비율 수학 문제: 질문 및 단계별 해답

연습 문제

1. 어느 학교에 학생이 600명 있습니다. 이 학교의 남학생 대 여학생의 비는 3:5입니다. 이 학교에는 여학생과 남학생이 각각 몇 명씩 있습니까?

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   남학생 대 여학생의 비를 3:5로 얻기 위해, 공통 인수 \( x \)를 사용하여 남학생 수를 \( 3x \), 여학생 수를 \( 5x \)라 합시다.

   전체 학생 수는 600명입니다. 따라서 다음과 같은 방정식을 세울 수 있습니다:

   \[ \begin{aligned} 3x + 5x &= 600 \\ 8x &= 600 \\ x &= 75 \end{aligned} \]

   이제 \( x \)를 식에 다시 대입합니다:

   • 남학생 수: \( 3x = 3 \times 75 = 225 \)
   • 여학생 수: \( 5x = 5 \times 75 = 375 \)

2. 주머니에 빨간색 구슬 \( r \)개, 파란색 구슬 \( b \)개, 흰색 구슬 \( w \)개가 들어 있습니다. \( r \), \( b \), \( w \)를 사용하여 전체 구슬 개수에 대한 파란색 구슬 개수의 비를 쓰시오.

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   먼저 주머니 속 구슬의 총 개수를 구합니다:

   \[ \text{전체} = r + b + w \]

   파란색 구슬(\( b \))의 개수 대 전체 구슬 개수의 비는 다음과 같습니다:

   \[ \dfrac{b}{r + b + w} \]

3. 직사각형의 둘레는 280미터입니다. 길이 대 가로의 비는 5:2입니다. 직사각형의 넓이를 구하시오.

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   길이 대 가로의 비가 5:2이므로, 길이 \( L = 5x \), 가로 \( W = 2x \)라 합시다.

   둘레 공식은 \( 2(L + W) \)입니다. 알려진 값을 대입합니다:

   \[ \begin{aligned} 2(5x + 2x) &= 280 \\ 2(7x) &= 280 \\ 14x &= 280 \\ x &= \dfrac{280}{14} = 20 \end{aligned} \]

   이제 넓이를 계산합니다(\( A = L \times W \)):

   \[ \begin{aligned} A &= (5x) \times (2x) \\ A &= 10x^2 \\ A &= 10(20)^2 = 10(400) = 4000 \end{aligned} \]

   정답: 넓이는 4000제곱미터입니다.

4. 삼각형의 세 각의 비가 1:3:8입니다. 이 삼각형의 세 각의 크기를 구하시오.

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   세 각의 비가 1:3:8이므로, 각의 크기를 \( x \), \( 3x \), \( 8x \)로 쓸 수 있습니다.

   어떤 삼각형이든 세 내각의 합은 항상 \( 180^\circ \)입니다. 따라서:

   \[ \begin{aligned} x + 3x + 8x &= 180 \\ 12x &= 180 \\ x &= 15 \end{aligned} \]

   각각의 각의 크기를 계산합니다:

   • \( x = 15^\circ \)
   • \( 3x = 3 \times 15 = 45^\circ \)
   • \( 8x = 8 \times 15 = 120^\circ \)

5. 직각삼각형의 두 예각의 비가 2:7입니다. 두 각의 크기를 구하시오.

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   직각삼각형에서 두 예각은 서로 여각 관계이므로, 합이 \( 90^\circ \)입니다.

   주어진 비 2:7에 따라, 두 각의 크기를 \( 2x \)와 \( 7x \)라 합니다.

   \[ \begin{aligned} 2x + 7x &= 90 \\ 9x &= 90 \\ x &= 10 \end{aligned} \]

   두 예각의 크기는 다음과 같습니다:

   • \( 2x = 2 \times 10 = 20^\circ \)
   • \( 7x = 7 \times 10 = 70^\circ \)

6. 병에 페니(1센트)와 니켈(5센트)이 5대 3의 비율로 들어 있습니다. 병에 니켈이 30개 들어 있다면, 동전은 총 몇 개 있습니까?

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   페니 대 니켈의 비율이 5:3이라는 것은 페니의 개수를 \( 5x \), 니켈의 개수를 \( 3x \)로 쓸 수 있음을 의미합니다.

   니켈의 개수가 30개라고 주어졌습니다:

   \[ 3x = 30 \quad \Rightarrow \quad x = 10 \]

   병에 들어 있는 동전의 총 개수는 페니와 니켈의 합입니다:

   \[ \text{총 동전 수} = 5x + 3x = 8x = 8(10) = 80 \]

   정답: 총 80개의 동전이 있습니다.

7. 직사각형 들판의 넓이가 300제곱미터이고 둘레가 80미터입니다. 이 들판의 길이 대 가로의 비는 얼마입니까?

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   길이를 \( L \), 가로를 \( W \)라 하고 \( L > W \)라 합시다. 넓이와 둘레 방정식을 세웁니다:

   \[ L \times W = 300 \quad \text{(I)} \] \[ 2L + 2W = 80 \quad \Rightarrow \quad L + W = 40 \quad \text{(II)} \]

   방정식 (II)에서 \( W \)를 격리합니다:

   \[ W = 40 - L \]

   이를 방정식 (I)에 대입합니다:

   \[ \begin{aligned} L(40 - L) &= 300 \\ 40L - L^2 &= 300 \\ L^2 - 40L + 300 &= 0 \\ (L - 10)(L - 30) &= 0 \end{aligned} \]

   해는 \( L = 10 \) 또는 \( L = 30 \)입니다. 길이는 통상적으로 더 긴 변(\( L > W \))이므로 \( L = 30 \), \( W = 10 \)을 선택합니다.

   길이 대 가로의 비는 다음과 같습니다:

   \[ \dfrac{L}{W} = \dfrac{30}{10} = \dfrac{3}{1} \]

   정답: 비는 3:1입니다.

8. 비율 \( 3 \dfrac{2}{3} : 7 \dfrac{1}{3} \)을 가장 간단한 자연수의 비로 나타내시오.

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   먼저 대분수를 가분수로 변환합니다:

   \[ 3 \dfrac{2}{3} = \dfrac{(3 \times 3) + 2}{3} = \dfrac{11}{3} \] \[ 7 \dfrac{1}{3} = \dfrac{(7 \times 3) + 1}{3} = \dfrac{22}{3} \]

   이제 비율을 나눗셈으로 쓰고 계산합니다:

   \[ \dfrac{11}{3} \div \dfrac{22}{3} = \dfrac{11}{3} \times \dfrac{3}{22} = \dfrac{11}{22} = \dfrac{1}{2} \]

   정답: 가장 간단한 형태의 비는 1:2입니다.

9. 정사각형 A의 한 변의 길이는 정사각형 B의 한 변의 길이의 2배입니다. 정사각형 A의 넓이 대 정사각형 B의 넓이의 비는 얼마입니까?

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   정사각형 B의 한 변의 길이를 \( y \)라 합시다. 정사각형 A의 한 변은 2배이므로 길이는 \( 2y \)입니다.

   두 정사각형의 넓이를 계산합니다:

   \[ \text{A의 넓이} = (2y)^2 = 4y^2 \] \[ \text{B의 넓이} = y^2 \]

   정사각형 A의 넓이 대 정사각형 B의 넓이의 비는 다음과 같습니다:

   \[ \dfrac{\text{A의 넓이}}{\text{B의 넓이}} = \dfrac{4y^2}{y^2} = \dfrac{4}{1} \]

   정답: 비는 4:1입니다.

10. 정사각형 A의 한 변의 길이는 정사각형 B의 한 변의 길이의 절반입니다. 정사각형 A의 둘레 대 정사각형 B의 둘레의 비는 얼마입니까?

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    정사각형 A의 한 변의 길이를 \( x \)라 합시다. 이것이 정사각형 B의 절반이므로, 정사각형 B의 한 변의 길이는 \( 2x \)입니다.

    두 정사각형의 둘레를 계산합니다(둘레 = 4 × 한 변):

    \[ \text{A의 둘레} = 4x \] \[ \text{B의 둘레} = 4(2x) = 8x \]

    정사각형 A의 둘레 대 정사각형 B의 둘레의 비는 다음과 같습니다:

    \[ \dfrac{\text{A의 둘레}}{\text{B의 둘레}} = \dfrac{4x}{8x} = \dfrac{1}{2} \]

    정답: 비는 1:2입니다.

11. 주초에 서점에 과학 도서와 미술 도서가 2:5의 비율로 있었습니다. 주말이 끝날 무렵 각 종류의 책이 20%씩 판매되었고, 두 종류의 책을 합쳐 2240권이 팔리지 않고 남았습니다. 주초에 각 종류의 책은 각각 몇 권씩 있었습니까?

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    과학 도서와 미술 도서의 주초 수량을 각각 \( S \)와 \( A \)라 합시다.

    비율이 2:5이므로 \( S = 2x \), \( A = 5x \)로 쓸 수 있습니다. 즉, 초기 총 재고는 \( 7x \)입니다.

    책의 20%가 판매되었다면, 80%의 책이 팔리지 않고 남았습니다. 팔리지 않은 책의 총합은 2240권입니다:

    \[ \begin{aligned} 0.80(7x) &= 2240 \\ 5.6x &= 2240 \\ x &= \dfrac{2240}{5.6} = 400 \end{aligned} \]

    이제 초기 수량을 계산합니다:

    • 과학 도서: \( S = 2(400) = 800 \)
    • 미술 도서: \( A = 5(400) = 2000 \)

12. 월초에 한 상점에 20인치와 40인치 텔레비전이 4:5의 비율로 있었습니다. 월말이 되자 20인치 TV 200대와 40인치 TV 500대가 팔려서 20인치 TV 대 40인치 TV의 비율이 1:1이 되었습니다. 월초에 각 종류의 텔레비전은 각각 몇 대씩 있었습니까?

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    4:5 비율을 반영하여 월초 20인치 TV 수량을 \( 4x \), 40인치 TV 수량을 \( 5x \)라 합시다.

    각각 판매된 수량만큼 뺀 후의 새로운 수량은 \( 4x - 200 \)과 \( 5x - 500 \)입니다. 새로운 비율이 1:1이므로 두 수량은 같습니다:

    \[ \begin{aligned} 4x - 200 &= 5x - 500 \\ 500 - 200 &= 5x - 4x \\ 300 &= x \end{aligned} \]

    \( x = 300 \)을 초기 식에 다시 대입합니다:

    • 20인치 TV: \( 4(300) = 1200 \)
    • 40인치 TV: \( 5(300) = 1500 \)

13. TV 화면의 종횡비는 가로 길이 대 세로 길이의 비입니다. 종횡비가 4:3이고 대각선 길이가 50인치인 TV 화면의 가로 길이와 세로 높이를 구하시오.

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    가로 길이를 \( H = 4x \), 세로 높이를 \( V = 3x \)라 합시다.

    화면은 대각선을 빗변으로 하는 직각삼각형을 형성합니다. 피타고라스 정리(\( a^2 + b^2 = c^2 \))를 적용합니다:

    \[ \begin{aligned} H^2 + V^2 &= 50^2 \\ (4x)^2 + (3x)^2 &= 2500 \\ 16x^2 + 9x^2 &= 2500 \\ 25x^2 &= 2500 \\ x^2 &= 100 \\ x &= 10 \end{aligned} \]

    실제 치수를 계산합니다:

    • 가로 길이: \( H = 4(10) = 40 \) 인치
    • 세로 길이: \( V = 3(10) = 30 \) 인치

참고 자료 및 링크

• 중학교 수학 (6, 7, 8, 9학년) - 정답이 포함된 무료 문제 및 풀이
• 고등학교 수학 (10, 11, 12학년) - 정답이 포함된 무료 문제 및 풀이
• 초등학교 수학 (4, 5학년) - 정답이 포함된 무료 문제 및 풀이