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Laplace-Transformationen werden anhand von Beispielen mit schrittweisen Erklärungen und Lösungen vorgestellt.

Definition der Laplace-Transformation

Wenn \( f(t) \) eine einseitige Funktion ist, sodass \( f(t) = 0 \) für \( t \lt 0 \), dann wird die Laplace-Transformation \( F(s) \) definiert durch das uneigentliche Integral \[ \mathscr{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \] oder durch die genauere Definition, um Funktionen wie die Delta-Funktion \( \delta (t) \) zu berücksichtigen, wie wir unten in Beispiel 5 sehen werden. \[ \mathscr{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0^{-}}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \] wobei \( s \) eine komplexe Zahl sein darf, für die das oben genannte uneigentliche Integral konvergiert.
Im Folgenden ist \( j \) die imaginäre Einheit, definiert durch \( j = \sqrt{-1} \).

Beispiel 1
Bestimmen Sie die Laplace-Transformation der Funktion \( f(t) \), definiert durch \[ f(t) = 1 \] Lösung zu Beispiel 1
Verwenden Sie die oben gegebene Definition der Laplace-Transformation.
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \)
\( f(t) = 1 \) über dem Integrationsintervall \( [0, \infty ) \), daher vereinfacht sich \( F(s) \) zu
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} e^{-st} dt \)
Berechnen Sie das oben genannte uneigentliche Integral wie folgt:
\( \displaystyle F(S) = \lim_{T \to +\infty} \left[ -\dfrac{1}{s} e^{-st} \right]_{0}^{T} \)

\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} - \dfrac{e^{-sT} - e^{0}}{s} \)
Wenn der Realteil von \( s \) größer als null ist, dann ist \( \lim_{T \to +\infty} e^{-sT} = 0\), und daher konvergiert das Integral und \( F(S) \) ist gegeben durch
\[ F(S) = \dfrac{1}{s} \]

Beispiel 2
Bestimmen Sie die Laplace-Transformation der Funktion \( f(t) \), definiert durch \[ f(t) = e^{at} \] Lösung zu Beispiel 2
Verwenden Sie die oben gegebene Definition.
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} e^{at} e^{-st} dt \)
Vereinfachen Sie die Exponenten.
\( \displaystyle \quad \quad = \int_{0}^{+\infty} e^{(a-s)t} dt \)
Berechnen Sie das oben genannte uneigentliche Integral.
\( F(S) = \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{a - s} e^{(a-s)t} \right]_{0}^{T} \)

\( \displaystyle \quad \quad = \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{(a-s)T} - e^{0}}{a-s} \)
Für den Realteil von \( s \), der größer als der Realteil von \( a \) ist, gilt \( \lim_{T \to +\infty} e^{(a-s)T} = 0\), und daher konvergiert das Integral und \( F(S) \) ist gegeben durch
\[ F(S) = \dfrac{1}{s - a} \]

Beispiel 3
Bestimmen Sie die Laplace-Transformation der Funktion \( f(t) \), definiert durch \[ f(t) = \sin(\omega t) \] Lösung zu Beispiel 3
Verwenden Sie die oben gegebene Definition.
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} \sin(\omega t) e^{-st} dt \)
Drücken Sie \( \sin(\omega t) \) in Form von Exponentialfunktionen aus:
\( \sin(\omega t) = \dfrac{e^{j \omega t } - e^{ - j \omega t }}{2 j} \)
Setzen Sie dies ein und berechnen Sie das Integral.

\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{j \omega t } - e^{ - j \omega t }}{2 j} e^{-st} dt \)
Teilen Sie den Integranden und schreiben Sie das Integral als Summe/Differenz von Integralen.
\( \quad \quad \displaystyle = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{j \omega t} e^{- s t}}{2 j} dt - \int_{0}^{+\infty} \dfrac{ e^{-j \omega t}e^{ - st}}{2 j} dt \)
Gruppieren Sie die Exponenten und faktorisieren Sie \( t \) heraus.
\( \quad \quad \displaystyle = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{ (j \omega - s) t}}{2 j} dt - \int_{0}^{+\infty} \dfrac{ e^{ -(j \omega + s) t}}{2 j} dt \)
Werten Sie das Integral aus.
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{2j( j \omega - s)} e^{(j\omega-s)t} \right]_{0}^{T} - \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{-2j( j \omega + s)} e^{ - (j\omega+s)t} \right]_{0}^{T}\)

\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{(j\omega-s)T} - e^0}{2j( j \omega - s)} - \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{ - (j\omega-s)T }- e^0}{-2j( j \omega + s)} \)

Wenn der Realteil von \( s \) größer als null ist, dann gilt \( \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{(j\omega-s)T}}{2j( j \omega - s)} = 0 \) und \( \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{ - (j\omega + s)T }}{-2j( j \omega + s)} = 0 \), daher konvergiert das Integral und \( F(S) \) ist gegeben durch:
\( \displaystyle F(s) = - \dfrac {1}{2j( j \omega - s)} - \dfrac {1}{2j( j \omega + s)} \)
Bringen Sie dies auf einen gemeinsamen Nenner und vereinfachen Sie, um zu erhalten:

\[ \displaystyle F(s) = \dfrac{\omega}{\omega^2+s^2} \]

Beispiel 4
Bestimmen Sie die Laplace-Transformation der Funktion \( f(t) = \cosh(\omega t) \).
Lösung zu Beispiel 4
Verwenden Sie die Definition der Laplace-Transformation.
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} \cosh(\omega t) e^{-st} dt \)
Drücken Sie \( \cosh(\omega t) \) in Form von Exponentialfunktionen aus:
\( \cosh(\omega t) = \dfrac{e^{\omega t}+e^{-\omega t}}{2} \)
Setzen Sie dies ein und berechnen Sie das Integral.

\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{\omega t } + e^{-\omega t }}{2 } e^{-st} dt \)
Teilen Sie den Integranden.
\( \quad \quad \displaystyle = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{ \omega t} e^{ - s t }}{2} dt + \int_{0}^{+\infty} \dfrac{ e^{ -\omega t}e^{ - s t}}{2} dt \)
Gruppieren Sie die Exponenten und faktorisieren Sie \( t \) heraus.
\( \quad \quad \displaystyle = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{ (\omega - s)t }}{2} dt + \int_{0}^{+\infty} \dfrac{ e^{ -(\omega + s)t}}{2} dt \)
Werten Sie die Integrale aus.
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{2( \omega - s)} e^{(\omega-s)t} \right]_{0}^{T} + \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{ - 2( \omega + s)} e^{ - (\omega+s)t} \right]_{0}^{T}\)

\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{(\omega-s)T}-e^0}{2( \omega - s)} + \lim_{T \to +\infty} \dfrac{ e^{ - (\omega+s)T} - e^0 }{ - 2( \omega + s)} \)

Für den Realteil von \( s \), der größer als \( \omega \) ist, gilt \( \lim_{T \to +\infty} e^{(\omega-s)T} = 0 \) und \( \lim_{T \to +\infty} e^{-(\omega + s)T} = 0 \), daher konvergiert das Integral und ist gegeben durch:

\( \quad \quad \displaystyle F(s) = \dfrac{-1}{2(\omega - s)} + \dfrac{-1}{-2(\omega + s)} \)
und vereinfacht sich zu:
\[ \displaystyle F(s) = \dfrac{s}{s^2 - \omega^2} \]

Beispiel 5 Laplace-Transformation der Dirac-Delta-Funktion.
Bestimmen Sie die Laplace-Transformation der Delta-Funktionen: a) \( \delta (t) \) und b) \( \delta (t - a) , a \gt 0\).
Lösung zu Beispiel 5
Zunächst erinnern wir uns daran, dass Integrale, die Delta-Funktionen beinhalten, wie folgt ausgewertet werden:
\[ \displaystyle \int_{A}^{B} f(t) \delta(t - a) dt = \begin{cases} 1 & \text{für} A \lt a \lt B \\ 0 & \text{sonst} \\ \end{cases} \]
a)
Um die Laplace-Transformation von \( \delta (t) \) zu bestimmen, benötigen wir die präzise Definition der Laplace-Transformation, die durch
\( \displaystyle \mathscr{L}\{\delta(t)\} = \int_{0^{-}}^{+\infty} \delta(t) e^{-st} dt \)
Das Intervall der Integration beginnt bei \( 0^{-} \), um die Delta-Funktion \( \delta(t) \) in der Integration zu berücksichtigen, wie oben gezeigt.
Werten Sie das oben genannte Integral aus:
\( \displaystyle \mathscr{L}\{\delta(t)\} = \int_{0^{-}}^{+\infty} \delta(t) e^{-st} dt = e^0 = 1 \)
b)
Für die Funktion \( \delta (t - a) , a \gt 0\),
Da \( a \gt 0 \) ist, ergibt die Definition der Laplace-Transformation:
\( \displaystyle \mathscr{L}\{\delta(t - a)\} = \int_{0}^{+\infty} \delta(t - a) e^{-st} dt = e^{-as} \)

Weitere Referenzen und Links