Duas bombas grandes e uma pequena podem encher uma piscina em 4 horas. Uma bomba grande e 3 bombas pequenas também podem encher a mesma piscina em 4 horas. Quantas horas serão necessárias 4 bombas grandes e 4 pequenas para encher a piscina. (Assumimos que todas as bombas grandes são semelhantes e todas as bombas pequenas também são semelhantes.)
Encontre todos os lados de um triângulo retângulo cujo perímetro seja igual a 60 cm e sua área seja igual a 150 cm quadrados.
Um círculo de centro (-3, -2) passa pelos pontos (0, -6) e (a, 0). Encontre a.
Encontre a equação da tangente em (0, 2) ao círculo com equação
(x + 2)2 + (y + 1)2 = 13
Um exame consiste em três partes. Na parte A, o aluno deve responder 2 de 3 questões. Na parte B, o aluno deve responder 6 das 8 questões e na parte C, o aluno deve responder a todas as questões. Quantas opções de perguntas o aluno tem?
Resolva para x
x 2 - 3|x - 2| - 4x = - 6
O triângulo retângulo ABC mostrado abaixo está inscrito dentro de uma parábola. O ponto B também é o ponto máximo da parábola (vértice) e o ponto C é a interceptação x da parábola. Se a equação da parábola é dada por y = -x2 + 4x + C, encontre C de modo que a área do triângulo ABC seja igual a 32 unidades quadradas.
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O triângulo delimitado pelas retas y = 0, y = 2x e y = -0,5x + k, com k positivo, é igual a 80 unidades quadradas. Encontre k.
Uma parábola tem duas interceptações x em (-2, 0) e (3, 0) e passa pelo ponto (5, 10). Encontre a equação desta parábola.
Quando o polinômio P(x) = x3 + 3x2 -2Ax + 3, onde A é uma constante, é dividido por x2 + 1 obtemos um resto igual a -5x. Encontre A.
Quando dividido por x - 1, o polinômio P(x) = x5 + 2x3 +Ax + B, onde A e B são constantes, o resto é igual a 2. Quando P(x) é dividido por x + 3, o resto é igual a -314. Encontre A e B.
Encontre todos os pontos de intersecção dos 2 círculos definidos pelas equações
(x - 2)2 + (y - 2)2 = 4
(x - 1)2 + (y - 1)2 = 4
Se 200 for adicionado a um número inteiro positivo I, o resultado será um número quadrado. Se 276 for adicionado ao mesmo inteiro I, outro número quadrado será obtido. Encontre I.
A soma dos três primeiros termos de uma sequência geométrica é igual a 42. A soma dos quadrados dos mesmos termos é igual a 1092. Encontre os três termos da sequência.
Uma pedra é lançada em um poço d’água e percorre aproximadamente 16 t2 pés em t segundos. Se o respingo for ouvido 3,5 segundos depois e a velocidade do som for 1.087 pés/segundo, qual será a altura do poço?
Dois barcos em margens opostas de um rio começam a se mover um em direção ao outro. Eles primeiro se cruzam a 1.400 metros de uma margem. Cada um deles continua para a margem oposta, imediatamente se vira e volta para a outra margem. Quando se cruzam pela segunda vez, estão a 600 metros da outra margem. Assumimos que cada barco viaja a uma velocidade constante durante toda a viagem. Encontre a largura do rio?
Encontre as constantes a e b de modo que todas as 4 retas cuja equação é dada por
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passe pelo mesmo ponto.
Encontre a área do triângulo retângulo mostrado abaixo.
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A bomba A leva 2 horas menos tempo que a bomba B para esvaziar uma piscina. A bomba A é acionada às 8h00 e a bomba B é acionada às 10h00. 60% da piscina está vazia quando a bomba B quebrou. Quanto tempo depois das 12h00 seria necessária a bomba A para esvaziar a piscina?
O número de alunos na escola A é igual a metade do número de alunos na escola B. A proporção entre os meninos na escola A e os meninos na escola B é de 1:3 e a proporção entre as meninas na escola A e as meninas na a escola B é 3:5. O número de meninos na escola B é 200 vezes maior que o número de meninos na escola A. Encontre o número de meninos e meninas em cada escola.
Quatro bombas grandes e duas pequenas podem encher uma piscina em 2 horas. Duas bombas grandes e 6 pequenas também podem encher a mesma piscina em 2 horas. Quanto tempo leva para 8 bombas grandes e 8 pequenas encherem 50% da piscina. (NOTA: todas as bombas grandes têm a mesma potência e todas as bombas pequenas têm a mesma potência).
Soluções para as perguntas acima
Seja R e r a taxa de trabalho das bombas grande e pequena, respectivamente
4(2R + r) = 1: 2 trabalhos grandes e 1 trabalho pequeno por 4 horas para fazer 1 trabalho
4(R + 3r) = 1: 1 trabalho grande e 3 pequenos por 4 horas para fazer 1 trabalho
T(4R + 4r) = 1: Encontre o tempo T se 4 grandes e 4 pequenos devem fazer um trabalho.
Resolva para R e r o sistema das duas primeiras equações, depois substitua na terceira e resolva T para encontrar o tempo. T = 5/3 horas = 1 hora e 40 minutos.
x + y + H = 60: perímetro, x, y e H são os dois catetos e a hipotenusa do triângulo retângulo
(1/2) x y = 150: área
x2 + y2 = H2: teorema de Pitágoras.
3 equações com 3 incógnitas.
(x + y)2 - 2 x y = H2 : completando o quadrado na terceira equação.
x + y = 60 - H: expresse x + y usando a primeira equação e use a segunda equação para encontrar x y = 300 e substitua na equação 5.
(60 - H)2 - 600 = H2 : uma equação com uma incógnita.
Resolva H para encontrar H = 25 cm. Substitua e resolva xey para encontrar x = 15 cm e y = 20 cm.
√((-6 + 2)2 + (0 + 3)2) = √((a + 3)2 + (0 + 2)2) : as distâncias do centro a qualquer ponto do círculo são iguais.
(25) = (a + 3)2 + 4: Simplifique e eleve ambos os lados ao quadrado
(a + 3)2 = 21: Reescreva a equação acima como
Resolva para um
a = -3 + √(21) , a = -3 - √(21) : resolva a e encontre duas soluções.
(-2, -1): centro do círculo
m = (2 - (-1)) / (0 - (-2)) = 3/2: inclinação da linha que passa pelo centro e o ponto de tangência (0, 2)
A linha que passa pelo centro e pelo ponto de tangência (0, 2) é perpendicular à tangente.
M = -2/3: inclinação da tangente
y = -(2/3)x + 2: equação da tangente dada sua inclinação e ponto (0, 2).
3C2 × 8C6 × 1 = 84: Uso do teorema fundamental da contagem
x2 - 3|x - 2| - 4x = - 6: dado
Seja Y = x - 2 que dá x = Y + 2
(S + 2)2 - 3|S| - 4(Y + 2) = - 6: substitua na equação acima
S2 - 3|S| + 2 = 0
Y2 = |Y|2 : nota
|S|2 - 3|S| + 2 = 0: reescreva a equação como
(|S| - 2)(|S| - 1) = 0
|S| = 2 , |S| = 1: resolva para |Y|
Y = 2, -2, 1, -1: resolva para Y
x = 4 , 0 , 3 , 1 : resolva x usando x = Y + 2.
h = -b / 2a = 2 : coordenada x do vértice da parábola
k = -(2)2 + 4(2) + C = 4 + C : coordenada y do vértice
x = (2 + √(4 + C)) , x = (2 - √(4 + C)) : as duas interceptações x da parábola.
comprimento de BA = k = 4 + C
comprimento de AC = 2 + √(4 + C) - 2 = √(4 + C)
área = (1/2)BA ×; AC = (1/2) (4 + C) & vezes; √(4 + C)
(1/2) (4 + C) &ves; √(4 + C) = 32: área é igual a 32
C = 12: resolva acima para C.
A(0,0) , B(2k/5 , 4k/5) , C(2k ,0) : pontos de intersecção dos 3 pontos de intersecção das 3 linhas
(1/2) × (4k/5) × (2k) = 80: área dada
k = 10: resolva a equação acima para k, k positivo é uma determinada condição.
y = a(x + 2)(x - 3) : equação da parábola na forma fatorada
10 = a(5 + 2)(5 - 2) : (5 , 10) é um ponto no gráfico da parábola e, portanto, satisfaz a equação da parábola.
a = 5/7: resolva a equação acima para a.
Divida x3 + 3x2 -2 A x + 3 por (x2 + 1) para obter um resto = -x (1 + 2 A)
-x(1 + 2 A) = 5 x : resto dado
-(1 + 2 A) = 5: os polinômios são iguais se a área dos coeficientes correspondentes for igual.
A = - 3: Resolva o acima para A.
P(1) = 15 + 2(13) +A × (1) + B = 2: teorema do resto
P(-3) = (-3)5 + 2(-3)3 +A × (-3) + B = -314
A = 4 e B = -5: resolva os sistemas de equações acima.
x2 - 4x + 2 + y2 - 4y + 2 = 4: expanda a equação do primeiro círculo
x2 - 2x + 1 + y2 - 2y + 1 = 4: expanda a equação do segundo círculo
-2x - 2y - 6 = 0: subtraia os termos esquerdo e direito das equações acima
y = 3 - x: resolva o problema acima para y.
2x2 - 6x + 1 = 0: substitua y por 3 - x na primeira equação, expanda e agrupe termos semelhantes.
(3/2 + √(7)/2 , 3/2 - √(7)/2) , (3/2 - √(7)/2 , 3/2 + √(7 )/2): resolva o problema acima para x e use y = 3 - x para encontrar y.
I + 200 = A2 : 200 somado a I (número inteiro desconhecido) dá um quadrado.
I + 276 = B2 : 276 adicionado a I (número inteiro desconhecido) dá outro quadrado.
B2 = A2 + 76 : elimine I das duas equações.
adicione os quadrados A2 (0, 1, 4, 9, 16, 25,...) a 76 até obter outro quadrado B2.
76 + 182 = 400 = 202 A2 = 182 e B2 = 202 I = A2 - 200 = 124
soma1 = a + a r + a r2 = 42: a soma dos três termos dados, r é a razão comum.
soma2 = a2 + a2r2 + ar2r4 = 1092: a soma dos quadrados dos três termos dados.
soma1 = a + ar + a r2 = a(r3 - 1) / (r - 1) = 42 : aplique a fórmula para uma soma finita de geometrias Series.
soma2 = a 2 + a 2 r2 + ar2r4 = a2(r6 - 1) / (r2 - 1) = 1092: a soma dos quadrados é a também a soma das séries geométricas.
soma2/soma12 = 1092/422 = [ a2(r6 - 1) /(r2 - 1)] / [a2(r3 - 1)2 / (r - 1)2]
(r2 - r + 1) / (r2 + r + 1) = 1092/422 r = 4, r = 1/4: resolva para r
a = 2: substitua r = 4 e resolva para a
a = 32: substitua r = 1/4 e resolva para a
a = 2 , ar = 8 , ar2 = 32 : encontre os três termos para r = 4
a = 32 , ar = 8 , ar2 = 2 : encontre os três termos para r = 1/4
T1 + T2 = 3,5 : tempo T1 para a rocha chegar ao fundo do poço e tempo T2 para o som chegar ao topo do poço.
16 × T12 = 1087 × T2 : mesma distância da altura do poço.
T2 = 3,5 - T1: resolva para T2
16 × T12 = 1087 × (3.5 - T1)
T1 = 3,34 segundos
Altura = 16 × (3,34)2 = 178 pés (para a unidade mais próxima)
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S1 × t1 = 1400: S1 velocidade do barco 1, t1: tempo para percorrer 1400 metros (barco 1)
1400 + S2 × t1 = X: S2 velocidade do barco 2
S1 × t2 = X + 600: tempo t2 para fazer X + 600 (barco 2)
S2 × t2 = 2X - 600
S1 = 1400/t1
S2 = (X-1400)/t1
T = t2/t1: definição
Substitua S1, S2 e t2/t1 usando as expressões acima nas equações 3 e 4 para obter
1400 × T = X + 600
X × T - 1400 × T = 2X - 600: 2 equações 2 incógnitas
Elimine T e resolva X para obter X = 3600 metros.
resolva o sistema das duas primeiras equações para obter a solução (2, -3)
A solução acima também é uma solução para as duas últimas equações.
a(2) + b(-3) = 4
2a(2) - b(-3) = 2
a = 1 eb = -2/3: solução para o sistema de equações acima.
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