Visualizador do Teorema de De Moivre | Laboratório de Números Complexos

Teorema de De Moivre

O Teorema de De Moivre é um resultado fundamental na teoria dos números complexos que conecta números complexos com trigonometria. Ele fornece uma maneira poderosa de calcular potências e raízes de números complexos.

O Teorema

Para qualquer número complexo na forma polar e qualquer inteiro n:

\[ [r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta) \]

Aplicações

• Cálculo de Potências: O teorema simplifica a elevação de números complexos a potências inteiras multiplicando o módulo por si mesmo n vezes e multiplicando o argumento por n.
• Encontrando Raízes: O teorema pode ser estendido para encontrar as raízes n-ésimas de um número complexo usando a fórmula:

\[ \sqrt[n]{r(\cos\theta + i\sin\theta)} = \sqrt[n]{r} \left( \cos\frac{\theta + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\theta + 2\pi k}{n} \right) \]

para \( k = 0, 1, 2, ..., n-1 \) dando as \( n \) raízes: \( \; w_0, \; w_1, ..., \; w_{n-1} \)

Como Usar Esta Ferramenta

• Digite as partes real e imaginária do seu número complexo
• Escolha se deseja calcular potências ou raízes
• Defina o expoente (para potências) ou o grau da raiz (para raízes)
• Clique em "Calcular & Visualizar" para ver os resultados
• Use os controles de zoom para ajustar a visualização do plano complexo

A visualização mostra o número complexo original e suas potências ou raízes calculadas no plano complexo, com ângulos medidos no sentido anti-horário a partir do eixo real positivo para ângulos positivos e no sentido horário para ângulos negativos.