Uma massa presa a uma mola é puxada em direção ao chão de modo que sua altura acima do chão seja de 10 mm (milímetros). A massa é então liberada e começa a subir e descer atingindo alturas máxima e mínima de 20 e 10 mm, respectivamente, com um ciclo de 0,8 segundos.
a) Suponha que a altura h(t) da massa seja uma função senoidal, onde t é o tempo em segundos, esboce um gráfico de h de t = 0 a t = 0,8 segundos. t = 0 é o momento em que a massa é liberada.
b) Encontre uma função senoidal para a altura h(t).
c) Durante quantos segundos a altura da massa fica acima de 17 mm em um ciclo?
Solução
a) A massa é liberada em t = 0 quando h é mínimo. Meio ciclo depois h atinge seu máximo e outro meio ciclo atinge seu mínimo novamente. Portanto, ao longo de um ciclo, h varia com t da seguinte forma:
b) De acordo com o gráfico obtido na parte a), h(t) poderia ser modelado por uma função cosseno deslocada (traduzida) verticalmente para cima e horizontalmente para a direita. Portanto
h(t) = a cos[ b(t - d) ] + c
Seja hmax o valor máximo de h e hmin o valor mínimo de h. Por isso
|a| = (hmáx - hmin) / 2 = (20 - 10) / 2 = 5, a = ±5
c = (hmax + hmin) / 2 = (20 + 10) / 2 = 15
Período = 2π / |b| = 0,8, portanto b = ± 2,5 pí;
Usamos a = 5 e b = 2,5π. O deslocamento da função cosseno é para a direita e igual a meio período. Portanto d = 0,4
h(t) = 5 cos[ 2,5π(t - 0,4) ] + 15
Verifique se h tem um mínimo em t = 0: h(0) = 5 cos[ 2,5π(0 - 0,4) ] + 15 = 5 cos( -π ) + 15 = 10
Verifique se h tem um máximo em t = 0,4: h(0) = 5 cos[ 2,5π(0,4 - 0,4) ] + 15 = 5 cos( 0 ) + 15 = 20
c) Abaixo é mostrado o gráfico de y = h(t) e y = 17. Primeiro precisamos encontrar t1 e t2 que são os valores de t para os quais h(t) = 17 resolvendo a equação
5 cos[ 2,5π(t - 0,4) ] + 15 = 17
cos[ 2,5π(t - 0,4) ] + 15 = (17 - 15) / 5 = 0,4
2,5π(t - 4) = arcos(0,4)
t = arcos(0,4) / (2,5π) + 0,4 = 0,547 segundos
A solução t encontrada acima é maior que o,4, que é a posição do máximo, e menor que 0,8 e portanto corresponde a t2. Portanto
t2 = arcos(0,4) / (2,5π) + 0,4 = 0,547 segundos
t1 é obtido usando a simetria das duas soluções em relação à posição do máximo para t = 0,4 . Portanto
t1 = 0,4 - (0,547 - 0,4) = 0,252 segundos
A altura da massa é superior a 17 metros para
t2 - t2 = 0,547 - 0,252 = 0,295 segundos
O número de horas de luz natural H em uma determinada área é dado aproximadamente pela função
H(t) = 2,5 cos[ b(t - d) ] + 11,5
onde H está em horas e t em dias, e a função tem período de um ano (365 dias).
a) Encontre b (b > 0) e d se H for máximo em 21 de junho (o mês de fevereiro tem 28 dias).
b) Qual dia é o mais curto (tem o menor número de horas de luz do dia)?
Solução
a) Como o período é conhecido e igual a 365 dias, então .
365 = 2pi; / b , portanto b = 2π / 365
Se definirmos d = 0 na função H(t) = 2,5 cos[ b(t - d) ] + 11,5, torna-se H(t) = 2,5 cos[ b t ] + 11,5 que tem um máximo em t = 0.
No nosso problema, o máximo acontece no dia 21 de junho correspondente a
t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 21 = 172 (número de dias de 1º de janeiro a 21 de junho)
Portanto, o deslocamento horizontal (translação) de 172 é para a direita e d = 172. Portanto
H(t) = 2,5 cos[ 42,2(t - 172)] + 11,5
b) O dia mais curto corresponde a t que dá H mínimo que é igual a 11,5 - 2,5 = 9. Portanto, precisamos resolver a equação
2,5 cos[ (2π / 365)(t - 172) ] + 11,5 = 9
cos[ (2π / 365)(t - 172) ] = (9 - 11,5) / 2,5 = - 1
(2π / 365)(t - 172) = π
t = 365π/(2π) + 172 = 354,5 dias
NOTA Poderíamos ter respondido à parte b) usando o fato de que a distância entre um máximo e o mínimo seguinte em uma função senoidal é meio período e, portanto, h é mínimo em t = 172 + (1/2)365 = 354,5 dias
Para os primeiros 11 meses (de janeiro a novembro) do ano, t é dado por
t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 + 30 = 334
Número de dias em dezembro
354,5 - 334 = 20,5 número de dias em dezembro
que corresponde aproximadamente ao dia 21 de dezembro.
A temperatura média mensal T (em °C) em uma determinada cidade pode ser aproximada por
T(t) = a cos[ b(t - d) ] + c
onde t é o tempo em meses, t = 0 corresponde a 1º de janeiro, e assumimos que a função T(t) tem período de 12 meses.
a) Encontre a, b (b > 0), c e d se T tiver um máximo de 22,4 °C em meados de julho (t = 6,5) e um mínimo de - 10 °C.
b) Em que mês o T é mínimo?
c) Durante quantos meses T é maior que 18 °C?
Solução
a) Os valores mínimo e máximo de T , Tmax e Tmin respectivamente, nos permitem encontrar a e c como segue
Recebemos: Tmax = 22,4 e Tmin = -10
c = (Tmax + Tmin) / 2 = 6,2
|a| = (Tmax - Tmin) / 2 = 16,2 , tomamos a > 0 e igual a 16,2
O gráfico de T é o de a a cos(bt) deslocado 6,5 para a direita. Portanto
T(t) = 16,2 cos[ b(t - 6,5) ] + 6,2
Agora usamos o ponto final para encontrar b.
O período é igual a 12 = 2π / b , portanto b = π / 6
T(t) é dado por
T(t) = 16,2 cos[ (π / 6)(t - 6,5) ] + 6,2
b) Encontre t para o qual T é mínimo. O valor mínimo de T é igual a -10. Portanto, t que torna T mínimo é encontrado resolvendo
16,2 cos[ (π / 6)(t - 6,5) ] + 6,2 = -10,2
cos[ (π / 6)(t - 6,5) ] = - 1
(π / 6)(t - 6,5) = π
t = 12,5
NOTA Poderíamos ter respondido à parte b) usando o fato de que a distância entre um máximo e o mínimo seguinte em uma função senoidal é meio período e, portanto, T é mínimo em t = 6,5 + (1/2)12 = 12,5 dias
t = 12,5 é maior que um período que é 12. Portanto, 12,5 corresponde a um período de 12 meses (um ano) e 0,5 mês de janeiro. Portanto, a temperatura é mínima em meados de janeiro.
c) (Veja o gráfico abaixo) Primeiro encontramos os tempos t1 e t2 nos quais T = 18 resolvendo a equação
16,2 cos[ (π / 6)(t - 6,5) ] + 6,2 = 18
cos[ (π / 6)(t - 6,5) ] = (18 - 6,2) / 16,2
(π / 6)(t - 6,5) = arcos((18 - 6,2) / 16,2)
t = (6/π) arcos((18 - 6,2) / 16,2) + 6,5 = 7,94 meses
Examinando o gráfico de T abaixo e a reta horizontal y = 18 (interpretação gráfica da equação acima), notamos que a solução t = 7,94 é maior que 6,5 que corresponde a t2 = 7,94. Por simetria, t1 pode ser calculado da seguinte forma
t1 = 6,5 - (t2 - 6,5) = 6,5 - (7,94 - 6,5) = 5,06 meses
O número de meses para os quais T é maior que 18 é igual a
t2 - t1 = 7,94 - 5,06 = 2,88; aproximadamente 3 meses.
O diâmetro de uma grande roda gigante (passeio de diversão) é de 48 metros e leva 2,8 minutos para a roda completar uma volta. Uma pessoa sobe na roda no ponto mais baixo, que está 60 cm acima do solo em t = 0.
a) Encontre uma função senoidal h(t) que forneça a altura h, em metros, da pessoa acima do solo em função do tempo t em minutos.
b) Encontre os intervalos de tempo em que o ciclista está a uma altura inferior a 30 metros no período de tempo de t = 0 a t = 2,8 minutos.
c) Quantos minutos, a partir de t = 0, a pessoa leva para atingir o ponto mais alto pela segunda vez?
Solução
a) A altura mínima hmin acima do solo é de 0,6 metros. A altura máxima hmax é igual à altura mínima mais o diâmetro do poço.
hmáx = 0,6 + 48 = 48,6
Como h(t) é mínimo em t = 0, seria mais fácil modelá-lo por uma função cos(x) refletida. Portanto
h(t) = a cos [b(t - d)] + c
|a| = (hmax - hmin) / 2 = -(48,6 - 0,6) / 2 = 24,
duas soluções para a: a = ±24
Tomamos a = -24 onde o sinal negativo representa a reflexão no eixo horizontal.
c = (hmax + hmin) / 2 = (48,6 + 0,6) / 2 = 24,6
O período = 2,8 = 2π/b , portanto b = 2π/2,8
h(t) = - 24 cos [ (2π/2,8)t ] + 24,6
Verifique que em t = 0 , h(0) = 0,6 m a altura mínima e em t = 1,4 (meio período depois), h(1,4) = - 24 cos ( (2π/2,8) 1,4 ) + 24,6 = - 24 cos ( π ) + 24,6 = 48,6 m é o máximo.
b) Primeiro precisamos resolver a equação
- 24 cos [(2π/2,8)t ] + 24,6 = 30
cos [ (2π/2,8)t ] = (30 - 24,6) / (-24)
t = 2,8 arcos [ (30 - 24,6) / (-24) ] / (2 π) = 0,8 mn
A solução encontrada corresponde a t1 que é a interseção do gráfico de h(t) e y = 30.
portanto, t1 = 0,8 minutos e t2 = 2,8 - 0,8 = 2 minutos.
h(t) é menor que 30 de t = 0 a t = 0,8 mn e de t = 2 a t = 2,8 mn um total de 1,6 mn.
c) O piloto atinge o máximo em t = meio período pela primeira vez e t = meio período + um período pela segunda vez. Portanto, é preciso
(1/2)2,8 + 2,8 = 4,2 mn para o ciclista atingir o máximo pela segunda vez.
Devido às atrações gravitacionais da Lua e do Sol na Terra, a água nos mares e oceanos tende a subir e descer periodicamente, correspondendo ao que é chamado de marés altas e baixas. Numa situação típica, o tempo entre duas marés altas é próximo das 12 horas. Em uma determinada área costeira, a profundidade da água pode ser aproximada por uma função senoidal da forma d(t) = - 2,5 cos[ b(t - 2) ] + 3,5, onde d está em metros e t em horas onde t = 0 corresponde às 12h.
a) Encontre b (b > 0) se d tiver um período de 12 horas.
b) De t = 0 a t = 12, em que horário d é o menor (maré baixa) e em que horário é o mais alto (maré alta)?
c) De t = 0 a t = 12, quais são os intervalos de tempo durante os quais a profundidade da água é de 4,5 metros ou mais?
Solução
a) Usando a fórmula do período, temos
12 = 2π/b
b = π/6
b) d(t) agora é dado y
d(t) = - 2,5 cos[ (π/6)(t - 2) ] + 3,5
o menor valor de d = -2,5 + 3,5 = 1
portanto, d é o menor para t tal que - 2,5 cos[ (π/6)(t - 2) ] + 3,5 = 1
Resolva para obter: cos[ (π/6)(t - 2) ] = 1
(π/6)(t - 2) = 0
t = 2 , correspondente às 2 da manhã
o valor mais alto de d = 2,5 + 3,5 = 6
portanto, d é maior para t tal que - 2,5 cos[ (π/6)(t - 2) ] + 3,5 = 6
Resolva para obter: cos[ (π/6)(t - 2) ] = - 1
(π/6)(t - 2) = π
t = 8, correspondente às 10h
NOTA Poderíamos ter respondido à parte b) usando o fato de que a distância entre um mínimo e o máximo seguinte em uma função senoidal é meio período e, portanto, d é máximo em t = 2 + (1/2)12 = 8
c) Primeiro precisamos encontrar t para o qual h(t) = 4,5 resolvendo a equação
- 2,5 cos[ (π/6)(t - 2) ] + 3,5 = 4,5
t1 = 6 arcos(-1/2,5) + 2 = 5,8 horas
t2 = 8 + (8 - 5,8) = 10,2 horas (use simetria em relação à posição máxima)
o número total de horas para as quais d(t) é superior a 4,5 m é: 10,2 - 5,8 = 4,4 horas.
Devido às marés altas e baixas, a profundidade d da água numa determinada zona costeira pode ser expressa por uma função sinusoidal. A maré mais alta ocorre às 8h e a maré mais baixa ocorre 6 horas depois. O nível máximo da água é de 2,8 metros e o nível mais baixo da água é de 0,4 metros.
a) Use funções senoidais para encontrar a profundidade d(t) da água, em metros, em função do tempo t em horas. (Suponha que 8h corresponda a t = 0).
b) Encontre a profundidade da água ao meio-dia.
c) Utilize o gráfico de d(t) e cálculos analíticos para calcular o intervalo de tempo durante o qual a profundidade d fica abaixo de 1,5 m, das 12h às 18h.
Solução
a) Seja d(t) escrito como
d(t) = a cos[b(t - d)] + c
O dmin mínimo e o dmax máximo de d são
dmín = 0,4
dmáx = 2,8
c = (dmáx + dmin) / 2 = (2,8 + 0,4) / 2 = 1,6
|a| = (dmáx - dmin) / 2 = (2,8 - 0,4) / 2 = 1,2
Como d(t) tem um mínimo em t = 0 (8h), podemos selecionar a = - 1,2 e d = 0
d(t) = -1,2 cos[b(t)] + 1,6 , onde é fácil verificar que d = -1,2 + 1,6 = 0,4 em t = 0.
Agora usamos o ponto final para encontrar b (b > 0) da seguinte maneira
período = 12 = 2π / b
portanto b = π / 6
d(t) agora é escrito como
d(t) = -1,2 cos[ (π / 6)(t) ] + 1,6 , onde é fácil verificar que o máximo ocorre em t = 6.
b) Ao meio-dia t = 4, portanto
d(4) = -1,2 cos[ (π / 6)(4) ] + 1,6 = 2,2 m
c) O gráfico de d(t) é mostrado abaixo com linhas verticais correspondentes às 12h00 às 18h00 e uma linha horizontal correspondente a d = 1,5. A profundidade da água é inferior a 1,5 de t0 às 18h (t = 10). Precisamos encontrar t0 que é um ponto de intersecção de d(t) e y = 1,5 resolvendo a equação
-1,2 cos[ (π / 6)(t) ] + 1,6 = 1,5
t = 6 arcos ( (1,5 - 1,6)/(-1,2) ) / π ≈ 2,84
A solução encontrada corresponde ao ponto esquerdo de intersecção de d(t) e y = 1,5. O ponto certo t0 pode ser encontrado usando a simetria do gráfico em relação ao ponto máximo. Portanto
t0 = 6 + (6 - 2,84) = 9,16 horas
9,16 horas corresponde ao tempo: 9,16 + 8 = 17,16 horas
que é igual a 17 horas + 0,16 horas =17+ 0,16 × 60 = 17h10
Durante o período das 12h às 18h, a profundidade da água é inferior a 1,5 m das 17h10 às 18h
Um sistema de painéis solares produz uma potência média diária P que muda durante o ano. É máximo no dia 21 de junho (dia com maior número de horas diurnas) e igual a 20 kwh/dia. Assumimos que P varia com o tempo t de acordo com a função senoidal
P(t) = a cos [b(t - d)] + c
onde t é o número de dias com t = 0 corresponde ao primeiro de janeiro, P é a potência em kwh/dia e P(t) tem período de 365 dias (28 dias em fevereiro). O valor mínimo de P é 4 kWh/dia.
a) Encontre os parâmetros a, b, c e d.
b) Esboce P(t) durante um período de t = 0 a t = 365.
c) Quando é mínima a potência produzida pelo sistema solar?.
d) A potência produzida por este sistema solar é suficiente para alimentar um conjunto de máquinas se a potência produzida pelo sistema for superior ou igual a 16 kWh/dia. Durante quantos dias, num ano, a energia produzida pelo sistema é suficiente?
Solução
a) Seja P(t) escrito como
P(t) = a cos[b(t - d)] + c
O Pmin mínimo e o Pmax máximo de P(t) são fornecidos.
Pmin = 4
Pmáx = 20
c = (Pmax + Pmin) / 2 = (20 + 4) / 2 = 12
|a| = (Pmax - Pmin) / 2 = (20 - 4) / 2 = 8
Precisamos agora encontrar o número de dias t após 1º de janeiro em que P(t) é máximo contando os dias dos meses de janeiro a maio e adicionando 21 dias em junho.
t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 21 = 172
Agora usamos o ponto final para encontrar b (b > 0) da seguinte maneira
período = 365 = 2π / b
portanto b = 2π / 365
Uma função cosseno sem deslocamento tem um máximo em t = 0. P(t) tem um máximo em t = 172. Podemos modelar P(t) por uma função cos(x) deslocada por 172 à direita da seguinte forma:
P(t) = 8 cos[(2π / 365)(t - 172)] + 12
verifique se P(t) é máximo em t = 172: P(172) = 8 cos[(2π / 365)(172 - 172)] + 12 = 8 cos[(0)] + 12 = 20
b) O gráfico de P(t) é mostrado abaixo.
c) Existe uma diferença de meio período entre o máximo em t = 172 e o mínimo após esse máximo. Portanto, P(t) é mínimo em
t = 172 + 0,5(365) = 354,5
Os primeiros 11 onze meses têm 334 dias. Portanto 354,5 corresponde a 21 de dezembro, dia em que P(t) é mínimo.
d) Para encontrar o número de dias para os quais a energia produzida é suficiente, precisamos encontrar t1 e t2 correspondentes a os pontos de intersecção de P(t) e y = 16 conforme mostrado no gráfico resolvendo a equação
P(t) = 16
8 cos[(2π / 365)(t - 172)] + 12 = 16
cos[(2π / 365)(t - 172)] = 1/2
t = 172 + 365 arcos(1/2) / 2π = 232,8
A solução encontrada acima é maior que 172 correspondente ao máximo. Portanto a solução acima corresponde a t2 nos gráficos (solução à direita). A solução à esquerda é encontrada por simetria da seguinte forma:
t1 = 172 - (232,8 - 172) = 111,2
t2 - t1 = 232,8 - 111,2 = 121,6 dias
O sistema produz energia suficiente para cerca de 121 dias.
