Teorema Fundamental do Cálculo – Visualização Interativa de Funções, Integrais e Derivadas

O Teorema Fundamental do Cálculo é um dos resultados mais importantes da matemática, porque constrói uma ponte direta entre diferenciação e integração, mostrando que estas duas operações são essencialmente inversas uma da outra.

Parte 1: Se \( F(x) = \displaystyle \int_{a}^{x} f(t)\,dt \), então \( F'(x) = f(x) \)

Parte 2: \( \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a) \), onde \( F \) é qualquer antiderivada de \( f \)

Esta visualização interativa permite explorar e verificar ambas as partes do teorema em tempo real. Ao mover o ponto P ao longo do gráfico de \( f(x) \), observe o seguinte:

A área sombreada em preto sob \( f(x) \) de \( 0 \) a \( x \), que representa \( F(x) = \displaystyle \int_0^x f(t)\,dt \) (calculada usando somas de Riemann)
A linha tangente azul a \( F(x) \), cuja inclinação é igual a \( f(x) \) - uma demonstração direta da Parte 1 do teorema

Instruções: Selecione uma função no menu suspenso e arraste o ponto P para ver como a integral muda. A área preta sob f(x) representa a integral F(x), e a linha tangente em F(x) mostra que sua inclinação é igual a f(x), demonstrando o Teorema Fundamental do Cálculo.

Teorema Fundamental do Cálculo
Visualização Interativa de Funções, Integrais e Derivadas

Função f(x) e Área Sob a Curva

Integral \( F(x) = \int_0^xf(t) dt \)

Mais Links e Referências