단계별 예제와 정답이 포함된 연습 문제를 통해 정수의 최소공배수(LCM)와 최대공약수(GCF)를 구하는 방법을 배우세요. 아래의 인터랙티브 계산기를 사용하여 답을 확인할 수 있습니다:
- 최소공배수(LCM) 계산기 – 두 양의 정수의 LCM을 계산합니다.
- 최대공약수(GCF) 계산기 – 두 양의 정수의 GCF를 계산합니다.
페이지 목차
A - 두 수의 최소공배수(LCM) 구하기
방법 1:
예제 1: 배수를 나열하여 6과 4의 LCM을 구합니다.
6과 4의 첫 몇 개 배수를 찾습니다:
6: 6 , 12 , 18 , 24 , 30 ,...
4: 4 , 8 , 12 , 16 , 20 ,...
6과 4의 공통인 배수 중 가장 작은 수는 12입니다. 따라서 6과 4의 LCM은 12입니다.
참고: 이 방법은 작은 수에 가장 적합합니다.
방법 2:
소인수분해를 사용하여 LCM을 구합니다. 소인수분해는 정수를 인수분해하기 위해 소수(2, 3, 5, 7, 11, ...)를 사용합니다.
소인수분해 예제:
\(4 = 2 \times 2\)
\(14 = 2 \times 7\)
\(16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2\)
\(20 = 2 \times 2 \times 5\)
예제 2: 소인수분해를 사용하여 6과 4의 LCM을 구합니다.
각 숫자의 소인수분해를 찾습니다:
\(6 = 2 \times 3\)
\(4 = 2 \times 2\)
인수분해된 형태를 곱합니다:
\(6 \times 4 = (\underline{2} \times 3) \times (\underline{2} \times 2)\)
인수 \(\underline{2}\)가 두 번 세어지므로, 가장 작은 공배수를 얻기 위해 한쪽 항에서 제거합니다:
\(\text{LCM} = 3 \times (2 \times 2) = 12\).
예제 3: 소인수분해를 사용하여 20과 24의 LCM을 구합니다.
\(20 = 2 \times 2 \times 5\)
\(24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3\)
인수분해된 형태의 곱은 \((\underline{2} \times \underline{2} \times 5) \times (\underline{2} \times \underline{2} \times 2 \times 3)\)입니다.
중복되는 인수 \(\underline{2} \times \underline{2}\)를 한쪽 항에서 제거하면 다음과 같습니다:
\(\text{LCM} = (5) \times (2 \times 2 \times 2 \times 3) = 120\).
예제 4: 소인수분해를 사용하여 1240과 5300의 LCM을 구합니다.
\(1240 = \underline{2} \times \underline{2} \times 2 \times \underline{5} \times 31\)
\(5300 = \underline{2} \times \underline{2} \times \underline{5} \times 5 \times 53\)
중복되는 인수 \(\underline{2} \times \underline{2} \times \underline{5}\)를 한쪽 항에서 제거하면 다음과 같습니다:
\(\text{LCM} = (2 \times 31) \times (\underline{2} \times \underline{2} \times \underline{5} \times 5 \times 53) = 328,600\).
B - 두 수의 최대공약수(GCF) 구하기
예제 5: 소인수분해를 사용하여 6과 4의 GCF를 구합니다.
\(6 = 2 \times 3\)
\(4 = 2 \times 2\)
숫자 2는 6과 4가 공유하는 가장 큰 공약수입니다. 따라서 \(\text{GCF} = 2\)입니다.
예제 6: 소인수분해를 사용하여 20과 24의 GCF를 구합니다.
\(20 = \underline{2} \times \underline{2} \times 5\)
\(24 = \underline{2} \times \underline{2} \times 2 \times 3\)
GCF는 모든 공통 인수의 곱입니다: \(\underline{2} \times \underline{2} = 4\).
예제 7: 소인수분해를 사용하여 1240과 5300의 GCF를 구합니다.
\(1240 = \underline{2} \times \underline{2} \times 2 \times \underline{5} \times 31\)
\(5300 = \underline{2} \times \underline{2} \times \underline{5} \times 5 \times 53\)
GCF는 \(\underline{2} \times \underline{2} \times \underline{5} = 20\)으로어집니다.
C - 두 수의 LCM과 GCF 사이의 관계
아래 표는 임의의 두 전체 숫자의 곱이 그들의 LCM과 GCF의 곱과 같음을 보여줍니다.
| \((m , n)\) | \(\text{LCM}(m,n)\) | \(\text{GCF}(m,n)\) | \(\text{LCM}(m,n) \times \text{GCF}(m,n)\) | \(m \times n\) |
|---|---|---|---|---|
| \((4 , 6)\) | 12 | 2 | \(12 \times 2 = 24\) | \(4 \times 6 = 24\) |
| \((20 , 24)\) | 120 | 4 | \(120 \times 4 = 480\) | \(20 \times 24 = 480\) |
핵심 속성: 임의의 두 정수 \(m\)과 \(n\)에 대해:
\(m \times n = \text{LCM}(m,n) \times \text{GCF}(m,n)\)
문제 및 단계별 풀이
각 쌍의 숫자의 LCM과 GCF를 구하고, 이들의 곱이 LCM과 GCF의 곱과 같음을 확인하세요.
-
문제 A: 21과 14
단계별 풀이 보기
설명:
- 소인수분해: \(21 = 3 \times 7\) 및 \(14 = 2 \times 7\).
- GCF: 공통 인수는 7입니다. 따라서 \(\text{GCF} = 7\).
- LCM: \(2 \times 3 \times 7 = 42\). 따라서 \(\text{LCM} = 42\).
- 확인: \(\text{GCF} \times \text{LCM} = 7 \times 42 = 294\) 이고 \(21 \times 14 = 294\).
정답: \(\text{GCF} = 7\), \(\text{LCM} = 42\)
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문제 B: 45와 55
단계별 풀이 보기
설명:
- 소인수분해: \(45 = 3^2 \times 5\) 및 \(55 = 5 \times 11\).
- GCF: 공통 인수는 5입니다. 따라서 \(\text{GCF} = 5\).
- LCM: \(3^2 \times 5 \times 11 = 9 \times 5 \times 11 = 495\). 따라서 \(\text{LCM} = 495\).
- 확인: \(\text{GCF} \times \text{LCM} = 5 \times 495 = 2475\) 이고 \(45 \times 55 = 2475\).
정답: \(\text{GCF} = 5\), \(\text{LCM} = 495\)
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문제 C: 120과 248
단계별 풀이 보기
설명:
- 소인수분해: \(120 = 2^3 \times 3 \times 5\) 및 \(248 = 2^3 \times 31\).
- GCF: 공통 인수는 \(2^3 = 8\)입니다. 따라서 \(\text{GCF} = 8\).
- LCM: \(2^3 \times 3 \times 5 \times 31 = 3720\). 따라서 \(\text{LCM} = 3720\).
- 확인: \(\text{GCF} \times \text{LCM} = 8 \times 3720 = 29760\) 이고 \(120 \times 248 = 29760\).
정답: \(\text{GCF} = 8\), \(\text{LCM} = 3720\)