Perguntas de Álgebra com Soluções - 12ª série

Grau 12 São apresentadas perguntas de álgebra com respostas e soluções. Algumas destas questões podem ser desafiadoras; você precisa dedicar tempo a eles, pois são eles que fazem você pensar e aprender como resolver problemas. Além disso, o trabalho em grupo sobre questões desafiadoras é uma excelente oportunidade para interagir com outras pessoas e aprender com elas. Deixe-me saber sobre quaisquer outras soluções possíveis para qualquer uma das perguntas abaixo.

1. Ordene do maior para o menor
   a) 25¹⁰⁰
   b) 2³⁰⁰
   c) 3⁴⁰⁰
   d) 4²⁰⁰
   e) 2⁶⁰⁰
   

2. Encontre todos os zeros racionais de P(x) = x ³ - 7 x + 6.
   

3. Arredonde todos os zeros reais do gráfico para o número inteiro mais próximo e encontre uma função polinomial P de menor grau, com valor absoluto do coeficiente líder igual a 1, que possua o gráfico indicado.
   

   .
   

4. (2 - i), onde i é a unidade imaginária, é um zero de P(x) = x ⁴ - 4 x ³ + 3 x ² + 8 x - 10. Encontre todos os zeros de P.
   

5. Encontre a, b e c de modo que o gráfico da função quadrática f(x) = a x ² + b x + c tenha um vértice em (-2 , 1) e passe pelo ponto (0 , -3).
   

6. f(x) é uma função quadrática tal que f(1) = 3 e f(5) = 3. Encontre a coordenada x do vértice do gráfico de f.
   

7. Encontre a e b para que a função racional f(x) = (a x ⁴ + b x ³ + 3) / (x ³ - 2 ) tem uma assíntota oblíqua dada por y = 2 x - 3
   

8. Resolva para x a equação log₉ (x ³) = log₂(8)
   

9. Encontre o valor de log_y (x⁴) se log_x (y³) = 2
   

10. Resolva para x a equação log_x (8 e³) = 3
    

11. Se 16 ^x + 16 ^{x - 1} = 10, encontre 2 ^2x.
    

12. Se a ² - b ² = 8   e   a × b = 2 , encontre a ⁴ + b ⁴.
    

13. Quais são os valores máximo e mínimo de f(x) = |2sin(2x - π/3) - 5| +3
    

14. Se x < -7, simplifique |4 - |3 + x||
    

15. Um carro viaja de A para B com velocidade média de 50 km/h. A que velocidade média ele teria que viajar de B para A para atingir uma média de 60 km/hora durante toda a viagem?
    

16. Se x ² - y ² = -1 2 e x + y = 6, encontre x e y.
    

17. f(x) é uma função tal que f(x) + 3 f(8 - x) = x para todos os números reais x. Encontre o valor de f(2).
    

18. f(x) é uma função tal que f(2x + 1) = 2 f(x) + 1 para todos os números reais x e f(0) = 2. Encontre o valor de f(3).
    

19. Encontre b de modo que a reta y = 2 x + b seja tangente ao círculo x ² + y ² = 4.
    

20. Qual é o resto da divisão (x ¹⁰⁰ - x ⁹⁹ - x + 1) / (x ² - 3 x + 2)
    

21. Avalie o número representado pela série infinita √(1/3 + √(1/3 + √(1/3 + ...))).
    

22. Mostre que o sistema de equações 3 por 3 dado abaixo não tem solução.
    2 x + y - 3z = 5
    -5 x + 3 y + 2 z = 7
    3 x - 4 y + z = 8
    

Soluções para os problemas acima

1. 
   25¹⁰⁰
   2³⁰⁰ = (2³)¹⁰⁰ = 8¹⁰⁰
   3⁴⁰⁰ = (3⁴)¹⁰⁰ = 81¹⁰⁰
   4²⁰⁰ = (4²)¹⁰⁰ = 16¹⁰⁰
   2⁶⁰⁰ = (2⁶)¹⁰⁰ = 64¹⁰⁰ do maior para o menor: 3⁴⁰⁰ , 2⁶⁰⁰, 25¹⁰⁰ , 4²⁰⁰ , 2³⁰⁰
   
2. 
   P(x) = x³ - 7x + 6 : dado
   coeficiente líder 1 e seus fatores são: +1,-1
   o termo constante é 6 e seus fatores são: +1,-1,+2,-2,+3,-3,+6,-6
   possíveis zeros racionais: +1,-1,+2,-2,+3,-3,+6,-6
   teste: P(1) = 0, P(2) = 0 e P(-3) = 0
   x = 1, x = 2 e x = -3 são os zeros de P(x).
   
3. 
   No gráfico, x = - 3 é um zero de multiplicidade 2, x = 0 é um zero de multiplicidade 1 e x = 2 é um zero de multiplicidade 2. Portanto
   P(x) = - x (x + 3) ² (x - 2)² : polinômio com zeros reais, portanto com menor grau.
   
4. )
   se (2 - i) for zero e os coeficientes do polinômio forem reais, então 2 + i (o conjugado) também é uma solução.
   P(x) = (x - (2 - i))(x - (2 + i))×q(x) = ((x - 2)² + 1)×q(x)
   q(x) = P(x)/((x - 2)² + 1) = (x² - 2)
   x = 2 - i , x = 2 + i , x = √2 and x = - √2 são os 4 zeros de P(x).
   
5. 
   f(x) = a (x + 2)² + 1 : equação da parábola em forma de vértice
   f(0) = -3 = 4 a + 1
   a = -1 : resolver por a
   f(x) = -(x + 2)² + 1 = -x ² - 4 x - 3
   a = - 1 , b = - 4 and c = - 3 : identificar coeficientes
   
6. 
   f(x) = a x² + b x + c
   f(1) = 3 que dá 3 = a + b + c
   f(5) = 3 que dá 3 = 25 a + 5 b + c
   24 a + 4 b = 0: subtraia a equação B da equação C
   coordenada x do vértice = - b/2a = 3: da equação acima
   
7. 
   A assíntota oblíqua é o quociente resultante da longa divisão de a x⁴ + b x³ + 3 por x ³ - 2
   O quociente obtido é ax + b
   a x + b = 2 x - 3
   a = 2 e b = -3 : para que dois polinômios sejam iguais, os coeficientes correspondentes devem ser iguais.
   
8. 
   log₉ (x ³) = log₂(8): dado
   log₂ (2 ³) = 3: simplifica o lado direito de determinada equação.
   log₉ (x ³) = 3: reescreva a equação acima
   log₉ (x ³) = log₉(9³) : reescrever 3 como um log base 9.
   x³ = 9 ³ : obtenha a equação algébrica da equação D.
   x = 9: resolva acima para x.
   
9. 
   log_x (y ³) = 2: dado
   x ² = y ³ : reescreva na forma exponencial
   x ⁴ = y ⁶ : eleve ambos os lados ao quadrado
   x ⁴ = y ⁶ : reescreva o acima usando o log base y
   log_y(x ⁴) = log_y(y ⁶) = 6
   
10. 
    log_x (8 e ³) = 3: dado
    x ³ = 8 e ³ = (2e) ³
    x = 2e
    
11. 
    16 ^x + 16 ^{x - 1} = 10: dado
    4 ^2x + 4 ^2x / 16 = 10
    4 ^2x = 160/17: resolva para 4^2x
    4 ^x = 4 √(10) / √(17) : extraia a raiz quadrada
    2 ^2x = 4 ^x = 4 √(10) / √(17)
    
12. 
    a ² - b ² = 8: dado
    a ⁴ + b ⁴ - 2 a ² b ² = 8 ² : quadrar ambos os lados e expandir.
    a×b = 2: dado
    a ²b ² = 2 ² : eleve ambos os lados ao quadrado.
    a ⁴ + b ⁴ - 2(4) = 8 ² : substituto
    a ⁴ + b ⁴ = 72
    
13. 
    -1 ≤ sin(2x - π/3) ≤ 1: intervalo de uma função senoidal
    -2 ≤ 2sin(2x - π/3) ≤ 2: multiplique todos os termos da dupla desigualdade por 2
    -2 - 5 ≤ 2sin(2x - π/3) - 5 ≤ 2 - 5: adicione -5 a todos os termos da desigualdade.
    -7 ≤ 2sin(2x - π/3) - 5 ≤ -3
    3 ≤ |2sin(2x - π/3) - 5| ≤ 7: altere o valor acima usando valor absoluto.
    3 + 3 ≤ |2sin(2x - π/3) - 5| + 3 ≤ 7 + 3: adicione 3 a todos os termos da dupla desigualdade.
    O valor máximo de f(x) é igual a 10 e o valor mínimo de f(x) é igual a 6.
    
14. 
    Se x < -7 então x < - 3 ex + 3 < 0 e |3 + x| = -(3 + x)
    |4 - |3 + x|| = |4 + 3 + x| = |x + 7| = - (x + 7) = - x - 7: desde x + 7 < 0
    
15. 
    Seja d a distância entre A e B
    T1 = d / 50: tempo de viagem de A a B
    Seja S a velocidade de B para A
    T2 = d/S: tempo de viagem de B a A
    60 = 2d / (T1 + T2): velocidade média para toda a viagem
    60 = 2d / (d/50 + d/S) : substituir T1 e T2
    S = 75 km/hora: resolva a equação acima para S.
    
16. 
    x ² - y ² = (x - y)(x + y) = -12: dado
    6(x - y) = -12: substitua x + y por 6
    (x - y) = -2: resolva para x - y
    (x - y) = -2 e x + y = 6: sistema 2 por 2.
    x = 2, y = 4: resolva o sistema acima.
    
17. 
    f(x) + 3 f(8 - x) = x : dado
    f(2) + 3 f(6) = 2 : x = 2 acima
    f(6) + 3 f(2) = 6 : x = 6 acima
    f(6) = 6 - 3 f(2) : resolva a equação C para f(6)
    f(2) + 3 (6 - 3f(2)) = 2: substituto
    f(2) = 2 : resolva a equação acima.
    
18. 
    f(2x + 1) = 2 f(x) + 1: dado
    f(3) = 2 f(1) + 1 : x = 1 em A
    f(1) = 2 f(0) + 1 : x = 0 em A
    f(3) = 11: substituto
    
19. 
    x ² + y ² = 4: dado
    x ² + (2x + b) ² = 4: substitua y por 2x + b
    5x ² + 4 b x + b ² - 4 = 0
    O número de pontos de intersecção é dado pelo número de soluções da equação acima. A reta e o círculo são tangentes se a equação quadrática acima tiver apenas uma solução, o que significa que o discriminante é igual a zero. Encontre o discriminante em função de b e resolva.
    2 soluções. : b = √2 e b = -√2
    
20. 
    (x ¹⁰⁰ - x ⁹⁹ - x + 1) / (x ² - 3 x + 2)
    Seja P(x) = x ¹⁰⁰ - x ⁹⁹ - x + 1, D(x) = x ² - 3 x + 2
    A divisão dos dois polinômios pode ser escrita como
    P(x) = D(x) Q(x) + r(x) , onde Q(x) é o quociente e r(x) é o resto que terá grau igual a um ou menor. r(x) = ax + b
    Agora precisamos encontrar aeb que definam o resto.
    Observe que D(x) pode ser fatorado da seguinte forma: D(x) = x ² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
    Portanto: P(x) = (x - 1)(x - 2) Q(x) + a x + b
    Usando os zeros de D(x) para escrever:
    P(1) = (1 - 1)(1 - 2) Q(1) + a (1) + b dá a + b = P(1)
    P(2) = (2 - 1)(2 - 2) Q(2) + a (2) + b dá 2 a + b = P(2)
    Agora precisamos avaliar P(1) e P(2)
    P(1) = 1¹⁰⁰ - 1⁹⁹ - (1) + 1 = 0
    Primeiro reescreva P(x) = x ⁹⁹(x - 1) - x + 1 ; Portanto P(2) = 2 ⁹⁹(2 - 1) - 2 + 1 = 2 ⁹⁹ - 1
    Agora temos um sistema de equações para resolver e encontrar a e b.
    a + b = 0 e 2 a + b = 2⁹⁹ - 1
    a = 2 ⁹⁹ - 1 e b = 1 - 2 ⁹⁹
    resto: r(x) = (2 ⁹⁹ - 1) x + 1 - 2 ⁹⁹
    
21. 
    Seja y = √(1/3 + √(1/3 + √(1/3 + ...))).
    quadre ambos os lados para obter: y ² = 1/3 + √(1/3 + √(1/3 + √(1/3 + ...)))
    Podemos escrever: y ² = 1/3 + y
    Resolva a equação quadrática acima para obter: y = (3 + √(21)) / 6 e y = (3 - √21) / 6
    y é positivo, portanto a solução: √(1/3 + √(1/3 + √(1/3 + ...))) = y = (3 + √(21)) / 6

Mais referências e links