연습 문제
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어느 콘서트에서 티켓 120장이 팔렸습니다. 학생 티켓은 8달러, 성인 티켓은 12달러였습니다. 총수입은 1,160달러였습니다. 각 종류의 티켓은 각각 몇 장씩 팔렸습니까?
단계별 해답 보기
학생 티켓 수를 \( x \), 성인 티켓 수를 \( y \)라 합시다. 주어진 정보를 이용하여 방정식을 세웁니다:
\[ x + y = 120 \quad \text{(1)} \] \[ 8x + 12y = 1160 \quad \text{(2)} \]방정식 (1)에서 \( y \)를 격리합니다:
\[ y = 120 - x \]이 식을 방정식 (2)에 대입합니다:
\[ \begin{aligned} 8x + 12(120 - x) &= 1160 \\ 8x + 1440 - 12x &= 1160 \\ -4x &= -280 \\ x &= 70 \end{aligned} \]이제 \( y \)를 구합니다:
\[ y = 120 - 70 = 50 \]정답: 학생 티켓 70장과 성인 티켓 50장이 팔렸습니다.
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어떤 삼각형에서 한 각은 가장 작은 각의 3배입니다. 세 번째 각은 가장 작은 각보다 \( 20^\circ \) 더 큽니다. 모든 각의 크기를 구하시오.
단계별 해답 보기
가장 작은 각을 \( x \)라 합시다. 그렇다면 두 번째 각은 \( 3x \), 세 번째 각은 \( x + 20 \)입니다.
삼각형의 내각의 합은 항상 \( 180^\circ \)입니다:
\[ x + 3x + (x + 20) = 180 \]동류항을 묶고 \( x \)에 대해 풉니다:
\[ \begin{aligned} 5x + 20 &= 180 \\ 5x &= 160 \\ x &= 32 \end{aligned} \]이제 각 각의 크기를 구합니다:
- 가장 작은 각: \( x = 32^\circ \)
- 두 번째 각: \( 3x = 96^\circ \)
- 세 번째 각: \( x + 20 = 52^\circ \)
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함수 \( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)이 주어졌을 때, \( f(2) \)와 \( f(-1) \)을 구하시오.
단계별 해답 보기
\( f(2) \)를 구하려면 함수의 \( x \)에 \( 2 \)를 대입합니다:
\[ \begin{aligned} f(2) &= 2(2)^2 - 3(2) + 1 \\ &= 2(4) - 6 + 1 \\ &= 8 - 6 + 1 \\ &= 3 \end{aligned} \]\( f(-1) \)을 구하려면 함수의 \( x \)에 \( -1 \)을 대입합니다:
\[ \begin{aligned} f(-1) &= 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 \\ &= 2(1) + 3 + 1 \\ &= 6 \end{aligned} \] -
원기둥 모양의 물탱크가 반지름 3미터, 높이 5미터입니다. 이 탱크는 물을 얼마나 담을 수 있습니까(세제곱미터 단위)? \( \pi \approx 3.14 \)로 계산하세요.
단계별 해답 보기
원기둥의 부피 공식은 \( V = \pi r^2 h \)입니다.
\[ \begin{aligned} V &= 3.14 \times (3)^2 \times 5 \\ &= 3.14 \times 9 \times 5 \\ &= 3.14 \times 45 \\ &= 141.3 \; \text{m}^3 \end{aligned} \] -
두 개의 육면체 주사위를 던져서 나온 눈의 합이 9가 될 확률은 얼마입니까?
단계별 해답 보기
두 주사위를 던질 때 나올 수 있는 전체 경우의 수는 \( 6 \times 6 = 36 \)개입니다.
합이 9가 되는 조합은 다음과 같습니다:
\( (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) \)
가능한 전체 36가지 경우 중 성공적인 결과가 4가지이므로, 확률은 다음과 같습니다:
\[ \text{확률} = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9} \] -
\( 2^{x+1} = 32 \)일 때, \( x \)를 구하시오.
단계별 해답 보기
먼저 32를 밑이 2인 거듭제곱으로 나타냅니다:
\[ 32 = 2^5 \]방정식을 다시 씁니다:
\[ 2^{x+1} = 2^5 \]밑이 같으므로 지수끼리 서로 같다고 놓을 수 있습니다:
\[ \begin{aligned} x + 1 &= 5 \\ x &= 4 \end{aligned} \] -
13미터 길이의 사다리가 벽에 기조여 있습니다. 사다리의 밑동은 벽에서 5미터 떨어져 있습니다. 사다리는 벽을 따라 얼마나 높이 닿습니까?
단계별 해답 보기
사다리, 밑동, 그리고 벽은 사다리가 빗변인 직각삼각형을 이룹니다. 높이를 \( h \)라 합시다. 피타고라스 정리(\( a^2 + b^2 = c^2 \))를 적용합니다:
\[ \begin{aligned} h^2 + 5^2 &= 13^2 \\ h^2 + 25 &= 169 \\ h^2 &= 144 \\ h &= \sqrt{144} = 12 \end{aligned} \]정답: 사다리는 벽을 따라 12미터 높이에 닿습니다.
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자판기에 0.25달러짜리 동전과 1달러짜리 동전만 들어 있습니다. 동전은 총 50개이며, 가치는 총 35달러입니다. 각 종류의 동전은 각각 몇 개씩 있습니까?
단계별 해답 보기
0.25달러짜리 동전의 개수를 \( x \), 1달러짜리 동전의 개수를 \( y \)라 합시다. 연립방정식을 세웁니다:
\[ x + y = 50 \quad \text{(1)} \] \[ 0.25x + 1y = 35 \quad \text{(2)} \]방정식 (1)에서 \( y = 50 - x \)를 얻습니다. 이를 방정식 (2)에 대입합니다:
\[ \begin{aligned} 0.25x + (50 - x) &= 35 \\ -0.75x + 50 &= 35 \\ -0.75x &= -15 \\ x &= \dfrac{-15}{-0.75} = 20 \end{aligned} \]이제 \( y \)를 구합니다:
\[ y = 50 - 20 = 30 \]정답: 0.25달러짜리 동전 20개와 1달러짜리 동전 30개가 있습니다.
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세 연속 홀수의 합이 123입니다. 이 숫자들은 무엇입니까?
단계별 해답 보기
두 연속하는 홀수의 차이는 2입니다. 첫 번째 숫자를 \( x \)라 합시다. 두 번째는 \( x + 2 \), 세 번째는 \( x + 4 \)입니다. 이들의 합은 123입니다:
\[ \begin{aligned} x + (x + 2) + (x + 4) &= 123 \\ 3x + 6 &= 123 \\ 3x &= 117 \\ x &= 39 \end{aligned} \]숫자들은 \( x = 39 \), \( x + 2 = 41 \), 그리고 \( x + 4 = 43 \)입니다.
정답: 숫자들은 39, 41, 43입니다.
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직사각형 정원의 가로(폭)보다 세로(길이)가 4미터 더 깁니다. 넓이는 \( 96 \text{ m}^2 \)입니다. 정원의 가로와 세로 길이를 구하시오.
단계별 해답 보기
가로를 \( x \)미터라 합시다. 그러면 길이는 \( x + 4 \)미터입니다. 넓이는 길이 × 가로입니다:
\[ x(x + 4) = 96 \]이차방정식을 표준형으로 정리합니다:
\[ \begin{aligned} x^2 + 4x - 96 &= 0 \\ (x - 8)(x + 12) &= 0 \end{aligned} \]이는 해로 \( x = 8 \) 또는 \( x = -12 \)를 줍니다. 길이는 음수가 될 수 없으므로 \(-12\)는 제외합니다.
정답: 가로는 8 m이고, 길이는 \( 8 + 4 = 12 \) m입니다.
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자신의 제곱과 같은 숫자는 무엇입니까?
단계별 해답 보기
그 숫자를 \( x \)라 합시다. 제곱과 같다면 다음과 같은 방정식을 세울 수 있습니다:
\[ x = x^2 \]표준형으로 만들고 인수분해합니다:
\[ \begin{aligned} x - x^2 &= 0 \\ x(1 - x) &= 0 \end{aligned} \]정답: 해는 \( x = 0 \)과 \( x = 1 \)입니다.
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자신 제곱의 절반과 같은 숫자는 무엇입니까?
단계별 해답 보기
그 숫자를 \( x \)라 합시다. 제곱의 절반과 같습니다:
\[ x = \dfrac{1}{2}x^2 \]0으로 맞추고 인수분해합니다:
\[ \begin{aligned} x - \dfrac{1}{2}x^2 &= 0 \\ x\left(1 - \dfrac{1}{2}x\right) &= 0 \end{aligned} \]정답: 해는 \( x = 0 \)과 \( x = 2 \)입니다.
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어떤 자동차가 A에서 B까지 시속 40마일로 이동한 후, 같은 도로를 이용해 B에서 A까지 시속 60마일로 돌아왔습니다. 왕복 여행의 평균 속력은 얼마입니까?
단계별 해답 보기
평균 속력은 총 이동 거리를 총 소요 시간으로 나눈 것입니다. A에서 B까지의 편도 거리를 \( x \)라 합시다. 총 왕복 거리는 \( 2x \)입니다.
갈 때 걸린 시간은 \( \dfrac{x}{40} \)이고 돌아올 때 걸린 시간은 \( \dfrac{x}{60} \)입니다. 총 시간 \( T \)는 다음과 같습니다:
\[ T = \dfrac{x}{40} + \dfrac{x}{60} = \dfrac{3x + 2x}{120} = \dfrac{5x}{120} = \dfrac{x}{24} \]이제 평균 속력을 계산합니다:
\[ \text{평균 속력} = \dfrac{2x}{\left(\dfrac{x}{24}\right)} = 2x \cdot \dfrac{24}{x} = 48 \; \text{mph} \] -
톰(Tom)은 이웃 도시로 갈 때 시속 60마일로 운전했고, 돌아올 때는 같은 도로를 이용해 시속 50마일로 운전했습니다. 왕복하는 데 총 5시간이 걸렸습니다. 톰의 집에서 방문한 도시까지의 거리는 얼마입니까? (가장 가까운 마일로 반올림하세요).
단계별 해답 보기
도시까지의 거리를 \( x \)라 합시다. 갈 때 걸린 시간은 \( \dfrac{x}{60} \)이고 돌아올 때 걸린 시간은 \( \dfrac{x}{50} \)입니다. 총 시간은 5시간입니다:
\[ \dfrac{x}{60} + \dfrac{x}{50} = 5 \]방정식 전체에 공통분모(300)를 곱합니다:
\[ \begin{aligned} 300 \left(\dfrac{x}{60}\right) + 300 \left(\dfrac{x}{50}\right) &= 300(5) \\ 5x + 6x &= 1500 \\ 11x &= 1500 \\ x &= \dfrac{1500}{11} \approx 136 \; \text{miles} \end{aligned} \] -
오전 11시 00분, 존(John)은 시속 50마일의 일정한 속력으로 고속도로를 운전하기 시작했습니다. 15분 뒤, 지미(Jimmy)는 존과 같은 방향으로 같은 고속도로에서 시속 65마일의 일정한 속력으로 운전을 시작했습니다. 지미가 존을 따라잡는 시각은 언제입니까?
단계별 해답 보기
존이 오전 11시 이후로 운전한 시간을 (시간 단위로) \( t \)라 합시다. 지미는 15분(0.25시간) 늦게 출발했으므로, 지미의 운전 시간은 \( t - 0.25 \)입니다.
지미가 따라잡을 때 두 사람의 이동 거리는 같습니다:
\[ 50t = 65(t - 0.25) \]\( t \)에 대해 풉니다:
\[ \begin{aligned} 50t &= 65t - 16.25 \\ -15t &= -16.25 \\ t &= \dfrac{16.25}{15} = \dfrac{65}{60} \; \text{hours} \end{aligned} \]\( \dfrac{65}{60} \) 시간은 정확히 1시간 5분입니다. 이를 출발 시각(오전 11:00)에 더합니다:
정답: 지미는 낮 12시 05분에 따라잡습니다.
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점 \( (-4, 5) \)를 지나고 직선 \( 5x - 3y = 4 \)에 수직인 직선의 방정식을 구하시오.
단계별 해답 보기
먼저 주어진 직선을 기울기-절편 형태(\( y = mx + b \))로 변환하여 기울기를 구합니다:
\[ \begin{aligned} -3y &= -5x + 4 \\ y &= \dfrac{5}{3}x - \dfrac{4}{3} \end{aligned} \]이 직선의 기울기는 \( \dfrac{5}{3} \)입니다. 수직인 직선은 음의 역수 기울기를 가지므로, 새로운 직선의 기울기는 \( m = -\dfrac{3}{5} \)입니다.
점 \( (-4, 5) \)와 점-기울기 공식을 사용합니다:
\[ \begin{aligned} y - 5 &= -\dfrac{3}{5}(x - (-4)) \\ y &= -\dfrac{3}{5}(x + 4) + 5 \\ y &= -\dfrac{3}{5}x - \dfrac{12}{5} + \dfrac{25}{5} \\ y &= -\dfrac{3}{5}x + \dfrac{13}{5} \end{aligned} \]표준형으로 바꾸기 위해 5를 곱합니다:
\[ 5y = -3x + 13 \quad \Rightarrow \quad 3x + 5y = 13 \] -
직사각형 모양의 들판이 넓이 300제곱미터, 둘레 80미터를 가집니다. 이 들판의 길이와 가로는 각각 얼마입니까?
단계별 해답 보기
길이와 가로를 각각 \( L \)과 \( W \)라 합시다. 넓이와 둘레 방정식:
\[ L \cdot W = 300 \] \[ 2(L + W) = 80 \quad \Rightarrow \quad L + W = 40 \]둘레 방정식에서 \( W = 40 - L \)입니다. 이를 넓이 방정식에 대입합니다:
\[ \begin{aligned} L(40 - L) &= 300 \\ 40L - L^2 &= 300 \\ L^2 - 40L + 300 &= 0 \\ (L - 30)(L - 10) &= 0 \end{aligned} \]해는 \( L = 30 \) 또는 \( L = 10 \)입니다. 길이를 더 긴 변으로 가정하면 \( L = 30 \) m이고 \( W = 10 \) m입니다.
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직사각형 정원의 길이는 100미터, 가로는 50미터입니다. 이 정원 내부에 정사각형 모양의 수영장을 만들려고 합니다. 수영장을 제외한 나머지 정원의 넓이가 직사각형 정원 전체 넓이의 절반과 같을 때, 수영장 한 변의 길이를 구하시오.
단계별 해답 보기
수영장의 한 변의 길이를 \( x \)라 합시다. 수영장의 넓이는 \( x^2 \)입니다.
나머지 넓이가 전체 넓이의 절반이라면, 수영장 자체도 전체 넓이의 절반을 차지해야 합니다. 정원의 총넓이는 \( 100 \times 50 = 5000 \)입니다.
\[ \begin{aligned} x^2 &= \dfrac{1}{2}(5000) \\ x^2 &= 2500 \\ x &= \sqrt{2500} = 50 \end{aligned} \]정답: 수영장의 한 변의 길이는 50미터입니다.
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ABC는 한 변의 길이가 50 cm인 정삼각형입니다. BH는 AC에 수직입니다. MN은 AC와 평행합니다. MN의 길이가 12 cm일 때, 삼각형 BMN의 넓이를 구하시오.
단계별 해답 보기
\( \triangle ABC \)가 정삼각형이고 \( BH \perp AC \)이므로, \( H \)는 \( AC \)의 중점이며 \( HC = \dfrac{50}{2} = 25 \) cm입니다.
\( MN \parallel HC \)이므로, 삼각형 \( \triangle BMN \)과 \( \triangle BHC \)는 닮음입니다. 대응하는 변의 비는 다음과 같습니다:
\[ \dfrac{MN}{HC} = \dfrac{12}{25} \]닮은 삼각형의 넓이 비는 변의 길이 비의 제곱입니다:
\[ \dfrac{\text{Area } BMN}{\text{Area } BHC} = \left(\dfrac{12}{25}\right)^2 \]다음으로 \( \triangle BHC \)에서 피타고라스 정리를 사용하여 높이 \( BH \)를 구합니다:
\[ BH = \sqrt{50^2 - 25^2} = \sqrt{2500 - 625} = \sqrt{1875} = 25\sqrt{3} \]\( \triangle BHC \)의 넓이는 다음과 같습니다:
\[ \text{Area } BHC = \dfrac{1}{2} \cdot HC \cdot BH = \dfrac{1}{2}(25)(25\sqrt{3}) = \dfrac{625\sqrt{3}}{2} \]마지막으로 \( \triangle BMN \)의 넓이를 구합니다:
\[ \text{Area } BMN = \left(\dfrac{144}{625}\right) \cdot \left(\dfrac{625\sqrt{3}}{2}\right) = 72\sqrt{3} \; \text{cm}^2 \] -
반지름 \( r = 5 \) cm인 원기둥 용기에 담긴 물의 높이가 10 cm입니다. 피터는 모양이 복잡한 돌의 부피를 측정하기 위해 그 돌을 용기 안에 넣었습니다. 물의 높이가 13.2 cm로 상승했습니다. 돌의 부피는 몇 세제곱센티미터입니까?
단계별 해답 보기
물의 초기 부피(\( V_1 \))를 구합니다:
\[ V_1 = \pi r^2 h_1 = \pi (5^2)(10) = 250\pi \; \text{cm}^3 \]돌이 잠긴 후의 새로운 부피(\( V_2 \))를 구합니다:
\[ V_2 = \pi r^2 h_2 = \pi (5^2)(13.2) = 330\pi \; \text{cm}^3 \]돌의 부피는 두 부피의 차이입니다:
\[ V_{\text{stone}} = 330\pi - 250\pi = 80\pi \; \text{cm}^3 \]\( \pi \approx 3.14159 \)를 사용할 때, 부피는 약 \( 251.3 \; \text{cm}^3 \)입니다.
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아래 그림에서 정사각형의 모든 꼭짓점이 원 위에 있습니다. 정사각형의 넓이가 \( 400 \text{ cm}^2 \)일 때, 원의 넓이는 얼마입니까?
단계별 해답 보기
정사각형의 한 변 \( x \)는 넓이를 통해 구할 수 있습니다:
\[ x^2 = 400 \quad \Rightarrow \quad x = 20 \; \text{cm} \]정사각형의 대각선 \( D \)는 원의 지름과 같습니다. 피타고라스 정리를 사용하여 \( D \)를 구합니다:
\[ D^2 = x^2 + x^2 = 400 + 400 = 800 \]원의 넓이는 \( A = \pi r^2 \)입니다. \( r = \dfrac{D}{2} \)이므로 \( r^2 = \dfrac{D^2}{4} \)입니다:
\[ A = \pi \left(\dfrac{D^2}{4}\right) = \pi \left(\dfrac{800}{4}\right) = 200\pi \; \text{cm}^2 \]\( \pi \approx 3.14 \)를 사용할 때, 넓이는 약 \( 628 \; \text{cm}^2 \)입니다.
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숫자 2, 3, 5, 그리고 \( x \)의 평균이 4입니다. \( x \)를 구하시오.
단계별 해답 보기
평균은 숫자들의 총합을 개수로 나눈 것입니다. 방정식을 세웁니다:
\[ \dfrac{2 + 3 + 5 + x}{4} = 4 \]\( x \)에 대해 풉니다:
\[ \begin{aligned} 10 + x &= 16 \\ x &= 6 \end{aligned} \] -
숫자 \( x, y, z \), 그리고 \( w \)의 평균이 25입니다. \( x, y \), 그리고 \( z \)의 평균은 27입니다. \( w \)를 구하시오.
단계별 해답 보기
네 숫자의 평균은 전체 합을 줍니다:
\[ \dfrac{x + y + z + w}{4} = 25 \quad \Rightarrow \quad x + y + z + w = 100 \]세 숫자의 평균은 부분적인 합을 줍니다:
\[ \dfrac{x + y + z}{3} = 27 \quad \Rightarrow \quad x + y + z = 81 \]이 부분 합을 첫 번째 방정식에 대입합니다:
\[ \begin{aligned} 81 + w &= 100 \\ w &= 19 \end{aligned} \] -
숫자 41, 46, \( x, y, z \)의 산술 평균이 50이고 최빈값이 45가 되도록 하는 \( x, y, z \)를 구하시오.
단계별 해답 보기
다섯 숫자의 산술 평균이 50입니다:
\[ \dfrac{41 + 46 + x + y + z}{5} = 50 \] \[ 87 + x + y + z = 250 \quad \Rightarrow \quad x + y + z = 163 \]최빈값은 가장 자주 나타나는 값입니다. 아직 반복되는 숫자가 없으므로 미지의 변수 중 적어도 두 개는 45여야 합니다. \( 45 \times 3 = 135 \)이므로 \( x = y = z = 45 \)가 될 수는 없으며(합이 163이 아니므로), 두 변수가 45여야 합니다(\( x = y = 45 \)라 가정):
\[ 45 + 45 + z = 163 \quad \Rightarrow \quad 90 + z = 163 \quad \Rightarrow \quad z = 73 \]정답: 값들은 45, 45, 73입니다.
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\( A \)는 상수입니다. 방정식 \( 2x + 1 = 2A + 3(x + A) \)가 \( x = 2 \)에서 해를 가질 때, \( A \)를 구하시오.
단계별 해답 보기
주어진 방정식에 \( x = 2 \)를 대입합니다:
\[ \begin{aligned} 2(2) + 1 &= 2A + 3(2 + A) \\ 4 + 1 &= 2A + 6 + 3A \\ 5 &= 5A + 6 \\ 5A &= -1 \\ A &= -\dfrac{1}{5} \end{aligned} \] -
1리터는 1세제곱데시미터(\( \text{dm}^3 \))와 같고, 물 1리터의 무게는 1킬로그램입니다. 반지름이 50센티미터이고 높이가 1미터인 원기둥 용기에 담긴 물의 무게는 얼마입니까?
단계별 해답 보기
리터로 쉽게 계산하기 위해 모든 단위를 데시미터(dm)로 변환합니다. (10 cm = 1 dm):
- 반지름 \( r = 50 \) cm = 5 dm
- 높이 \( h = 1 \) m = 100 cm = 10 dm
원기둥의 부피를 구합니다:
\[ V = \pi r^2 h = 3.14 \times (5)^2 \times 10 = 3.14 \times 250 = 785 \; \text{dm}^3 \]1 \( \text{dm}^3 \)은 1 kg이므로 총 무게는 785 kg입니다.
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아래 그림에서 삼각형 ABC는 직각이등변삼각형입니다. AM은 BC에 수직이고 MN은 AC에 수직입니다. 삼각형 MNC의 넓이와 삼각형 ABC의 넓이의 비를 구하시오.
단계별 해답 보기
\( \triangle ABC \)가 직각이등변삼각형이므로 빗변에 내린 수선 \( AM \)은 삼각형을 두 개의 더 작고 합동인 직각이등변삼각형(\( \triangle ABM \)과 \( \triangle ACM \))으로 나눕니다.
따라서 \( \triangle ACM \)의 넓이는 \( \triangle ABC \) 넓이의 정확히 절반입니다.
마찬가지로, 직각이등변삼각형 \( \triangle ACM \)에서 수선 \( MN \)은 이를 두 개의 합동인 직각이등변삼각형(\( \triangle AMN \)과 \( \triangle CMN \))으로 나눕니다.
따라서 \( \triangle MNC \)의 넓이는 \( \triangle ACM \) 넓이의 정확히 절반입니다.
이를 결합하면, \( \triangle MNC \)의 넓이는 \( \triangle ABC \) 넓이의 \( \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \)입니다.
정답: 비는 1:4입니다.
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펌프 A는 4시간 만에 물탱크를 채울 수 있습니다. 펌프 B는 같은 탱크를 6시간 만에 채울 수 있습니다. 빈 탱크를 채우기 위해 두 펌프 모두 오전 8시에 가동되었습니다. 1시간 뒤 펌프 B가 고장 나서 수리하는 데 1시간이 걸렸고, 그 후 다시 재가동되었습니다. 탱크가 가득 차는 시각은 언제입니까? (가장 가까운 분으로 반올림하세요).
단계별 해답 보기
펌프 A의 급수 속력은 시간당 \( \dfrac{1}{4} \) 탱크입니다. 펌프 B의 속력은 시간당 \( \dfrac{1}{6} \) 탱크입니다.
펌프 A가 작동하는 총 시간을 (시간 단위로) \( t \)라 합시다. 펌프 B는 정확히 1시간 동안 고장 나 있었으므로 \( t - 1 \) 시간 동안 작동했습니다.
두 펌프가 함께 1개의 전체 탱크를 채웁니다:
\[ \dfrac{t}{4} + \dfrac{t - 1}{6} = 1 \]방정식에 12를 곱하여 분모를 없앱니다:
\[ \begin{aligned} 3t + 2(t - 1) &= 12 \\ 3t + 2t - 2 &= 12 \\ 5t &= 14 \\ t &= 2.8 \; \text{hours} \end{aligned} \]2.8시간을 시간과 분으로 변환합니다:
\[ 0.8 \times 60 = 48 \; \text{minutes} \]총 소요 시간은 2시간 48분입니다. 오전 8:00에 시작했으므로 탱크는 오전 10:48에 가득 찹니다.
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\( 2x + y = 2 \)와 \( x - 2y = 0 \)의 방정식을 가진 두 직선은 평행합니까, 수직합니까, 아니면 둘 다 아닙니까?
단계별 해답 보기
각 방정식을 기울기-절편 형태(\( y = mx + b \))로 변환합니다:
\[ 2x + y = 2 \quad \Rightarrow \quad y = -2x + 2 \quad (\text{slope } m_1 = -2) \] \[ x - 2y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = \dfrac{1}{2}x \quad (\text{slope } m_2 = \dfrac{1}{2}) \]두 기울기의 곱이 \(-1\)이므로 서로 음의 역수 관계입니다:
\[ m_1 \times m_2 = -2 \times \dfrac{1}{2} = -1 \]정답: 두 직선은 수직입니다.
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넓이가 \( 50\pi \text{ cm}^2 \)인 반원이 직사각형 내부에 내접해 있습니다. 반원의 지름은 직사각형의 길이와 일치합니다. 직사각형의 넓이를 구하시오.
단계별 해답 보기
반원의 반지름을 \( R \)이라 합시다. 반원의 넓이는 전체 원 넓이의 절반입니다:
\[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2}\pi R^2 &= 50\pi \\ R^2 &= 100 \\ R &= 10 \; \text{cm} \end{aligned} \]반원의 지름이 직사각형의 길이와 일치하므로 길이 \( L = 2R = 20 \) cm입니다.
반원이 내접해 있으므로 반지름이 직사각형의 세로 폭에 닿아 폭 \( W = R = 10 \) cm입니다.
직사각형의 넓이를 계산합니다:
\[ \text{넓이} = L \times W = 20 \times 10 = 200 \; \text{cm}^2 \] -
어느 삼각형의 넓이가 \( 200 \text{ cm}^2 \)입니다. 이 삼각형의 두 변의 길이는 각각 26 cm와 40 cm입니다. 세 번째 변의 정확한 값을 구하시오.
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\( a = 26 \), \( b = 40 \)이라 하고, 두 변 사이의 각을 \( \alpha \)라 합시다. 삼각형의 넓이 공식은 다음과 같습니다:
\[ A = \dfrac{1}{2} a b \sin(\alpha) \]알려진 값을 대입하여 \( \sin(\alpha) \)를 구합니다:
\[ \begin{aligned} 200 &= \dfrac{1}{2}(26)(40)\sin(\alpha) \\ 200 &= 520\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) &= \dfrac{200}{520} = \dfrac{5}{13} \end{aligned} \]항등식 \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \)을 사용하여 \( \cos(\alpha) \)를 구합니다. 삼각형의 각은 예각 또는 둔각일 수 있으므로 \( \cos(\alpha) \)는 두 가지 값을 가질 수 있습니다:
\[ \cos(\alpha) = \pm\sqrt{1 - \left(\dfrac{5}{13}\right)^2} = \pm\sqrt{\dfrac{144}{169}} = \pm\dfrac{12}{13} \]이제 제2 코사인 법칙을 적용하여 세 번째 변 \( c \)를 구합니다:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\alpha) \] \[ c^2 = 26^2 + 40^2 - 2(26)(40)\left(\pm\dfrac{12}{13}\right) \] \[ c^2 = 676 + 1600 \mp 2080\left(\dfrac{12}{13}\right) \] \[ c^2 = 2276 \mp 1920 \]\( c^2 \)에 대한 두 가지 가능성을 계산합니다:
\[ \begin{aligned} c_1^2 &= 2276 - 1920 = 356 \\ c_2^2 &= 2276 + 1920 = 4196 \end{aligned} \]정답: 세 번째 변의 정확한 값은 두 가지 가능성으로 \( 2\sqrt{89} \) cm와 \( 2\sqrt{1049} \) cm입니다.