La fonction d'erreur \( \text{Erf} \; (x) \) est définie par l'intégrale [4]
\[ \displaystyle \text{Erf} \; (x) = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^{x} \; e^{-t^2} \; dt \]
Des programmes informatiques, dans différentes langues, peuvent être facilement développés pour calculer \( \text{Erf} \; (x) \).
Un tableau des valeurs de \( \text{Erf} (x) \) dans l'intervalle \( x \in [-3 \; , \; 3] \) a été créé en utilisant Google Sheets est présenté ci-dessous avec son graphique. (vous devrez peut-être faire défiler vers le bas).
D'après la définition et le graphique, nous pouvons dire que \( \text{Erf} \; (x) \) est une fonction impaire et donc
La fonction de densité normale d'une variable aléatoire \( X \) avec une moyenne \( \mu \) et un écart-type \( \sigma \) est donnée par [1] [2] [3] [4].
\[ f_{X}(x) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \; \pi }} \; e^{-\frac{1}{2} \left(\dfrac{x -\mu}{\sigma} \right)^2 } \qquad (I) \]
dont le graphique est montré ci-dessous.
Nous développons maintenant la relation entre la fonction de distribution cumulative pour une distribution normale définie ci-dessus et donnée par
\[ F_{X}(x,\mu,\sigma) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \; \pi }} \int_{-\infty}^{x} \; e^{-\frac{1}{2} \left(\dfrac{t -\mu}{\sigma} \right)^2 } dt \qquad (III) \]
et la fonction d'erreur définie par
\[ \displaystyle \text{Erf} \; (x) = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^{x} \; e^{-t^2} \; dt \qquad
(IV) \]
Soit \( z = \dfrac{t-\mu}{\sigma \sqrt 2} \) et donc \( \dfrac{dz}{dt} = \dfrac{1}{\sigma \sqrt 2} \) ou \( dz = \dfrac{1}{\sigma \sqrt 2} dt \)
Substituons cela dans \( (III) \) et écrivons
\[ \displaystyle F_{X}(x,\mu,\sigma) = \dfrac{1}{ \sqrt{\pi} } \int_{-\infty}^{\dfrac{x-\mu}{\sigma \sqrt 2}} \; e^{-z^2 } dz \]
Divisons l'intervalle d'intégration et écrivons \( F_{X}(x,\mu,\sigma) \) comme suit
\[ \displaystyle F_{X}(x,\mu,\sigma) = \dfrac{1}{ \sqrt{\pi} } \left( \int_{-\infty}^{0} \; e^{-z^2 } dz + \int_{0}^{\dfrac{x-\mu}{\sigma \sqrt 2}} \; e^{-z^2 } dz \right) \qquad (V) \]
Nous utilisons maintenant l'intégrale gaussienne intégrale gaussienne qui est donnée par
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt {\pi}\]
et parce que \( e^{-x^2} \) est une fonction paire, nous avons
\[ \int_{-\infty}^{0} e^{-x^2} dx = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx \]
Utilisons l'intégrale gaussienne pour écrire
\[ \int_{-\infty}^{0} e^{-x^2} dx = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx = \dfrac{\sqrt {\pi}}{2}\]
Substituons dans \( \qquad (V) \) et écrivons
\[ \displaystyle F_{X}(x,\mu,\sigma) = \dfrac{1}{ \sqrt{\pi} } \left( \dfrac{\sqrt {\pi}}{2} + \int_{0}^{\dfrac{x-\mu}{\sigma \sqrt 2}} \; e^{-z^2 } dz \right) \qquad (V) \]
En utilisant \( (IV) \) , nous écrivons \( \displaystyle \int_0^{\left(\dfrac{x - \mu}{\sigma\sqrt 2}\right)} \; e^{-t^2} \; dt = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2} \text{Erf} \; \left(\dfrac{x - \mu}{\sigma\sqrt 2}\right) \) que nous substituons dans \( (V) \) ci-dessus pour écrire
\[ \displaystyle F_{X}(x,\mu,\sigma) = \dfrac{1}{ \sqrt{\pi} } \left( \dfrac{\sqrt {\pi}}{2} + \dfrac{\sqrt{\pi}}{2} \text{Erf} \; \left(\dfrac{x - \mu}{\sigma\sqrt 2}\right) \right) \qquad (V) \]
Simplifions et écrivons la relation entre entre \( F_{X}(x,\mu,\sigma) \) et \( \text{Erf} \; (x) \) comme suit:
\[ \boxed {\displaystyle F_{X}(x,\mu,\sigma) = \dfrac{1}{2 } \left( 1 + \text{Erf} \; \left(\dfrac{x - \mu}{\sigma\sqrt 2}\right) \right)} \]
Ainsi, la fonction de distribution cumulative normale \( F_{X}(x,\mu,\sigma) \) peut être calculée à l'aide de la fonction d'erreur \( \text{Erf} (x) \).