시오.
b) 해당 직선의 방정식을 구하시오.동영상 해답 보기
기울기 공식을 사용하세요: \( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \).
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점 \( (-2, 4) \)를 지나고 방정식이 \( -2y + 4x = -2 \)로 주어진 직선에 수직인 직선의 방정식을 구하시오.
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수직인 직선들은 서로 음의 역수 관계의 기울기를 가짐을 기억하세요.
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선분 AB의 길이가 3.1이고 BC의 길이가 6.2이며 점 \( D \)가 직선 위에 있을 때, 아래 그림에 나타난 직선의 방정식을 구하시오.
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주어진 길이를 사용하여 기울기(밑변에 대한 높이의 비)를 계산한 후 방정식을 도출하세요.
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아래에 방정식이 주어진 직선 중 음의 기울기를 갖는 것은 어느 것입니까?
a) \( 2x - 2y = 0 \)
b) \( 3x + 6y = 9 \)
c) \( -y = 9 \)
d) \( -y = -x + 3 \)동영상 해답 보기
각각을 \( y = mx + b \) 형태로 변환하여 \( m \)의 부호를 확인하세요.
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아래 그림에서 건물은 1층의 꼭대기가 점 C, 2층의 꼭대기가 점 D에 있습니다. 지상에서 40미터 떨어진 점 A에서 점 C와 D를 바라보는 올려본 각(앙각)은 각각 \( 14^\circ \)와 \( 21^\circ \)이며, 점 B는 건물의 밑면입니다. 1층에서 2층까지의 높이 \( DC \)를 구하시오.
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두 직각삼각형에서 탄젠트비를 사용하여 수직 높이를 구한 후 빼세요.
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어느 작은 마을의 인구가 1년 동안 600명 증가했습니다. 이는 전년 대비 5% 증가를 나타냅니다. 증가하기 전 작년 이 마을의 인구는 얼마였습니까?
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퍼센트 방정식을 세우세요: \( 0.05 \times \text{원래 인구} = 600 \).
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AE가 반원의 지름인 CD와 평행하다고 할 때, 색칠된 도형의 넓이를 구하시오. BC는 AE에 수직인 ED와 평행합니다. 모든 길이는 mm 단위입니다.
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복잡한 도형을 더 단순한 기하학적 도형(직사각형, 삼각형, 반원)으로 분해하여 전체 넓이를 계산하세요.
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둘레가 18 cm인 정육각형의 넓이를 구하시오.
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정육각형은 6개의 정삼각형으로 이루어져 있습니다. 둘레를 이용하여 한 변의 길이를 구하세요.
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부채꼴(사분원)과 대각선이 10 mm인 정사각형으로 둘러싸인 색칠된 넓이를 구하시오.
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대각선을 이용하여 정사각형의 한 변의 길이를 구하고, 기하학적 관계를 파악하여 넓이 뺄셈을 계산하세요.
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직기둥의 부피는 \( 1500 \text{ cm}^3 \)와 같습니다.
a) 기둥의 길이 \( L \)을 구하시오.
b) 기둥의 총 겉넓이(옆넓이와 밑넓이)를 구하시오.
c) 제곱미터당 200달러인 재료로 이 기둥을 만드는 데 드는 비용은 얼마입니까?동영상 해답 보기
먼저 밑넓이를 구하고, 부피를 밑넓이로 나누어 길이 \( L \)을 구한 다음, 총 겉넓이와 비용을 계산하세요.
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학생 100명 중 70명은 수학을 공부하고(일부는 물리학도 함께 공부함), 50명은 물리학을 공부합니다(일부는 수학도 함께 공부함). 모든 학생이 두 과목 중 적어도 하나를 공부한다고 가정할 때:
a) 수학과 물리학을 모두 수강하는 학생은 몇 명입니까?
b) 수학만 수강하는 학생은 몇 명입니까?
c) 물리학만 수강하는 학생은 몇 명입니까?단계별 해답 보기
수학을 공부하는 학생들의 집합을 \( M \), 물리학을 공부하는 학생들의 집합을 \( P \)라 합시다.
- 전체 학생 수: \( n(M \cup P) = 100 \)
- 수학을 공부하는 학생: \( n(M) = 70 \)
- 물리학을 공부하는 학생: \( n(P) = 50 \)
a) 둘 다 수강하는 학생 (\( M \cap P \)):
집합의 공식 사용:
\( n(M \cup P) = n(M) + n(P) - n(M \cap P) \)
\( 100 = 70 + 50 - n(M \cap P) \)
\( 100 = 120 - n(M \cap P) \)
\( n(M \cap P) = 20 \)b) 수학만 수강하는 학생:
전체 수학 학생 수에서 둘 다 수강하는 학생 수를 뺍니다:
\( 70 - 20 = 50 \)c) 물리학만 수강하는 학생:
전체 물리학 학생 수에서 둘 다 수강하는 학생 수를 뺍니다:
\( 50 - 20 = 30 \) -
아래 그림에서 BC는 DE와 평행합니다. 삼각형 ABC의 넓이가 \( 30 \text{ cm}^2 \)일 때, 삼각형 ADE의 넓이를 구하시오.
단계별 해답 보기
선분 \( BC \)가 선분 \( DE \)와 평행하므로 삼각형 \( ABC \)와 삼각형 \( ADE \)는 닮은 삼각형입니다.
두 삼각형이 닮았을 때, 넓이의 비는 대응하는 변의 길이 비의 제곱과 같습니다. 대응하는 변의 비를 \( k = \dfrac{AD}{AB} = 9/3 = 3 \)이라 합시다.
두 삼각형을 연결하는 넓이 공식은 다음과 같습니다:
\( \text{Area}(ADE) = \text{Area}(ABC) \times \left( \dfrac{AD}{AB} \right)^2 \)\( \text{Area}(ADE) = 30 \times 3^2 = 270 \text{ cm}^2 \)
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물 1리터의 무게는 1킬로그램이고, 1세제곱데시미터(\( \text{dm}^3 \))는 1리터와 같습니다. 10 cm, 20 cm, 200 cm의 치수를 가진 직육면체 용기에 담긴 물의 무게는 얼마입니까?
단계별 해답 보기
1단계: 세제곱센티미터(\( \text{cm}^3 \)) 단위로 부피 구하기.
부피 \( = \text{길이} \times \text{너비} \times \text{높이} \)
\( V = 10 \text{ cm} \times 20 \text{ cm} \times 200 \text{ cm} = 40,000 \text{ cm}^3 \)2단계: 세제곱센티미터를 세제곱데시미터(리터)로 변환하기.
\( 1 \text{ dm} = 10 \text{ cm} \)이므로 \( 1 \text{ dm}^3 = (10 \text{ cm})^3 = 1,000 \text{ cm}^3 \)임을 알 수 있습니다.
\( \text{리터 단위의 부피} = \dfrac{40,000 \text{ cm}^3}{1,000 \text{ cm}^3/\text{L}} = 40 \text{ liters} \)3단계: 무게 계산하기.
1리터의 무게가 1 kg이므로 물의 무게는 다음과 같습니다:
\( 40 \text{ liters} \times 1 \text{ kg/L} = 40 \text{ kg} \) -
린다(Linda)는 도시로 갈 때 평균 시속 65마일로 운전했고, 돌아올 때는 같은 도로를 이용하여 평균 시속 50마일로 운전했습니다. 왕복 운전한 총 시간은 6시간이었습니다. 린다의 집에서 방문한 도시까지의 거리는 얼마입니까? (가장 가까운 마일로 반올림하세요).
단계별 해답 보기
도시까지의 편도 거리를 \( D \)라 합시다.
\( \text{시간} = \dfrac{\text{거리}}{\text{속력}} \) 공식을 사용하면:
갈 때 걸린 시간 = \( \dfrac{D}{65} \)
올 때 걸린 시간 = \( \dfrac{D}{50} \)총 운전 시간은 6시간이므로 다음과 같은 방정식을 세웁니다:
\( \dfrac{D}{65} + \dfrac{D}{50} = 6 \)65와 50의 공통 분모를 찾습니다. (최소공배수는 650입니다.)
첫 번째 분수의 분자와 분모에 10을 곱하고, 두 번째 분수에는 13을 곱합니다:
\( \dfrac{10D}{650} + \dfrac{13D}{650} = 6 \)\( \dfrac{23D}{650} = 6 \)
양변에 650을 곱합니다:
\( 23D = 3900 \)23으로 나눕니다:
\( D = \dfrac{3900}{23} \approx 169.565 \text{ miles} \)가장 가까운 마일로 반올림하면 거리는 170 마일입니다.
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어떤 실수에 그 실수의 절반과 3분의 1을 더한 값이 그 실수의 제곱과 같습니까?
단계별 해답 보기
미지의 실수를 \( x \)라 합시다.
문장제를 대수 방정식으로 변환합니다:
\( x^2 = \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} \)우변의 분수들을 더하기 위해 공통 분모를 찾습니다:
\( x^2 = \dfrac{3x}{6} + \dfrac{2x}{6} \)
\( x^2 = \dfrac{5x}{6} \)이차방정식을 0으로 맞추기 위해 모든 항을 한쪽으로 가져옵니다:
\( x^2 - \dfrac{5x}{6} = 0 \)\( x \)로 묶어냅니다:
\( x\left(x - \dfrac{5}{6}\right) = 0 \)여기서 두 가지 가능한 해가 나옵니다:
\( x = 0 \) 또는 \( x = \dfrac{5}{6} \)
0과 5/6 모두 조건을 만족하는 실수입니다. -
어느 학교의 남학생 대 여학생의 비는 6:5와 같습니다. 남학생 수 대 전체 학생 수의 비는 얼마입니까?
단계별 해답 보기
남학생 대 여학생의 비는 6:5입니다. 이는 남학생 6명당 여학생 5명이 있음을 의미합니다.
비율에서 총 "부분(parts)"의 수는 남학생 부분과 여학생 부분의 합입니다:
총 부분 = \( 6 + 5 = 11 \)남학생 수 대 전체 학생 수의 비는 단순히 남학생 부분을 총 부분으로 나눈 것입니다:
비율 = 6:11 -
용기 안에 공이 200개 있습니다. 공은 빨간색, 파란색, 초록색 중 한 가지 색상을 가집니다. 파란색 공 대 빨간색 공의 비는 3:10이고, 초록색 공 대 파란색 공의 비는 7:3입니다. 각 색상의 공은 각각 몇 개씩 있습니까?
단계별 해답 보기
주어진 비율을 살펴봅시다:
- 파란색 : 빨간색 = 3 : 10
- 초록색 : 파란색 = 7 : 3
"파란색" 부분이 두 비율 모두에서 숫자 3으로 나타나 있으므로, 초록색 : 파란색 : 빨간색의 단일 연속 비율로 쉽게 결합할 수 있습니다:
초록색 : 파란색 : 빨간색 = 7 : 3 : 10
이 결합된 비율의 총 부분 수를 더합니다:
총 부분 = \( 7 + 3 + 10 = 20 \)전체 공의 개수(200개)를 총 부분 수로 나누어 1부분의 값을 구합니다:
1부분의 값 = \( 200 / 20 = 10 \text{ balls} \)비율 숫자에 1부분의 값을 곱하여 각 색상의 수량을 구합니다:
- 초록색: \( 7 \times 10 = 70 \text{ balls} \)
- 파란색: \( 3 \times 10 = 30 \text{ balls} \)
- 빨간색: \( 10 \times 10 = 100 \text{ balls} \)